橢圓及其標準方程課件-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第3

章圓錐曲線的方程3.1.1橢圓及其標準方程1.理解橢圓的定義及橢圓的標準方程．(重點)2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標準方程．(重點)3.理解橢圓標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關(guān)問題．(難點)學習目標

我們知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線(截面與圓錐側(cè)面的交線)是一個圓.如果改變圓錐的軸與截平面所成的角，那么會得到怎樣的曲線呢?

如圖，用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.我們通常把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.

橢圓是圓錐曲線的一種具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用，那么橢圓到底有怎樣的幾何性質(zhì)，我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。問題背景與思考一、橢圓的定義

探究取一條定長的細繩,把它的兩端都固定在圖板的同一點,套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,這時筆尖(動點)畫出的軌跡是一個圓.如果把細繩的兩端拉開一段距離,分別固定在圖板的兩點F1,F2,套上鉛筆,拉緊繩子,移動筆尖,畫出的軌跡是什么曲線?在這一過程中,移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么?通過動畫演示可知，畫出的軌跡是橢圓.在這一過程中,移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是：移動的筆尖M(動點)到固定在圖板上的兩定點F1,F2的距離之和是定值,并且這個定值大于兩定點間的距離，即由此可得橢圓的定義.一、橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫橢圓.這兩個定點F1,F2叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距.焦距的一半稱為半焦距.橢圓的定義:思考動點的軌跡是橢圓應(yīng)滿足什么條件？②動點M到兩個定點F1,F2的距離之和是常數(shù)；

動點M的軌跡是線段F1F2

；動點M沒有軌跡

.①在平面內(nèi)----(這是前提條件)；當|MF1|+|MF2|=|F1F2|時：當|MF1|+|MF2|<|F1F2|時：一、橢圓的定義橢圓的定義集合表示:橢圓的光學性質(zhì)：從F1（F2）發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后聚焦于點F2（F1）.定義中的“常數(shù)”通常用2a表示，焦距用2c表示，故2a>2c>0，即a>c>0,因此，橢圓的定義可以用集合表示為：｛M||MF1|+|MF2|=2a｝,其中|F1F2|=2c，a>c>0(1)已知A(-3,0),B(3,0),M點到A,B兩點的距離和為10,則M點的軌跡是什么?(2)已知A(-3,0),B(3,0),M點到A,B兩點的距離和為6,則M點的軌跡是什么?(3)已知A(-3,0),B(3,0),M點到A,B兩點的距離和為5,則M點的軌跡是什么?橢圓線段AB不存在橢圓定義的限制條件：|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|=2c>0F1F2M??xyO

如圖示,建立平面直角坐標系.設(shè)M(x,y)是橢圓上任一點,橢圓的焦距為2c(c>0),M與F1,F2的距離的和等于常數(shù)2a(a>0),則(x,y)由定義知：化簡整理得由橢圓定義知：為了使方程形式更簡單：①我們把方程①叫做橢圓的標準方程.二.橢圓的標準方程

上式兩邊同除以a2(a2-c2)得設(shè)a2-c2=b2(b>0),則方程形式變?yōu)槎?橢圓的標準方程

橢圓的標準方程:如圖示,若橢圓的焦點在x軸上,則橢圓的標準方程為其中焦點坐標為F1(－c,0),F2(c,0),

c2＝a2－b2.F1F2M??xyO(x,y)思考1觀察圖,你能從中找出表示a,b,c的線段嗎？F1F2P??xyO由圖可知，abc思考2如圖示,如果焦點F1,F2在y軸上,且F1,F2的坐標分別為(0,－c),(0,c),a,b的意義同上,那么橢圓的方程是什么?(焦點在x軸上)(焦點在y軸上)二.橢圓的標準方程

定義焦點位置圖形方程特點共同點不同點F1F2M??xyOF1F2M??xyO焦點在x軸上焦點在y軸上a>b>0,且a2=b2+c2焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)方程中的a2是x2的分母焦點坐標F1(0,-c),F2(0,c)方程中的a2是y2的分母二.橢圓的標準方程

解1:(定義法)由于橢圓的焦點在x軸上，且關(guān)于O（0，0）對稱，故可設(shè)橢圓方程為由橢圓的定義知c=2，則故所求橢圓的標準方程為三、題型與方法題型一求橢圓的標準方程解2:(待定系數(shù)法)由于橢圓的焦點在x軸上，且關(guān)于O（0，0）對稱，故可設(shè)橢圓方程為解得故所求橢圓的標準方程為三、題型與方法題型一求橢圓的標準方程【方法說明】2.用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的一般步驟：1.求橢圓標準方程的主要方法有：3.a,b,c滿足的關(guān)系有：根據(jù)焦點位置設(shè)方程，代入計算出待定字母的值.

用定義尋找a,b,c的方程；(1)

定義法：(2)待定系數(shù)法：（1）定“位”：即確定焦點的位置；(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于a，b，c(或m，n)的方程組．即求a,b

的大小

.或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．三、題型與方法三、題型與方法題型一求橢圓的標準方程跟蹤訓練：所以c2＝25－9＝16.故a2－b2＝16

①.由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求橢圓的標準方程為法二：由題意可設(shè)所求橢圓的標準方程為解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．跟蹤訓練：題型一求橢圓的標準方程三、題型與方法解(1)因為橢圓的焦點在x軸上，(2)因為橢圓的焦點在y軸上，設(shè)它的標準方程為(3)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．

例2.（1）如圖，在圓x2+y2=4上任意一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當點P在圓上運動時,線段PD中點M的軌跡是什么？為什么？三、題型與方法題型二

利用橢圓定義求軌跡方程xyPMO?D?解1：(相關(guān)點代入法)設(shè)點M的坐標為(x,

y)，點P的坐標為(x0,

y0)，則點D的坐標為(x0,0).由點M是線段PD的中點，得∵點P（x0,y0）在圓x2+y2=4上,把x0=x,y0=2y代入上式,得x2+(2y)2=4,即∴x02+y02=4∴點M的軌跡是橢圓。注：尋求動點M的坐標(x,y)中x,y與另一已知動點坐標x0,y0之間的關(guān)系,然后消去x0,y0,得到點M的軌跡方程.這種方法叫相關(guān)點法（代入法）.三、題型與方法題型二

利用橢圓定義求軌跡方程

例2.（1）如圖，在圓x2+y2=4上任意一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當點P在圓上運動時,線段PD中點M的軌跡是什么？為什么？xyPMO?D?解2：(參數(shù)法)設(shè)點M的坐標為(x,y),∵

P

在圓x2+y2=4上，∴可設(shè)P(2cosθ,2sinθ),由題意有消去參數(shù)θ，得∴點M的軌跡是一個橢圓.標準方程參數(shù)方程：參數(shù)方程x2＋y2＝r2(x－a)2＋(y－b)2＝r2圓圓橢圓三、題型與方法xyBMOA?

解:設(shè)點M(x,y)，由A(-5,0),

B(5,0)，可得點M的軌跡為除去（-5，0），（5，0）兩點的橢圓。三、題型與方法解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法1.直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后進行等價變換，化簡為f(x，y)＝0.3.相關(guān)點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉(zhuǎn)移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點法．

2.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．三、題型與方法1.由例2（1）我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過“壓縮”或

“拉伸”

得到橢圓.由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?2.由例2（2）我們發(fā)現(xiàn)，“平面內(nèi)的動點到兩個定點連線的斜率之積為常數(shù)m（-1<m<0）,則動點的軌跡是橢圓；兩定點分別為該橢圓的頂點；有時我們稱此為橢圓的第三定義?！眴栴}背景三、題型與方法三、題型與方法跟蹤訓練：1.如圖，已知動圓P過定點A(－3，0)，并且在定圓B：(x－3)2＋y2＝64的內(nèi)部與其內(nèi)切，求動圓圓心P的軌跡方程．題型二

利用橢圓定義求軌跡方程解：設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于點M，動圓圓心P到兩定點A(－3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以動圓圓心P的軌跡是以A，B為左、右焦點的橢圓，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其軌跡方程為基本軌跡法相關(guān)點法三、題型與方法題型三

橢圓中的焦點三角形問題從而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.

①由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.

②三、題型與方法題型三

橢圓中的焦點三角形問題解（2）∵∠PF1F2＝90°，∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.從而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，(1)橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點三角形．解關(guān)于橢圓的焦點三角形的問題，通常要利用橢圓的定義，再結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識求解．(2)焦點三角形的常用公式①焦點三角形的周長L＝2a＋2c.②在△PF1F