專題18函數(shù)y=Asin(wxφ)的圖象和性質(zhì)與三角函數(shù)模型的應(yīng)用

專題1專題18函數(shù)y=Asin(wx+φ)的圖象和性質(zhì)與三角函數(shù)模型的應(yīng)用№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?模擬精練?專題訓(xùn)練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題18函數(shù)y=Asin(wx+φ)的圖象和性質(zhì)與三角函數(shù)模型的應(yīng)用命題解讀命題預(yù)測復(fù)習(xí)建議函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，高考中多以中檔題為主，常常與三角函數(shù)式的求值、化簡相結(jié)合。出題的形式多樣，主要考察圖形的變換，以及看圖，用圖的能力，有一定的綜合性。預(yù)計(jì)2024年的函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)應(yīng)用，仍然是出題的熱點(diǎn)，必有題目考察這方面的知識，因此對于圖象的掌握要到位，要學(xué)會看圖、用圖解題。集合復(fù)習(xí)策略：1.掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)，了解參數(shù)變化對函數(shù)的影響；2.會運(yùn)用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題，會建立三角函數(shù)模型?！?考點(diǎn)精析←函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．.y=Asin(ωx+φ)的有關(guān)概念振幅周期頻率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),AT=2πf=1T=ωx+φφ2．用五點(diǎn)法畫y=Asin(ωx+φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí),要找五個(gè)特征點(diǎn),如下表所示:x-ππ3π2πωx+φ0ππ3π2πy=Asin(ωx+φ)0A0A03.函數(shù)y=sinx的圖像經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖像的步驟→?真題精講←1.（2023全國甲卷10）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.2.（2023全國乙卷10）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.3.（2023全國Ⅰ卷15）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.4.（2023全國Ⅱ卷16）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進(jìn)而求得．【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)椋?，即，．所以，所以或，又因?yàn)?，所以，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．5.（2023北京卷17）設(shè)函數(shù)．（1）若，求的值．（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）.（2）條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.【解析】【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的解析式化簡，根據(jù)在上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調(diào)性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．【小問1詳解】因?yàn)樗?，因?yàn)椋?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以的最大值為，最小值?若選條件①：因?yàn)榈淖畲笾禐椋钚≈禐?，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以,所以,,所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?所以，；若選條件③：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．→?模擬精練←1．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，當(dāng)時(shí)，可以推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)為偶函數(shù)不能推導(dǎo)出，所以“”是“為偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A2．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？级＃⒑瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式和兩角差的公式得到，利用平移變換得到，再根據(jù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值求解.【詳解】由，化簡得，所以．又是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值，所以，解得．因?yàn)?，所以．故選：A．3．（多選）（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．函數(shù)存在一個(gè)極值點(diǎn)B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，則，對于A，，令，則，所以所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，令，，解得：，令，則，則，所以C正確；對于D，因?yàn)?，所以，則，故無零點(diǎn)，故D不正確.故選：AC.4．（多選）（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）為了得到函數(shù)的圖象，只需把余弦曲線上所有的點(diǎn)（

）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移C．向右平移，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變D．向右平移，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變【答案】BC【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)長度單位，得，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得；函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得，再向右平移個(gè)長度單位，得，即.故選：BC5．（多選）（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)，已知在上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．在上有且只有5個(gè)極值點(diǎn)C．在上單調(diào)遞增D．的取值范圍是【答案】CD【詳解】由題設(shè)，在上，若，所以在上有5個(gè)零點(diǎn)，則，解得，D正確；在上，由上分析知：極值點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為5或6個(gè)，B錯(cuò)誤；且，故不為0，A錯(cuò)誤；在上，則，故遞增，即在上遞增，C正確.故選：CD6．（2023·江蘇·二模）已知函數(shù)的最小正周期為，若將其圖象向右平移個(gè)單位長度后關(guān)于軸對稱，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)函數(shù)圖象的平移得到平移后函數(shù)圖象對應(yīng)的解析式，再根據(jù)其圖象關(guān)于軸對稱及得到的值，進(jìn)而可得函數(shù)可能的解析式．【詳解】解：由題意知．將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象，因?yàn)槠鋱D像關(guān)于軸對稱，所以．又，所以．即，由誘導(dǎo)公式知，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象的平移、三角函數(shù)圖象的對稱性等，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．7．（2023·江蘇南通·三模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則__________,實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.【答案】/【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，即，因?yàn)?，則，若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)，，，且，即，且，；若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)，，，且，即且，故；綜上可得，，.故答案為：；8．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知，．(1)若函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求的值；(2)若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用輔助角公式將函數(shù)化簡，依題意，即可求出，從而得到函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得；（2）由對稱性得到，，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求出的范圍，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，所以，則，所以，解得，所以，所以.（2）由，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，，所以，，由，，則，又函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得，所以當(dāng)時(shí).→?專題訓(xùn)練←的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得，所以函數(shù)解析式為：故選D.2.已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，且的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為，為得到的圖像，可將圖像上所有點(diǎn)（）A．先向右平移個(gè)單位，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變B．先向左平移個(gè)單位，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變C．先向左平移個(gè)單位，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變D．先向右平移個(gè)單位，再將所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變【答案】B【解析】因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)零點(diǎn)的距離為,所以函數(shù)的最小正周期,則,又點(diǎn)在函數(shù)圖像上,所以,解得,,即,又,所以當(dāng)時(shí),,所以,則將先向左平移個(gè)單位可得,再橫坐標(biāo)縮小為原來的,縱坐標(biāo)不變,故選：B3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的值不可能是()A． B． C． D．【答案】CD【解析】.作出函數(shù)的圖象如圖所示,在一個(gè)周期內(nèi)考慮問題，易得或滿足題意，所以的值可能為區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù).所以A,B可能，C,D不可能.故選CD.4．已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，則（

）A．的最小正周期為πB．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】AD【解析】因?yàn)椋蛴移揭苽€(gè)單位得，則最小正周期為，故A選項(xiàng)正確；令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；令解得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令解得所以函數(shù)的對稱中心為，故D選項(xiàng)正確.故選：AD5．已知函數(shù).(1)求的最小正周期及對稱軸方程；(2)時(shí)，的最大值為，最小值為，求，的值.【解析】（1）∴，則的最小正周期為，∵的對