試驗(yàn)設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)處理

試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理方法總述及總結(jié)王亞麗（數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院08統(tǒng)計(jì)1班081120132）摘要：實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理是一門非常有用的學(xué)科，是研究如何經(jīng)濟(jì)合理安排試驗(yàn)可以解決社會(huì)中存在的生產(chǎn)問題等，對(duì)現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)有很重要的指導(dǎo)意義。因此本文根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理進(jìn)行了總述與總結(jié)，以期達(dá)到學(xué)習(xí)、理解、掌握的以及靈活運(yùn)用的目的。1試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理基本知識(shí)總述1.1試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理的基本思想試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要分支。它是以概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)及線性代數(shù)為理論基礎(chǔ)，結(jié)合一定的專業(yè)知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，研究如何經(jīng)濟(jì)、合理地安排實(shí)驗(yàn)方案以及系統(tǒng)、科學(xué)地分析處理試驗(yàn)結(jié)果的一項(xiàng)科學(xué)技術(shù)，從而解決了長期以來在試驗(yàn)領(lǐng)域中，傳統(tǒng)的試驗(yàn)方法對(duì)于多因素試驗(yàn)往往只能被動(dòng)地處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)，而對(duì)試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)及試驗(yàn)過程的控制顯得無能為力這一問題。1.2試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理的作用（1） 有助于研究者掌握試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)考察指標(biāo)影響的規(guī)律性，即各因素的水平改變時(shí)指標(biāo)的變化情況。（2） 有助于分清試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)考察指標(biāo)影響的大小順序，找出主要因素。（3） 有助于反映試驗(yàn)因素之間的相互影響情況，即因素間是否存在交互作用。（4） 能正確估計(jì)和有效控制試驗(yàn)誤差，提高試驗(yàn)的精度。（5） 能較為迅速地優(yōu)選出最佳工藝條件（或稱最優(yōu)方案），并能預(yù)估或控制一定條件下的試驗(yàn)指標(biāo)值及其波動(dòng)范圍。（6） 根據(jù)試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)考察指標(biāo)影響規(guī)律的分析，可以深入揭示事物內(nèi)在規(guī)律，明確進(jìn)一步試驗(yàn)研究的方向。1?3試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理應(yīng)遵循的原則重復(fù)原則：重可復(fù)試驗(yàn)是減少和估計(jì)隨機(jī)誤差的的基本手段。隨機(jī)化原則：隨機(jī)化原則可有效排除非試驗(yàn)因素的干擾，從而可正確、無偏地估計(jì)試驗(yàn)誤差，并可保證試驗(yàn)數(shù)據(jù)的獨(dú)立性和隨機(jī)性。局部控制原則：局部控制是指在試驗(yàn)時(shí)采取一定的技術(shù)措施方法減少非試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。用圖形表示如下：2試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理方法總述和總結(jié)2.1方差分析概念：方差分析是用來檢驗(yàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本的平均值差異的顯著程度。并由此判斷樣本究竟是否抽自具有同一均值的總體。優(yōu)點(diǎn)：方差分析對(duì)于比較不同生產(chǎn)工藝或設(shè)備條件下產(chǎn)量、質(zhì)量的差異，分析不同計(jì)劃方案效果的好壞和比較不同地區(qū)、不同人員有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)差異是否顯著時(shí)，是非常有用的。缺點(diǎn)：對(duì)所檢驗(yàn)的假設(shè)會(huì)發(fā)生錯(cuò)判的情況，比如第一類錯(cuò)誤或第二類錯(cuò)誤的發(fā)生。基本原理：方差分析的基本思路是一方面確定因素的不同水平下均值之間的方差，把它作為對(duì)由所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)所組成的全部總體的方差的第一個(gè)估計(jì)值；另一方面再考慮在同一水平下不同試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)于這一水平的均值的方差，由此計(jì)算出對(duì)由所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)所組成的全部數(shù)據(jù)的總體方差的第二個(gè)估計(jì)值。比較上述兩個(gè)估計(jì)值，如果這兩個(gè)方差的估計(jì)值比較接近就說明因素的不同水平下的均值間的差異并不大，就接受零假設(shè)；否則，說明因素的不同水平下的均值間的差異比較大。數(shù)據(jù)處理基本步驟：定義總離差和為各樣本觀測值與總均值的離差平方和,SS=ZS(X-X)2T iji=1j=1其中：X――樣本均值，即XXij式中：N=nk——樣本觀測值總數(shù)對(duì)離差平方和分解如下：SS=京n(X-X)T iji=1j=1=工藝[(X-X)+(黑-X)]iji ii=1j=1=工藝[(X-黑)2+lLn(X-X)2]+2工藝(X-X)(X-X)iji i ijiii=1j=1 i=1 i=1j=式中：Xi 第i個(gè)樣本的均值即X=-工Xinijj=1交叉項(xiàng)：2工藝(X-X)(X-X)ijiii=1j==2工[(X-X)工(X-X_)]TOC\o"1-5"\h\zi ijii=1 j=1=2工(X-X)(nX-nX)=0i i ii=1令SS n(X-X)2T ii=1SS=ZS(X-X)2E ijii=1j=1其中，SSE刻畫了全部n次試驗(yàn)中純粹由隨機(jī)因素影響所產(chǎn)生的離差平方和，簡

稱為組內(nèi)平方和，也稱為誤差平方和。SSR刻畫了因素水平A的差異對(duì)數(shù)據(jù)離散型的作用，稱為組間平方和，或因素平方和。例如四種不同燈絲配料方案數(shù)據(jù)如下，問燈絲配料方案對(duì)燈泡使用壽命有無顯著影響？解：運(yùn)用方差分析發(fā)得總試驗(yàn)次數(shù)N=26,k二4,ni二7,叮5叫二8,n4=6燈泡品種試驗(yàn)結(jié)果/hA11600161016501680170017201800A215801640164017001750A31460155016001620164016601740 1820A4151015201530157016001680計(jì)算如下:=13090,T=1LX=94104 jj=1T=工X=11760,T工=13090,T=1LX=94104 jj=1TOC\o"1-5"\h\zj 2 j 3 jj=1 j=1 j=1Q=工X2=19785400,Q=》X21 j 2 jQ=工X2=19785400,Q=》X21 j 2 jj=1 j=13 j 4 jj=1 j=1i=1j=1X2=69895900jX=42570,Q=1Li=1j=1X2=69895900jiji=1j=1r~riSST=Q-亓=195711^4二=151350.83NSS=SS-SSRTE將上述各項(xiàng)計(jì)算出結(jié)果后，可利用方差分析表進(jìn)行方差分析表-1 方差分析表方差來源離差平方和自由度均方差統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量顯著性配料方案44360.71314786.902.15誤差15135.83226879.58總方差195711.5425⑹結(jié)論：從F分布表中差得F,（3,22）二3.05,因?yàn)镕<F,（3,22）故接受,即可認(rèn)為燈絲不同配料方案對(duì)燈泡使用壽命無顯著影響，亦可說明各方案都可制作燈泡。但在實(shí)際生產(chǎn)中可選用工藝簡單、造價(jià)經(jīng)濟(jì)的配料方案，進(jìn)行方差分析的目的也在此。2.2正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)（1） 基本思想：正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)利用正交表即可對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行合理安排，挑選少數(shù)具有代表性的組合處理試驗(yàn)一一以少代多，又可對(duì)實(shí)施的少數(shù)個(gè)組合處理結(jié)果進(jìn)行科學(xué)的分析，做出正確的結(jié)論一一以少求全。（2） 優(yōu)點(diǎn)：正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)從全面試驗(yàn)中挑選部分試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，減少試驗(yàn)次數(shù)，且試驗(yàn)點(diǎn)均勻分散，整齊可比。（3） 缺點(diǎn)：為了照顧整齊可比，試驗(yàn)點(diǎn)有時(shí)不能保證均勻分散，且試驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)目就會(huì)比較多（試驗(yàn)次數(shù)隨水平數(shù)的平方而增加）.（4） 表示符號(hào)：Ln（tq），其中L是正交表代號(hào)n，是行數(shù)（安排試驗(yàn)次數(shù)），t是因素水平數(shù)，q是列數(shù)（最多安排因素個(gè)數(shù)）（5） 性質(zhì)：（1）表中任何一列，各水平都出現(xiàn)，且出現(xiàn)次數(shù)相等。（2）表中任意兩列之間，各種不同水平的所有可能組合都出現(xiàn)，且出現(xiàn)的次數(shù)相等。（6） 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理步驟：（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?，確定試驗(yàn)指標(biāo)Q）挑選因素與水平，制定因素水平表（3）選擇正交表，并進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)（4）確定試驗(yàn)方案例題：乙醇溶液提取葛根中有效成分的試驗(yàn)，試驗(yàn)考察指標(biāo)有3項(xiàng)：提取物得率，提取物中葛根總黃酮含量，總黃酮中葛根素含量，且3個(gè)指標(biāo)越大越好。選取3個(gè)相對(duì)重要的因素：乙醇濃度，液固比和提取物回流次數(shù)進(jìn)行正交試驗(yàn)。解：運(yùn)用綜合平衡法，不考慮交互作用，選用正交表L（34）安排試驗(yàn)，試驗(yàn)和結(jié)果表如表-2

表-2 葛根有效成分提取試驗(yàn)方案與結(jié)果試驗(yàn)方案試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號(hào)A乙醇濃度％B液固比C回流次數(shù)提取物得率/%葛根總黃酮含量/%葛根素含量/%111116.25.12.1212227.46.32.5313337.87.22.6421238.06.92.4522317.06.42.5623128.26.92.5731327.47.32.8832138.28.03.1933216.67.02.2先對(duì)各指標(biāo)分別進(jìn)行直觀分析，分別得出因素的主次和最優(yōu)組合條件，結(jié)果如表-3：表-3 葛根有效成分提取試驗(yàn)結(jié)果分析試驗(yàn)結(jié)果AB空列C提取物得率/%Ki21.421.622.619.8K223.222.622.023.0K322.222.622.224.0ki7.137.207.536.60k27.737.537.337.67k37.407.537.408.00極差R1.81.00.64.2因素主次CAB最優(yōu)組合條件CAB需CAB3 2 2或 3 2 3Ki18.619.320.018.5

葛根總黃酮含量/%K220.220.720.220.5K322.321.120.922.1ki6.206.436.676.17k26.736.906.736.83k37.437.036.977.37極差R3.71.80.93.6因素主次ACB最優(yōu)組合條件ACB3 3 3量/%Ki7..27.37.76.8K27.48.17.17.8K38.17.37.98.1ki2.402.432.572.27k22.472.702.372.60k32.702.432.632.70極差0.90.80.81.3因素主次CAB最優(yōu)組合條件CAB3 2 2再進(jìn)行綜合平衡分析得，最優(yōu)組合條件A3B2C3,即乙醇濃度70%,液固比為6,回流3次。2.3均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)概念：均勻?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)就是只考慮試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍，是部分因子設(shè)計(jì)的主要方法之一，它適用于多因素多水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)場合，試驗(yàn)次數(shù)等于因素的水平數(shù)，是大幅度減少試驗(yàn)次數(shù)的一種優(yōu)良的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案。（2）特點(diǎn)：（1）每個(gè)因素的每個(gè)水平做一次且僅做一次試驗(yàn)。（2） 任兩個(gè)因素的試驗(yàn)點(diǎn)點(diǎn)在格子上，每行每列有且僅有一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，且這兩點(diǎn)反映了試驗(yàn)安排的均衡性。（3） 均勻設(shè)計(jì)表任兩列組成的試驗(yàn)方案一般并不等價(jià)。（4） 當(dāng)因素的水平數(shù)增加時(shí)，試驗(yàn)數(shù)按水平數(shù)的增加在增加。（3）思想：均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)沿用近30年來發(fā)展起來的“回歸設(shè)計(jì)”方法，運(yùn)用控制論中的“黑箱”思想，把整個(gè)過程看作一個(gè)“黑箱”，把參與試驗(yàn)的因素X「X2，Xn，通過運(yùn)用均勻設(shè)計(jì)法安排試驗(yàn)，并作為系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)而把試驗(yàn)指標(biāo)（結(jié)?果）丫，作為輸出參數(shù)（如圖J所示）。系 統(tǒng) ?Y（黑箱）圖-1 試驗(yàn)因素（輸入）與試驗(yàn)指標(biāo)（輸出）系統(tǒng)

在數(shù)學(xué)上可以把輸出參數(shù)Y與輸入?yún)?shù)X（i=1，2，，n）的關(guān)系用函數(shù)式表示Y=f（x,x,x） …1 2 n函數(shù)的模型對(duì)不同的系統(tǒng)可根據(jù)理論或憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果運(yùn)用回歸分析等方法確定模型中的系數(shù)。（4）優(yōu)點(diǎn)：“均勻設(shè)計(jì)”方法的思路是去掉“整齊”可比的要求，通過提高試驗(yàn)點(diǎn)“均勻分散”的程度，使試驗(yàn)點(diǎn)具有更好的代表性，使得能用較少的試驗(yàn)獲得較多的信息。⑸表示符號(hào)：Un（nm）或Un（nm），其中，“U”表示均勻設(shè)計(jì)，小標(biāo)“n”表示要做n次試驗(yàn)，括號(hào)中“n”表示每個(gè)因素有個(gè)n水平（試驗(yàn)時(shí)水平數(shù)可以小于試驗(yàn)次數(shù)，但必須能被試驗(yàn)次數(shù)整除），“m”表示該表有m個(gè)因素（列）u的右上角加“*”和不加“*”分別代表兩種不同類型的均勻設(shè)計(jì)表。示例

表-4U5（53）123112422433312144315555U5（53）的使用表因素?cái)?shù)列號(hào)D2120.310031230.4570（7）試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及步驟：具體步驟見例題例題：考慮一個(gè)三狀態(tài)Al，A2,A3和兩狀態(tài)BB2以及C1C2之定性因素的均勻設(shè)計(jì)。我們選的表U6（323）如下所示A B CA1A2A1A2A3A2AB1B2B2BiB1B2C1C1C2C2C1C2592646550501608532A狀態(tài)對(duì)應(yīng)3個(gè)特征變量Z11，Z12,Z13,我們選其中2個(gè)Z11，Z12,；B狀態(tài)對(duì)應(yīng)2個(gè)特征變量Z21，Z22，我們選Z21，C狀態(tài)對(duì)應(yīng)2個(gè)特征變量Z31，Z32，我們?nèi)　辍＿@是可列出含有4個(gè)虛擬變量的回歸方程為：Y=k+kZ+kZ+kZ+kZ+e0 11 11 12 12 21 21 31 31建立回歸方程后再求解即可，此處不再贅述。（8）均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)應(yīng)特別注意的問題：（1）試驗(yàn)次數(shù)為奇數(shù)時(shí)的均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)表的問題，對(duì)策之一在因素排列水平不變的條件下，將均勻設(shè)計(jì)表中某些列從上到下的水平號(hào)碼做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，也就是將原來最后一個(gè)水平與第一個(gè)水平銜接起來，組成一個(gè)封閉圈，然后從任意一處開始定為第一水平，按原方向或相反方向排出第二水平、第三水平等等；對(duì)策之二改變因素水平的排列順序。（2）選用的均勻設(shè)計(jì)表的試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)大于回歸模型中回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)。2.4回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)（1） 回歸正交試驗(yàn)簡介：正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是將試驗(yàn)安排與數(shù)據(jù)的回歸分析結(jié)合起來考慮，在試驗(yàn)中，通過適當(dāng)?shù)匕才旁囼?yàn)點(diǎn)，使得在每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)上的獲得的數(shù)據(jù)含有最大的信息，并且各自變量（因素）向量間滿足正交性以便于回歸分析；然后再用回歸分析處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)，將試驗(yàn)指標(biāo)與被考察的各因素間的關(guān)系以回歸方程表示出來。回歸正交設(shè)計(jì)兼容了正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)與回歸分析的優(yōu)點(diǎn)，是一種優(yōu)良的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。（2） —次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)模型：一次回歸正交設(shè)計(jì)就是利用回歸正交原理，建立試驗(yàn)指標(biāo)（y與m個(gè)試驗(yàn)因素xrX2,-.,xm，之間回歸方程:y=b+bx+bx+ +bx0 1 1 2 2 mm式中：b0,b1，-bm――回歸模型的參數(shù)模型的自變量（3）—次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本方法（1）確定因素的變化范圍，根據(jù)試驗(yàn)指標(biāo)y,選擇需要考察的m個(gè)因素jj=I，2,…,m），并確定每個(gè)因素的取值范圍。一般地說，上限于與下限的距離愈小，愈接近最佳水平范圍，試驗(yàn)求得的回歸方程的預(yù)測性就越好。設(shè)因素xj的變化范圍為［xj1,xj2］，分別稱xj1和xj2為因素xj的下限和上限，并將它們的算術(shù)平均值稱為零水平J0，即上限與零水平之差稱為因素xj的變化區(qū)間，用Aj表示，即A二x—xjj2 j0對(duì)因素的水平進(jìn)行編碼，編碼的目的是為了將試驗(yàn)效應(yīng)y對(duì)因素的回歸關(guān)系轉(zhuǎn)化為y對(duì)編碼值的回歸關(guān)系。編碼值為x—xz二——

jAj編碼以后，試驗(yàn)因素被編為-1,0,和1,即Zj1=—1Zj2=0Zj3=1一般稱xj為自然變量，Zj為規(guī)范變量。確定零水平的重復(fù)次數(shù)，零水平取值是各個(gè)因素的基準(zhǔn)水平，其重復(fù)的次數(shù)應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況和實(shí)驗(yàn)要求而定。選擇合適的正交表，回歸正交表有如下特點(diǎn)1)任一列編碼的和為0.工z=0即 i=iij2)任兩列編碼的乘積之和等于零，即工zz=0(k<j；j=1,2,...,m)ijkJi=1(4)—次回歸正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)分析：1)一次回歸方程的建立，如果采用二水平正交表編制m元一次回歸正交設(shè)計(jì)，一共進(jìn)行了N次試驗(yàn)，其試驗(yàn)結(jié)果以彳與…,ym，則一次回歸的數(shù)學(xué)模型為y=b+瓦bx+瓦bxx+e(i=1,2,...,N,j=1,2,...,m)i0 jij ijikijij=1 k<j根據(jù)最小二乘原理建立回歸方程，可得回歸系數(shù)為

b=?-o=

oNBb=b=?-o=

oNBb=—ij=

ij Ni4=1——=yNX