平面向量中最值、范圍問題解題模板

平面向量中最值、范圍問題的解題模板【考點綜述】平面向量中的最值和范闈問題，是一個熱點問題，也是難點問題，這類試題的基本類型是根據給出的條件求某個量的最值、范闈，如：向量的模、數量積、夾角及向量的系數?解決這類問題的一般思路是建立求解目標的函數關系，通過函數的值域解決問題，同時，平面向量兼具“數”與“形”的雙重身份，解決平面向量最值、范圍問題的另一個基本思想是數形結合.在高考各種題型均有出現(xiàn)如選擇題、填空題和解答題，其試題難度屬中高檔題.【解題方法思維導圖預覽】【解題方法】解題方法模板一：定義法使用情景：已知涉及兩向量的模以及夾角類型解題模板：第一步利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉化為相應的等式關系：第二步運用基本不等式求其最值問題；第三步得出結論.解題模板應用：例1平行四邊形ABCD中，ZBAD=60\AB=l,AD=y/2,P為平行四邊形內一點，且AP=AP=耳,若AP=XAB+s/?）?則入+近h的最人值為.AP=AP=耳,若AP=XAB+s/?）?則入+近h的最人值為.【解析】解題模板選擇:本題中涉及兩向量的模以及夾角，故選取解題方法模板一定義法進行解答.解題模板應用:第一步利用向量的概念及其基本運算將所求問題轉化為相應的等式關系；對AP=XAB+“喬（久,“￡/?）兩邊平方可得（麗）一=（久麗+"麗）-可化為AP2=A2AB2+2ApABAD+AD2?據已知條件可得*=才+屈“+2“‘，.第二步運用基本不等式求其最值問題;—=22++2/r>3，即2/y<,12又(幾+邁応=22+2屈“+2//2=*+屈“<|,第三步得出結論：則趴屁咨.故本題填半練習:1.己知在△ABC中，ZA=90\AB=AC=4yf2,動點P自點C出發(fā)沿線段C3運動,到達點B時停止運動，動點0自點3出發(fā)沿線段運動，到達點C時停止運動，且動點0的速度是動點P的2倍，若二者同時出發(fā)，且一個點停止運動時，另一個點也停止，則當APAQ取最大值時，|戸?|=（A.2B.1A.2B.1【答案】B【解析】【分析】分解向量喬=AC+CP,AQ=AB+BQ,將求麗?忑轉化為求二次函數的最值問題，以此確定化。的位置，最后求得|起|的值.【解析】-ZA=90°,:.ABAC=0,依題意知BC=8,2|麗冃更|,7J5AQ=(AC+CP)(AB+BQ)=AC'AB+ACBQ+CPAB+cP'BQ=4>/2x2|CP|cos45o+4^2x|CP|cos45°-21CP|2=-2（|CP\-3）2+18,???當|CP^3時，麗?西取得最大值，此時\BQ^6,.-.|Pe|=3+6-8=l.故選：B【點睛】本題考查平面向量的加法的三角形法則和平而向量的數量積、二次函數最值的求解；考查運算求解能力、化歸與轉化能力；把平而向量數量積的最值問題轉化為二次函數的最值問題是求解本題的關鍵；屬于中檔題.2.如圖，在厶ABC中，D、E分別是BC、邊上的中點，4Q與CE的交點為0,若AOBC=-3,AE=3近,則角3的最大值為?n【答案】v4【解析】【分析】表示AO=|（AB+ACy進一步可得帀=扌（阮-2刼），然后計算AOBC=-3可得關于|說|的一元二次方程，最后利用△?（）可得結果.【解析】根據題意可知：在△A3C中，D、E分別是BC、A3邊上的中點所以0為厶ABC的重心，所以入刁=2丄?（廳+疋）=丄（亦+疋）3又農=梵-麗，所以AO=^BC-2BA}所以所以^BC-2BA]BC=根據AB=3&1，BABC=BA-BCcosB所以豈呵2jlcos科呵+3=0貝|JA=(-2>/2cos5)2-4xlx3>0所以cos2,由AO-BC=-3<0^所以Bw0$2\z則COS^>—,所以k4」所以3的最大值為￡4故答案為：￡4【點睛】本題考查向量的線性表示以及數量積的運算，本題難點在于||z?c|2-2>/2cos^|BC|+3=0的表示以及△"的使用和理解，屬中檔題.3.如圖，在MBC中，AC=-BC9點M,N分別在AC,上，RAM=^AC93CPBN=-BC.若BM與AN相交于點P,則代的取值范圍是_?AB【答案】(|,2).【分析】設BC=2,4C=3,由三點共線的向量表示可設CP=(l-x)CA+xCN=(l-y)CB+yCM,結合已知條件進一步得到CP=-CA+-CB,4,CP、r1133由此可得(喬)=~s+s'13-12cos(CACB\f結合余弦函數的有界性即可得岀答

案.8三點共【解析】不妨設BC=2,AC=3,由于A,P,N三點共線，M,P線,故由平而向量基本定理可設，CP=(l-x)CA+xCN=(1-y)CB+yCM,??仙中C,8三點共CP=(l-x)CA+^CB=(l-y)CB+^CAii217亍?，解得{-=l-yCP~ABCP

(CB-CA)CP~ABCP

(CB-CA)21x=-23

r{CB-CA)2^cA13—12cos?.C〃)〈C4?CA)-13+331——+—x8813-12cos又-1<cos13—12cos?.C〃)〈C4?CA)-13+331——+—x8813-12cos又-1<cos(G4,CB、<1,?+丄+丄X3x2xcos/C4?帝二444'/4+9-2x3x2xcos(CA?CE^j112cos=_x一813-12cos?&)33]10+6cos〈c4112cos=_x一813-12cos?&)33.(―)2=--+-???4〃8813-12cos洛⑷,CPI洛⑷,ABV5>故答案為：(―,2).【點睛】本題考查三角形中的幾何計算，涉及了平而向量基本定理的運用，數量積的運算等基礎知識點，考查運算求解能力，屬于中檔題.4.三角形ABC中，AB=2,|4C|=2j5,ABAC=45°,4.三角形ABC中，AB則PB?PC的取值范圍是?【答案】［-p4］【分析】由于M=|4C|=2jI,ZB4C=45。，所以把AB,AC作為基底，而P為線段AC上任意一點，所以設PC=MC(0<r<l),然后利用向量的加減法法則把PB.PC分別用基底表示岀來，再求其數量積化簡可求其最值.[:解析】解：?PC=MC(0<r<l),貝iAP=(l-t)AC9因為丙=恥_AP=AB-(l-t)AC,所以PA?PC=[AB-(l-t)AC]tAC=tAB-AC-t(l-t)AC2=2x2邁t?cos45°一t(l-t)x(2y/2)2=Sr-4t=8(/——)2——421因為所以—一WPBPCW4,2所以PBPC的取值范圍為［-斗,4］，乙故答案為：［-*，4］乙【點睛】此題考查平向量基本定理的應用，解題的關鍵是選基底，屬于中檔題.5.在AABC中，滿足：石丄疋，M是BC的中點.

（1）若。是線段AM上任意一點，K|A5|=|Xc|=>/2,求OA.OB+OCOA的最小值：（2）若點尸是ZBAC內一點，且卜牛2,AP-AC=2>AP-AB=b求AB+AC+AP\的最小值.7【答案】（1）——；（2）—2【分析】（1）設\OA\=xf則|麗卜l-x,根據向量加法的平行四邊形法則可得OB+OC=2OM，再利用向量數量積定義可得OAOB+OCOA=^OAOM=2OAOMcos/r,配方即可求最值.（2）設心―訃今」由題意根據向量數量積的定義可得M=coL-可求解.網卜2sh將細+心朋兩邊平方展開，利用基本不等式即【解析】(1)?.?網|=|碼=>/!,J麗卜1,設網=x,則|om|=1-x,而OB+OC=2O\f，:.OAOB+OCOA=OA^OB+OC)2OAOM=2OAOMcos/r=-2x(1-x)=2x=-2x(1-x)=2x2-2x=2(T)當且僅當X=|時，OAOB^OCOA的最小值是(2)設ZCAP=a^>ZBAP=--a92vAPAC=2>APAB=l>\AP\=2?同理:2?卜科cosy-cr=ln12silla同理:2?卜科cosy-cr=ln12silla^AB+AC+AP^=Ab\aC2+Ap\2AB-AC+2AC.AP.2AB.AP=^——+4+2+44siii"asm2a+cos2asin^AB+AC+AP^=Ab\aC2+Ap\2AB-AC+2AC.AP.2AB.AP=^——+4+2+44siii"asm2a+cos2asin2a+cos2a,,cos-.+4snr.+1°sm-acos*a45/surezcos^a45.4549=——；—+；—+——>2J——；；—+——=1+—=——cos"a4sin"a4ycos"cr4sin"a444、“rq/t7Sill(XCOS(Xn-F當且僅勻一l=—=>taiicr=—時，cos"a4snra2所以\ab+ac+ap\IImin【點睛】本題考查了向量數量積的定義、向量模的運算、基本不等式求最值，考查了考生的運算求解能力，屬于中檔題.解題方法模板二：坐標法使用情景：己知向量坐標或向量具有坐標特征類型解題模板：第一步根據題意建立適當的直角坐標系并寫出相應點的坐標;第二步將平面向量的運算坐標化；第三步運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等求解即可.解題模板應用:例2在AABC中，AB=3AC=9,AC.AB=AC點P是AABC所在平面內一點，則當PA2+PB2+PC2^得最小值時，PABC=（）A.—24B?65/2D.24【答案】D解題模板選擇：本題中題意得CB丄AC.4建立適當的直角坐標，故選取解題方法模板二坐標法進行解答.解題模板應用：第一步，根據題意建立適當的直角坐標系并寫出相應點的坐標；ACAB=AC2.以C為坐標原點，直線CB,C4分別為兒y軸建立直角坐標系，因為AB=3AC=9,則4(0,3),3(60),P(x,y)第二步，將平面向量的運算坐標化；PA2+P52+PC2=x2+(y-3)2+(x-6^2)2+于+F+于=3(x-2>/2)2+3(y-1)2+54第三步，運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等求解即W..-.x=2>/2,y=l時，PA2+PB2+PC2取得最小值，此時PA?BC=(-2^2,2)?(-6>/2,0)=24故選D.練習：6.已知平行四邊形ABCD中，AB=AD=2,ZDAB=60°f對角線AC與相交于點O,點M是線段BC上一點，則頁7?頁7的最小值為()A.B.—C.--D.丄161622【答案】A【分析】以的中點為坐標原點，以所在直線為x軸，以C4所在直線為V軸，建立如圖所示的直角坐標系，求出直線的方程為)，=-5/亍x-松，設點克-JI),(-1<%<0),求岀頁7?阪的解析式，再利用二次函數求出函數的最小值即得解.【解析】如圖所示，以的中點為坐標原點，以3D所在直線為x軸，以C4所在直線為)'軸，建立如圖所示的直角坐標系，貝i」B(-l,0),C(0,-Q,所以直線FC的方程為y=-V3x-V3,66設點M(x,-屈—JJ),(-l<x<0),所以OM=(x,->/3x->/3),CM=(x-y/^x),所以麗?CM=x?(龍)「1"--sing[--,1],故選：c.?(龍)「1"--sing[--,1],故選：c.I6丿23q當x=—石時，OM〔CM?取到最小值一〒.o16故選：A.【點睛】本題主要考查平面向量的坐標表示和運算，考查函數最值的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，解決本題的關鍵是聯(lián)想到建立坐標系利用坐標來研究.7.己知AB是半圓O的直徑，AB=2,等腰三角形OCD的頂點C、D在半圓弧AB上運動，且OC=OD,ZCOD=120。，點P是半圓弧肋上的動點，則疋?而的取值范圍（）A.B?［-和］444C.［一扣D.［一詁］【答案】C【分析】建立直角坐標系，設岀點C、D.P的坐標，利用向量的數量積運算和三角函數的性質可得選項.【解析】以點O為原點，為x軸,垂直于AB的直線為y軸建立直角坐標系，如下圖所示，不妨取C（l,0）,則QPCPZ)=(l-cosa,-sina)j-i-cosa,^y--sina丄一—sina--cosa=--sui\a±-22227T不妨取C（l,0）,則QPCPZ)=(l-cosa,-sina)j-i-cosa,^y--sina丄一—sina--cosa=--sui\a±-22227T因為x［M］,所以吩號,H，所以sm”十詐［一扣］,所以【點睛】本題考查向量的數量積的最值求解，常常運用建立直角坐標系，利用坐標運算和轉化為己知向量的方法，屬于中檔題.&在△ABC中，AB=*.BC=2,Z^=150°,點D是4C邊上的一點（包括端點），點/"是人（？的中點，則加?麗的取值范圍是（）?A.0,*）B.[硝]°D.[0,1【答案】B1一1一【分析】由點M是4C的中點，所以BM=-BA+-BC.把麗用麗、貳表示，最乙厶后求加?麗的范圍即可.【解析】因為點M是AC的中點，所以BM』bA+2bC，22因為點D是4C邊上的一點（包括端點），所以CD=ACA,Ae[QA],BD-BC=ABA-aBC,BD=aBA-^（1-A）BCt2麗+2麗+（1-小可則誠泌pu￡斎+押貢+*（一）呼因為AB=*,BC=29Z^=150°,所以麗‘=3，BABC=-3^記=4，則麗？?而=*-”.因為OWE,則05”幾斗故而7?麗的取值范圍是0，扌故選：B.

【點睛】以三角形為載體，考查向量數量枳的取值范圍，解決的關鍵是選擇合適的基底表示向量，是基礎題.9.如圖，在平面四邊形ABCD中，43丄BC,ZBCD=60,ZADC=150\BE=3EC,CM半，BE&,若點尸為邊4D上的動點，則麗.麗的最小值為()【答案】B【分析】建立平而直角坐標系，設岀F點坐標，求得麗?麗的表達式，進而求得~EFBF的最小值.【解析】以B為原點建立如圖所示平而直角.依題意CE=-BE=—,BC=BE+CE=—fZBCD=60。,333在三角形BCD中，由余弦定理得所以BD2+CD2=BC29所以ZBDC=90°.而BC=2CD.所以ZDBC=30\ZDCB=60\在三角形CDE中，由余弦定理得在三角形CDE中，由余弦定理得所以CE2+DE2=CD2,所以ZDEC=90\在三角形中，ZABD=ZADB=60^所以三角形ABD是等邊三角形,一7一7厶4』.816所以肋=BD=2.所以A（0,2）,D（5/3,l）,E（5/3,0）,設F（x,y）依題意令AF=ZAD（O<1）,即（x,y—2）=2（JJ,—1）=（久）,所以嚴屈屈,所以尸（屁2-可,y-2=-2[y=2-2'）所以亦3尸=（屈_若,2_2）?（屈,2_2）=4/—7幾+4?7對于二次函數/（2）=4A2-72+4（0<2<2）,其對稱軸為2=-,開口向上，所以Oz、當/=-時，/（久）有最小值，也即亦?3尸有最小值為4x8【點睛】本小題主要考查向量數量積的最值的計算，考查數形結合的數學思想方法,屬于難題.10.如圖，在等腰梯形ABCD中，BC=3,ZC=45°,高為￡?為4￡>的中點，P為折線段C-D-AL的動點，設匪.麗的最小值為/⑺），若關于。的方程f（a）=ka-l有兩不等實根，則實數R的取值范圍是（）

A.品)B.A.品)B.【答案】A【分析】先以3為坐標原點，為x軸，建立直角坐標系，設P的橫坐標為X，將匪?麗用尤表示分段表示出來，再求最小值/(?)，再對f(a)=ka-l有兩不等實根變形，可轉化為兩函數有兩個交點，數形結合，求岀。的取值范圍.【解析】解：以3為坐標原點，BC為尤軸，建立直角坐標系如圖所示:設P的橫坐標為■則a<x<3當a<xv3—c/H寸，P在4￡)上動，P(x,a),則bEbP=*+才當x=d時，麗?麗的最小值f(a)=a33則R=a+—33則R=a+—+在(0怙)有兩不等實根，a22133^iy=k^y=ci+-+-9ae(0.-)有兩個交點.a221373當g=1時，y=a+—+牙有最小值為三，當qtO時，yn,當時,a222當3-6/<x<3,時，P在CD上動，則P(兀3—x),則BEBP=|x+(3-x)6/=§加兀+3a,TOC\o"1-5"\h\z9當x=3—a時，BEBPW?/(?)=cr--a+-399又(a?+-a)-(a2——a+—)=3a——<0,2224^ift/((7)=(72+-a,ae23又/(°)=滋-1有兩不等實根，則a2+-a=ka-l在空(0巧)有兩不等實根,711即方程f(a)=ka-l有兩不等實根有：故選:A【點睛】本題考查了平而向量及應用，方程根的存在性及個數判斷，是方程、向量、不等式的綜合應用，還考查了分析推理能力，運算能力，分類討論思想，數形結合思想，難度較大.解題方法模板三：基底法使用情景：已知向量直接求解不易需轉化為其他向量(即基底)的類型.解題模板：第一步利用基底轉化向量；第二步根據向量運算律化簡目標；第三步運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想、三角函數思想等得出結論.解題模板應用：例3在等腰梯形ABCD中，已知ABhDC,AB=2,BC=1,ZABC=60°,動點E和F分別在線段BC和DC上，且3左=2B?DF=—DC,則疋?喬的最小值為.92【答案】屁【解析】解題模板選擇:本題中所求向量易轉化為基底向量AB.AC,故選取解題方法模板三基底法進行解答.解題模板應用:第一步，利用基底轉化向量；AE=AB+BE=AB+ABC,———————1-92—1+92——AF=AB+BC+CF=AB+BC+——AB=——AB+BC182第一步，利用基底轉化向量；AE=AB+BE=AB+ABC,———————1-92—1+92——AF=AB+BC+CF=AB+BC+——AB=——AB+BC182182第二步，根據向量運算律化簡目標；AC=2xlxcosl20=--2★「FC1+92▲°19+92z,21o17所以4E?AF=x4+兄+x（-l）=——+—幾+—181892218第三步，運用適當的數學方法如二次函數的思想、基本不等式的思想.三角函數思想等得出結論.211729?29才冶聲瓦當且僅當r時取等號'故填T?練習:11.已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，P為對角線4C上一點，則刃?（丙+而）的最小值是（）B.-14A.0D.-2【答案】B【分析】根據向量的加法和向量的數量積的定義，以及再利用基本不等式可得岀帀?（丙+而卜_2可得選項.作出圖形如丙?（丙+而）=丙2帀n—2網怦卜一2丙?（丙+而）=丙2帀n—2網怦卜一2十2所以PA-[PB+PD)>-2土,當且僅當網|=“|時取等號，所以丙?（丙+而）的最小值是-扌,故選：B.BC【點睛】本題考查向量的加法和向量的數量積的運算，以及基本不等式的應用求最值，屬于中檔題.已知4M,分別為圓q：(x+l)'+尸=1與Q:(x-2)'+尸=4的直徑，則ABMN的取值范圍為()A.[0,8]B.[0,9]C.[1,8]D.[1,9]【答案】A【分析】由題先畫岀基本圖形，結合向量加法和點乘運算化簡可得亦mN=[O]O；+(AO；+O期.[o】O；_(AO；+O同]=9一|邁+0町,結合卜0[+0旳的范圍即可求解【解析】如圖，ABMN=(AO；+O@+O.B)(MO[+OtO：+O2N)=+(AO；+0出)[-(AO[+0期=|疏『一|碼+帀『=9一|碼+込§『其中|碼+帀卜[2-1,2+1]=[1,3],所以AB-M^e[9-32,9-l2J=[0,8].【點睛】本題考查向量的線性運算在幾何中的應用，數形結合思想，屬于中檔題已知△43C是邊長為4石的等邊三角形，其中心為O,P為平面內一點，若OP=1,則PAPB的最小值是A.-11B.-6C.-3D.-15【答案】A【分析】作岀圖像如下圖所示，取43的中點為D由OP=1,則P在以0為圓心,以1為半徑的圓上，再由公式商喬（頂十阿一0-呵0而I何一防匕,可得選項.TOC\o"1-5"\h\z4【解析】作岀圖像如卜?圖所示，取43的中點為D,則00=473x2^x1=2,因23為OP=1,則P在以0為圓心，以1為半徑的圓上，則頃略邏四衛(wèi)迺L畫也=加一2?又加為圓。上4的點P到D的距離，則^=2-1=1,刃?"的最小值為-11?故選：A.【點睛】本題考查向量的數量枳的最值，轉化法是解決此類問題的常用方法，屬于中檔題.已知圓0是邊長為2的正方形的內切圓，MN為圓0的一條直徑，點P為正方形四條邊上的一個動點，則麗?頃的取值范圍是【答案】［0,1【分析】作出圖形，考慮P是線段43上的任意一點，可得出|而卜以及PM=PO+OM,PN=PO-OM,然后利用平面向量數量枳的運算律可求得

PMPN的取值范lfl?【解析】如卜?圖所示:考慮P是線段A3上的任意一點，PM=PO+OM,PN=PO+ON=PO-OM,圓。的半徑長為1,由于P是線段AF上的任意一點，則|P0|g[1,V2],所以，PM?pN=(p0+OM)?(p0_OM)=p0'_OmVw[OJ]?故答案為:[0,1].【點睛】本題考查平面向量數量積取值范圍的計算，解答的關鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計算能力，屬于中等題.15.在梯形ABCD中，AB//CD,AB=BC=29CD=l9M是線段上的動點,若BD.AM=-3,則BdBC的取值范禺是【答案】丄4)【解析】【分析】由平而向量數量積的性質及其運算得到麗?荒=野=￡-8,再結合BA.BC=|BAHBCl^cos^,求岀麗?葩的取值范圉?【解析】解：由已知有：冃bC|,CD=^BAfBM=XBC，(O0W1),貝ljBDAM=(BC+CD){AB+BM)=(5C+|BA)(ABC-BA)=-32+822-22+822-2=182-2因為0^2^1,/.BA.BCe[1,10],因為BA.BC=\BA\^BC\<os09其中0為麗與北的夾角，因為COS(9G(-1,1),所以bA?BC=2x2cos6>=4cos^e(-4,4),又兵麗?BCqO,所以BA.BCe[l,4).故答案為：[1,4).【點睛】本題考查向量數量積以及向量表示，考查基本分析求解能力，屬于中檔題.解題方法模板四：幾何意義法使用情景：題中向量具有典型幾何意義.解題模板：第一步先確定向屋所表示的點的軌跡；第二步根據直線與曲線位置關系列式；第三步解得結果.解題模板應用：例4已知a,b,e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e夾角為冬，向量b滿足3，-4e?b+3=0,則0-切的最小值是()A.73-1B.V3+1C.2D.2-V3【答案】A【解析】解題模板選擇：本題中向量具有典型幾何意義，故選取解題方法模板四：幾何意義法進行解答.解題模板應用：解題模板：第一步先確定向量所表示點的軌跡；設a=(x,y),e=(1,0),b=(w):.ae=x=yjx2+y2cos彳/.y=土羽x因為b2-4e-b+3=Q,所以(m-2)2+n2=1第二步根據直線與曲線位置關系列式；因為|a-b|的的最小值為圓心(2,0)到直線)，=±屈的距離減去半徑1第三步解得結果.所以匕-b|的最小值是JT-1，選A.練習：16.如圖，在厶ABC中，ZACB=90°,BC=L2,AC=9,以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D設DA=a^DB=b，DC=c則介己的最大值是;2\a\+3\b\的最小值是.【答案】(1).90(2).12廊【分析】由訛」,可得當點￡＞在線段4C的延長線上時，D&D4共線同向,4不6取得最大值；在線段AC±取一點M,使得3=4,證明°￡^皿化人(加，則可得2|引+3|引=3白引+|5|)=3(|DV/|+|引)23|3M'|=I2屁，當D,M,皿|333三點共線時取【解析】設P為AC中點，為佔=忙+訂-忙-訐=|2麗—|猶『W4(|PC|+6)'-9‘=4$+6)2-y=90,當點D在線段AC的延長線上取“=”；-44所以a?c的最大值是90在線段AC±取一點M,使得|CA/|=4,又CD=6,CA=9,：.豈=豈,而ZDCM=ZACD,..^DCM^ACD,則0|3TT2T又因為2|引+3|糾=3(§0|+|糾)=3(|DM|+|/；|)n3|/M/|=3jI?市=12価，當》，M,B三點共線時取所以2\a\+3\b\的最小值是12J幣故答案為：90,12你【點睛】本題考查平面向量數量積的運算與應用，考查數形結合的解題思想方法與數學轉化思想方法，考查運算求解能力，屬于難題.已知平面向量5夾角為30。，若\a\=2f則訥+卩-片的最小值為.【答案】羽【解析】【分析】首先設a=ok，b=OBr則a-b=BA,結合向量Q,b夾角為30。，利用對稱關系，求得其最小值，也可以建系，利用向量的坐標去求解.【解析】解析1：（對稱）

設E=b=OB^則a-b=BA^過3作丄04于點H.由于向量廳，口夾角為30。，則BH=?OB,故-b+d-b\=\BH\+\AB\=|B//|+\A'B\所以最小值為Af到OA的距離為7?,即扌円+”-習的最小值為婦.故答案為：JL故答案為：JL解法厶（建系）設5=（2,0）,則斥二,不妨設加＞0,1.>/3+—//?"=——1.>/3+—//?"=——m+33令/（X）二半+J非一4x+4J—/fj2-4//j+4V3°—x-2,令廣a,令廣a）=o,解得x=i.扌亍一4x+4即當X=1時，/（兀）皿=的?所以護1+p-沖的最小值為Q故答案為：V3.【點睛】該題考查的是有關向量的問題，涉及到的知識點有向量模的和的最小值的

求解，在解題的過程中，可以利用圖形，從對稱角度去分析，也可以建系，將其坐標化求解，屬于中檔題目.在厶ABC中，AB=2冬,0為三角形的外接圓的圓心，若AO=xAB+yAC(x,yeR),且x+2y=l,則△43C的而積的最大值為.【答案】6【解析】【分析】首先取AC的中點D,則Ad=xAB+2yAD,根據平而向量基本定理確定點BQ.D三點共線，在結合條件和平面幾何關系，確定丄AC,再表示aABC