（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十一篇《第67講　互斥事件的概率 》理（含解析） 蘇教版

A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時(shí)間：45分鐘滿分：80分)一、填空題(每小題5分，共35分)1．某入伍新兵的打靶練習(xí)中，連續(xù)射擊2次，則事件“至少有1次中靶”的互斥事件是________(寫出一個(gè)即可)．答案2次都不中靶2．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2，該同學(xué)的身高在[160,175]的概率為0.5，那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為________．解析由對立事件的概率可求該同學(xué)的身高超過175cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3答案0.33．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽驗(yàn)一只是正品(甲級品)的概率為________．解析記抽驗(yàn)的產(chǎn)品是甲級品為事件A，是乙級品為事件B，是丙級品為事件C，這三個(gè)事件彼此互斥，因而抽驗(yàn)產(chǎn)品是正品(甲級品)的概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案0.924．現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和化學(xué)共5本書，從中任取1本，取出的是理科書的概率為________．解析記錄取到語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)書分別為事件A、B、C、D、E，則A、B、C、D、E是彼此互斥的，取到理科書的概率為事件B、D、E的概率的并集．P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)5．某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.20,0.30,0.10.則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為________．解析依題意，射中8環(huán)及以上的概率為0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不夠8環(huán)的概率為1－0.60＝0.40.答案0.406．(2011·浙江)從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是________．解析法一(直接法)：所取3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的取法可分為互斥的兩類：兩紅一白有6種取法；一紅兩白有3種取法，而從5個(gè)球中任?、蹅€(gè)球的取法共有10種，所以所求概率為eq\f(9,10).法二(間接法)：至少一個(gè)白球的對立事件為所取3個(gè)球中沒有白球，即只有3個(gè)紅球共1種取法，故所求概率為1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案eq\f(9,10)7．拋擲一粒骰子，觀察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B為出現(xiàn)2點(diǎn)，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，則出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)的概率為________．解析因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)二、解答題(每小題15分，共45分)8．由經(jīng)驗(yàn)得知，在人民商場付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)的概率；(2)至少2人排隊(duì)的概率．解記“沒有人排隊(duì)”為事件A，“1人排隊(duì)”為事件B，“2人排隊(duì)”為事件C，A、B、C彼皮互斥．(1)記“至多2人排隊(duì)”為事件E，則P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)記“至少2人排隊(duì)”為事件D.“少于2人排隊(duì)”為事件A＋B，那么事件D與事件A＋B是對立事件，則P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.9．袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率為eq\f(1,4)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率是eq\f(1,2)，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？解分別記得到紅球、黑球、黃球、綠球?yàn)槭录嗀、B、C、D.由于A、B、C、D為互斥事件，根據(jù)已知得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋PB＋PC＋PD＝1，,PB＋PC＝\f(5,12)，,PC＋PD＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PB＝\f(1,4)，,PC＝\f(1,6)，,PD＝\f(1,3).))∴得到黑球、黃球、綠球的概率各是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3).10．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，求：(1)兩數(shù)之和為5的概率；(2)兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)的概率．解將一顆骰子先后拋擲2次，此問題中含有36個(gè)等可能基本事件．(1)記“兩數(shù)之和為5”為事件A，則事件A中含有4個(gè)基本事件，所以P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).所以兩數(shù)之和為5的概率為eq\f(1,9).(2)記“兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)”為事件B，則事件B與“兩數(shù)均為偶數(shù)”為對立事件．所以P(B)＝1－eq\f(9,36)＝eq\f(3,4).所以兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)的概率為eq\f(3,4).B級綜合創(chuàng)新備選(時(shí)間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．給出滿足AB的非空集合A，B，以下四個(gè)命題中正確的為________(填序號)．①若任取x∈A，則x∈B是必然事件；②若任取x?A，則x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，則x∈A是隨機(jī)事件；④若任取x?B，則x?A是必然事件．解析由AB可知A中元素必在B中，反之不成立，故①，③，④正確．答案①③④2．某市派出甲、乙兩支球隊(duì)參加全省足球冠軍賽，甲、乙兩隊(duì)奪取冠軍的概率分別是eq\f(3,7)和eq\f(1,4)，則該市足球隊(duì)奪得全省足球冠軍的概率是________．解析P＝eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).答案eq\f(19,28)3．兩個(gè)射擊，甲射擊一次，中靶概率是P1，乙射擊一次，中靶概率是P2，已知eq\f(1,P1)，eq\f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1滿足方程Peq\o\al(2,1)－P1＋eq\f(1,4)＝0.則甲射擊一次，不中靶概率為________；乙射擊一次，不中靶概率為________．解析由Peq\o\al(2,1)－P1＋eq\f(1,4)＝0，得P1＝eq\f(1,2)，因?yàn)閑q\f(1,P1)，eq\f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根，所以eq\f(1,P1)·eq\f(1,P2)＝6，所以P2＝eq\f(1,3)，因此甲射擊一次，不中靶概率為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，乙射擊一次，不中靶概率為1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案eq\f(1,2)eq\f(2,3)4．某家庭電話，有人時(shí)打進(jìn)的電話響第一聲時(shí)被接的概率為eq\f(1,10)，響第二聲時(shí)被接的概率為eq\f(3,10)，響第三聲時(shí)被接的概率為eq\f(4,10)，響第四聲時(shí)被接的概率為eq\f(1,10)，則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為________．解析這是四個(gè)互斥事件，所以概率P＝eq\f(1,10)＋eq\f(3,10)＋eq\f(4,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案eq\f(9,10)5．拋擲一個(gè)均勻的正方體玩具(各面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過3”，則P(A＋B)＝________.解析記事件C為“朝上一面的數(shù)為2”，則A＋B＝A＋C，且A與C互斥．又因?yàn)镻(C)＝eq\f(1,6)，P(A)＝eq\f(1,2)，所以P(A＋B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)6．將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為________．解析圓心(2,0)到直線ax－by＝0的距離d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))，當(dāng)d＜eq\r(2)時(shí)，直線與圓相交，則有d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))＜eq\r(2)，得b＞a，滿足題意的b＞a，共有15種情況，因此直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案eq\f(5,12)二、解答題(每小題15分，共30分)7．國家射擊隊(duì)的某隊(duì)員射擊一次，命中7～10環(huán)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10987概率0.320.280.180.12求該射擊隊(duì)員射擊一次，(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)至少命中8環(huán)的概率；(3)命中不足8環(huán)的概率．解記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(k∈N，k≤10)，則事件Ak彼此互斥．(1)記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當(dāng)A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.32＋0.28＝0.60.(2)設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，那么當(dāng)A8，A9，A10之一發(fā)生時(shí)，事件B發(fā)生．由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是事件B“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對立事件，即eq\x\to(B)表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對立事件的概率公式得P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.8．有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站……，第100站，一枚棋子開始在第0站，參與者每擲一次硬幣，若硬幣正面向上，棋子向前跳一站(從k到k＋1)，若硬幣反面向上，棋子向前跳兩站(從k到k＋2)，直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或跳到第100站(失敗集中營)時(shí)，該游戲結(jié)束時(shí)．設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn.(1)P0，P1，P2的值；(2)試尋找Pn，Pn－1，Pn－2三個(gè)概率之間的關(guān)系，其中n∈N，2≤n≤99.解(1)因?yàn)槠遄娱_始在第0站，棋子在第0站為必然事件，所以P0＝1.若第一次擲硬幣出現(xiàn)正面向上，則棋子跳到第1站，其概率為eq\f(1,2)，所以P1＝eq\f(1,2).棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面向上，其概率為eq\f(1,4)；②第一次擲硬幣出現(xiàn)反