七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)考點(diǎn)02 一元一次方程應(yīng)用題（解析版）

/考點(diǎn)02一元一次方程應(yīng)用題知識(shí)框架基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：知識(shí)點(diǎn)1用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：?jiǎn)栴}方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗(yàn)、答．要點(diǎn)詮釋：（1）“審”指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時(shí)，及時(shí)指出，舍去即可；（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．知識(shí)點(diǎn)2建立書寫模型常見的數(shù)量關(guān)系1）公式形數(shù)量關(guān)系生活中許多數(shù)學(xué)應(yīng)用情景涉及如周長(zhǎng)、面積、體積等公式。在解決這類問(wèn)題時(shí)，必須通過(guò)情景中的信息，準(zhǔn)確聯(lián)想有關(guān)的公式，利用有關(guān)公式直接建立等式方程。長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=2（長(zhǎng)+寬）正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)正方形周長(zhǎng)=4邊長(zhǎng)2）約定型數(shù)量關(guān)系利息問(wèn)題，利潤(rùn)問(wèn)題，質(zhì)量分?jǐn)?shù)問(wèn)題，比例尺問(wèn)題等涉及的數(shù)量關(guān)系，像數(shù)學(xué)中的公式，但常常又不算數(shù)學(xué)公式。我們稱這類關(guān)系為約定型數(shù)量關(guān)系。3）基本數(shù)量關(guān)系在簡(jiǎn)單應(yīng)用情景中，與其他數(shù)量關(guān)系沒(méi)有什么差別，但在較復(fù)雜的應(yīng)用情景中，應(yīng)用方法就不同了。我么把這類數(shù)量關(guān)系稱為基本數(shù)量關(guān)系。單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)速度×?xí)r間=路程工作效率×?xí)r間=總工作量等。知識(shí)點(diǎn)3分析數(shù)量關(guān)系的常用方法1）直譯法分析數(shù)量關(guān)系將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語(yǔ)句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒(méi)有公國(guó)的等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。2）列表分析數(shù)量關(guān)系當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進(jìn)行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對(duì)號(hào)入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。3）圖解法分析數(shù)量關(guān)系用圖形表示題目中的數(shù)量關(guān)系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會(huì)題意。在行程問(wèn)題中，我們常常用此類方法。重難點(diǎn)題型題型1分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題解題技巧：此類題型，收費(fèi)往往因?yàn)椴煌姆侄?，?biāo)準(zhǔn)會(huì)不一樣。因此，在列寫此類問(wèn)題的等式方程時(shí)，需要先依據(jù)題意將路程進(jìn)行合理分段，然后在按照不同分段中的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)列寫等式方程。常見試題背景：水費(fèi)、電費(fèi)、氣費(fèi)、車費(fèi)、納稅、社保醫(yī)保體系等1．（2021·浙江杭州·七年級(jí)期末）為了鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，某區(qū)居民生活用水按階梯式水價(jià)計(jì)費(fèi)．居民在一年內(nèi)用水在不同的定額范圍內(nèi)，執(zhí)行不同的水價(jià)，其中水價(jià)＝供水價(jià)格＋污水處理費(fèi)．具體價(jià)格如表：類別戶年用水量（立方米）水價(jià)（立方米）供水價(jià)格（元/立方米）污水處理費(fèi)（元/立方米）居民生活用水一戶一表階梯一0--216（含）1.901.00階梯二216—300（含）2.85階梯三300以上5.70該區(qū)一居民家發(fā)現(xiàn)2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水費(fèi)為86.4元，比6月份多了55.6元，則該居民家7月份屬階梯二的用水量為（）A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米【答案】D【分析】根據(jù)題意，階梯一、二、三階段的水價(jià)，分別計(jì)算6、7月份用水量同在第一、二、三階段時(shí)10方水的價(jià)格，得到7月份用水量跨二、三階段，而六月份用水量在第二階段，從而得到6月份用水量為8立方米，7月份用水量為18立方米，設(shè)7月份第二階段用水量為立方米，則第三階段用水量為立方米．根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，階梯一、二、三階段的水價(jià)分別為：2.90/立方米、3.85/立方米、6.70元/立方米；若6、7月份用水量同在第一階段，則兩月水費(fèi)差應(yīng)為元；若6、7月份用水量同在第二階段，則兩月水費(fèi)差應(yīng)為元；若6、7月份用水量同在第三階段，則兩月水費(fèi)差應(yīng)為元；由于兩實(shí)際水費(fèi)差為55.6元，38.5＜55.6＜67，由題意可知，7月份用水量跨二、三階段，而六月份用水量在第二階段，易算出6月份用水量為立方米，則7月份用水量則為18立方米．設(shè)7月份第二階段用水量為立方米，則第三階段用水量為立方米．列出方程：；解得：．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意確定6、7月份用水量所在階梯，進(jìn)而得到兩個(gè)月的用水量是解題關(guān)鍵．2．（2021·福建省福州延安中學(xué)七年級(jí)期末）隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及和城市交通的多樣化，人們的出行方式有了更多的選擇．下圖是某市兩種網(wǎng)約車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，例：乘車?yán)锍虨?0公里，若選乘出租車，費(fèi)用為：（元）；若選乘曹操出行（快選），費(fèi)用為：（元）請(qǐng)回答以下問(wèn)題：（1）小明家到學(xué)校的路程是10公里．如果選乘出租車，車費(fèi)為元；如果選乘曹操出行（快選），車費(fèi)為元．（2）周末小明有事外出，要選乘網(wǎng)約車，如果乘車費(fèi)用預(yù)算為25元，他的行車?yán)锍虜?shù)最大是多少公里？（3）元旦期間，小明外出游玩，約車時(shí)發(fā)現(xiàn)曹操出行（快選）有優(yōu)惠活動(dòng)：總費(fèi)用打八折．于是小明決定選乘曹操出行（快選）．付費(fèi)后，細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)：相同的里程，享受優(yōu)惠活動(dòng)后的曹操出行（優(yōu)選）的費(fèi)用還是比出租車多了1.8元，求小明乘車的里程數(shù)．【答案】（1）29.4；40；（2）8；（3）6公里或15公里【分析】（1）根據(jù)兩種行程方式的收費(fèi)標(biāo)注計(jì)算即可．（2）設(shè)行車?yán)锍虜?shù)為x公里，分別求出兩種方式的行車?yán)锍虜?shù)，在比較大小．（3）設(shè)小明乘車?yán)锍虜?shù)為y公里，分三種情況列方程解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）出租車：14+2.2×（10-3）=14+15.4=29.4（元）；曹操出行10+2.4×10+0.4××60=10+24+6=40（元）．（2）設(shè)他的行車?yán)锍虜?shù)為x公里，因?yàn)?5＜29.4，25＜40，故x＜10．出租車：14+2.2×（x-3）=25，解得：x=8．曹操出行：10+2.4

x+0.4××60＝25，解得：x=5．∵8＞5，∴小明行車路程數(shù)最大是8公里．（3）設(shè)小明乘車的里程數(shù)為y公里．①y≤3時(shí)，[10+2.4y+0.4××60]×0.8-14=1.8，解得：y=3.25＞3（舍去）．②3＜y≤10時(shí)，[10+2.4y+0.4××60]×0.8-[14+2.2×（y-3）]=1.8，解得：y=6．③y＞10時(shí)，[10+2.4y+0.8×（y-10）+0.4××60]×0.8-[14+2.2×（y-3）+（y-10）]=1.8，解得：y=15．綜上所述，小明乘車?yán)锍虜?shù)為6公里或15公里．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．3．（2021·浙江九年級(jí)期末）我國(guó)最新的個(gè)人所得稅“起征點(diǎn)”是5000元，即月工資超過(guò)5000元的部分需要繳納稅收，具體如下表．其中應(yīng)納稅所得額=月工資-5000-專項(xiàng)扣除金額-依法確定的其他扣除金額．2020年個(gè)人所得稅稅率表（工資薪金所得適用）級(jí)數(shù)應(yīng)納稅所得額稅率10至3000元的部分3%2超過(guò)3000元至12000元的部分10%3超過(guò)12000元至25000元的部分20%4超過(guò)25000元至35000元的部分25%5超過(guò)35000元至55000元的部分30%（1）某員工的應(yīng)納稅所得額為4000元，求該員工繳納的稅額是多少?（2）我國(guó)專項(xiàng)扣除的常見項(xiàng)目及金額如下：①每個(gè)子女教育扣除2000元；②住房貸款扣除2000元；③贍養(yǎng)每位老人扣除2000元．某公司一技術(shù)專家的月工資是40000元，他有1個(gè)讀初中的子女、一套住房的貸款和贍養(yǎng)2位老人，則該技術(shù)專家繳納的稅額是多少元?（3）公益捐贈(zèng)屬于依法確定的其他扣除項(xiàng)目，在（2）的基礎(chǔ)上，該技術(shù)專家在三月份參加了公益捐贈(zèng)活動(dòng)后，實(shí)際收入33610元，求該技術(shù)專家在三月份捐贈(zèng)了多少元?【答案】（1）190元；（2）4090元；（3）3000元【分析】（1）利用應(yīng)繳納的稅額=3000×3%+超出3000元的部分×10%，即可求出結(jié)論；（2）利用應(yīng)納稅所得額=月工資-500-專項(xiàng)扣除金額，可求出該技術(shù)專家的應(yīng)納稅所得額，利用應(yīng)繳納的稅額=3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+超出25000元的部分×25%，即可求出結(jié)論；（3）設(shè)該技術(shù)專家在三月份捐贈(zèng)了x元，分x＜2000及x＞2000兩種情況考慮，由該技術(shù)專家在三月份的實(shí)際收入33610元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）3000×3%+（4000-3000）×10%=190（元）．答：該員工繳納的稅額是190元．（2）該技術(shù)專家的應(yīng)納稅所得額為40000-5000-2000-2000-2000×2=27000（元），3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+（27000-25000）×25%=4090（元）．答：該技術(shù)專家繳納的稅額是4090元．（3）設(shè)該技術(shù)專家在三月份捐贈(zèng)了x元．當(dāng)x＜2000時(shí)，3000×3%+（12000-3000）×10%+（25000-12000）×20%+（27000-x-25000）×25%=40000-x-33610，解得：x=（不合題意，舍去）；當(dāng)x＞2000時(shí)，3000×3%+（12000-3000）×10%+（27000-x-12000）×20%=40000-x-33610，解得：x=3000．答：該技術(shù)專家在三月份捐贈(zèng)了3000元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．4．（2021·湖北七年級(jí)期末）下表中有兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式．月使用費(fèi)主叫限定時(shí)間主叫超時(shí)費(fèi)被叫方式一48元50min0.2元/min免費(fèi)方式二98元320min0.15元/min免費(fèi)（1）若每月的主叫時(shí)間為x分鐘（x為正整數(shù)），請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚ㄖ苯犹顚懟?jiǎn)后的結(jié)果）：主叫時(shí)間x（min）方式一計(jì)費(fèi)（元）方式二計(jì)費(fèi)（元）0＜x≤5050＜x≤320x＞320（2）若你的月主叫時(shí)間超過(guò)50min，但不超過(guò)320min，要選擇計(jì)費(fèi)更低的計(jì)費(fèi)方式，請(qǐng)你做出選擇，并說(shuō)明理由．【答案】（1）填表后見詳解；（2）50＜x＜300時(shí)，選擇方式一計(jì)費(fèi)更低；x＝300時(shí)，計(jì)費(fèi)一樣；300＜x≤320時(shí)，選擇方式二計(jì)費(fèi)更低【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可直接得出：當(dāng)0＜x≤50時(shí)，方式一和方式二的計(jì)費(fèi)；當(dāng)50＜x≤320時(shí)，方式一的計(jì)費(fèi)方式需要列出相應(yīng)的代數(shù)式，根據(jù)總費(fèi)用等于月使用費(fèi)用加主叫超時(shí)費(fèi)用即可得出，方式二還是可直接從表中讀出計(jì)費(fèi)；當(dāng)x＞320時(shí)，方式一和方式二都根據(jù)總費(fèi)用計(jì)算方法列代數(shù)式即可；（2）在50＜x≤320范圍內(nèi)，先根據(jù)（1）所列代數(shù)式，找到方式一和方式二費(fèi)用相同時(shí)的限定時(shí)間為，然后將50＜x≤320分為50＜x＜300、300＜x≤320進(jìn)行討論，即可確定在什么情況下，選擇何種方式計(jì)費(fèi)更低．【詳解】（1）根據(jù)圖表可得：當(dāng)0＜x≤50時(shí)，方式一計(jì)費(fèi)為48元，方式二計(jì)費(fèi)為98元；當(dāng)50＜x≤320時(shí)，方式一計(jì)費(fèi)為：，方式二計(jì)費(fèi)為98元；當(dāng)x＞320時(shí)，方式一計(jì)費(fèi)為：，方式二計(jì)費(fèi)為：．填表后如下：主叫時(shí)間x（min）方式一計(jì)費(fèi)（元）方式二計(jì)費(fèi)（元）0＜x≤50489850＜x≤3200.2x＋3898x＞3200.2x＋380.15x＋50（2）由，得．當(dāng)50＜x＜300時(shí)，可知0.2x＋38＜98，此時(shí)選擇方式一計(jì)費(fèi)更低；當(dāng)x＝300時(shí)，選擇方式一與方式二，計(jì)費(fèi)一樣；當(dāng)300＜x≤320時(shí)，可知0.2x＋38＞98，此時(shí)選擇方式二計(jì)費(fèi)更低．【點(diǎn)睛】題目主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和已知條件列出相應(yīng)的代數(shù)式和方程，然后根據(jù)方程的解得出最省錢的方式．5．（2021·聊城市茌平區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）為鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，某省試行階段電價(jià)收費(fèi)制，具體執(zhí)行方案如表：檔次每戶每月用電數(shù)度執(zhí)行電價(jià)元度第一檔小于等于200部分第二檔大于200且小于等于400部分第三檔大于400部分（1）若一戶居民七月份用電420度，則需繳電費(fèi)多少元？（2）若一戶居民某月用電x度大于200且小于，則需繳電費(fèi)多少元？用含x的代數(shù)式表示（3）某戶居民五、六月份共用電500度，繳電費(fèi)262元．已知該用戶六月份用電量大于五月份，且五、六月份的用電量均小于400度，問(wèn)該戶居民五、六月份各用電多少度？【答案】（1）需繳電費(fèi)236元；（2）(0.6x-20)元；（3）該戶居民五月份用電180度，六月份用電320度．【分析】（1）根據(jù)階梯電價(jià)收費(fèi)制，用電420度在第三檔，則需繳電費(fèi)，計(jì)算即可；（2）根據(jù)階梯電價(jià)收費(fèi)制，用電度大于200小于，需交電費(fèi)，化簡(jiǎn)即可；（3）設(shè)五月份用電度，則六月份用電度，分兩種情況進(jìn)行討論：①；②．【詳解】解：（1）元．答：需繳電費(fèi)236元；（2）（元）；（3）設(shè)五月份用電x度，則六月份用電度．分兩種情況：第一種情況:當(dāng)時(shí)，，解得，；第二種情況:當(dāng)時(shí)，250≤500-x≤400，，，無(wú)解，所以，該戶居民五月份用電180度，六月份用電320度．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．6．（2021·浙江杭州·七年級(jí)期末）為充分發(fā)揮市場(chǎng)機(jī)制和價(jià)格杠桿在水資源配置中的作用，促進(jìn)節(jié)約用水，提高用水效率，2017年7月1日起某地實(shí)行階梯水價(jià)，價(jià)目如表（注：水費(fèi)按月結(jié)算，表示立方米）：價(jià)目表每月用水量單價(jià)（元/）不超過(guò)18的部分3超出18不超出25的部分4超出25的部分7例：某戶居民5月份共用水，則應(yīng)繳水費(fèi)（元）．（1）若A居民家1月份共用水，則應(yīng)繳水費(fèi)_______元；（2）若B居民家2月份共繳水費(fèi)66元，則用水________；（3）若C居民家3月份用水量為（a低于，即），且C居民家3、4兩個(gè)月用水量共，求3、4兩個(gè)月共繳水費(fèi)多少元？（用含a的代數(shù)式表示）【答案】（1）36；（2）21；（3）a＜15時(shí)，（187-4a）元；15≤a≤18時(shí)，（142-a）元；18＜a≤20時(shí)，124元【分析】（1）A居民家1月份共用水12m3，則按第一檔繳費(fèi)，3×12=36（元）；（2）B居民家由于2月份繳水費(fèi)66元，用水超過(guò)了18m3，設(shè)用水xm3，根據(jù)繳費(fèi)的形式得到3×18+（x-18）×4=66，然后解方程即可；（3）分類討論：當(dāng)a＜15；當(dāng)15≤a≤18；當(dāng)18＜a≤20，然后根據(jù)各段的繳費(fèi)列代數(shù)式．【詳解】解：（1）∵12＜18，∴應(yīng)繳水費(fèi)12×3=36（元），故答案為：36；（2）由題意可算出，x≤15時(shí)，水費(fèi)不高于54元，X≥25時(shí)，水費(fèi)不低于82元，設(shè)B居民家2月份用水xm3，∴3×18+4×（x-18）=66，解得x=21．故答案為：21．（3）①當(dāng)a＜15時(shí)，4月份的用水量超過(guò)25m3共繳水費(fèi)：3a+3×18+4（25-18）+7（40-a-25）=187-4a，②當(dāng)15≤a≤18時(shí)，4月份的用水量不低于22m3且不超過(guò)25m3共繳水費(fèi)：3a+3×18+4（40-a-18）=142-a，③當(dāng)18＜a≤20時(shí)，4月份的用水量超過(guò)20m3且不超過(guò)22m3共繳水費(fèi)：3×18+4（a-18）+3×18+4（40-a-18）=124．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程，注意分類討論思想的理解運(yùn)用．題型2幾何問(wèn)題（等積問(wèn)題）解題技巧：圖形無(wú)論如何切割或邊形，其面積或體積始終不變，利用這個(gè)不變的特點(diǎn)，列寫等式方程。1．（2021·重慶市天星橋中學(xué)七年級(jí)月考）（選自《課堂導(dǎo)報(bào)》27期）第26屆世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)于2011年8月12日至8月23日在我國(guó)深圳舉辦，假如一比賽場(chǎng)館內(nèi)的地面瓷磚按如圖（圖中每塊瓷磚均一樣）所示的方式拼放，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，設(shè)瓷磚的長(zhǎng)為，則可列出的方程是______________．【答案】2x=x+3（60-x）【分析】設(shè)瓷磚的長(zhǎng)為xcm，則瓷磚的寬為（60-x）cm，根據(jù)長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)瓷磚的長(zhǎng)為xcm，則瓷磚的寬為（60-x）cm，依題意得：2x=x+3（60-x）．故答案為：2x=x+3（60-x）．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正值列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江）實(shí)驗(yàn)室里，水平桌面上有半徑相同的甲、乙、丙三個(gè)圓柱形容器（容器足夠高），用兩個(gè)相同的管子在容器的高度處連通（即管子底端離容器底）．現(xiàn)三個(gè)容器中，只有甲中有水，水位高，如圖所示，若每分鐘同時(shí)向乙和丙注入相同量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升，則開始注入_____分鐘的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高．【答案】3或9.3【分析】在容器乙中的水未注入容器甲之前，注入的水僅存放在乙、丙容器內(nèi)；在容器乙中的水注入容器甲之后，注入容器乙和丙中的水流入到甲容器中，在注入的過(guò)程中產(chǎn)生0.5cm的高度差．【詳解】解：當(dāng)容器乙中的水未注入容器甲之前，由題意，注入單個(gè)容器中水位上升的高度與時(shí)間的關(guān)系為/分鐘，所以當(dāng)乙中水位為2.5cm時(shí)滿足條件，所用時(shí)間為：2.5÷=3（分鐘）；當(dāng)容器乙中的水注入容器甲之后，當(dāng)甲容器中的水位為5.5cm，容器乙中的水位為6cm時(shí)，滿足題意，設(shè)注水時(shí)間為x，則2×x+2=2×6+5.5，解得x=9.3（分鐘），要使乙中水位高出甲0.5cm，則需注水的時(shí)間為：9.3分鐘．故答案為：3或9.3．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意分析產(chǎn)生水位差的兩種情況是解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)，建立方程時(shí)要注意甲容器中原有的水．3．（2021·山西臨汾·七年級(jí)期中）在一個(gè)底面直徑為6cm，高為9cm的圓柱形瓶?jī)?nèi)注水，使水柱的高為5cm，向瓶中放入一塊長(zhǎng)、寬、高分別為2cm，2cm，4cm的長(zhǎng)方體鐵塊，則此時(shí)水柱的高為（）（取3）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】D【分析】利用長(zhǎng)方體及圓柱的體積公式列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)水面將增高，由題意可得，，解得，．此時(shí)水柱的高為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了體積公式，解題的關(guān)鍵是利用長(zhǎng)方體及圓柱的體積公式列出方程．4．（2021·江蘇）如圖，是由7塊正方形組成的長(zhǎng)方形，已知中間小正方形的邊長(zhǎng)為1，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為（）A．63 B．72 C．99 D．110【答案】A【分析】設(shè)出正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而表示出其他正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相等列出方程，求出方程的解得到的值，進(jìn)而求出長(zhǎng)方形的面積即可．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)圖形得：，解得：，則長(zhǎng)方形的面積為．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清圖形中的數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．5.（2021·浙江）如圖，一個(gè)盛有水的圓柱形玻璃容器的底面半徑為，容器內(nèi)水的高度為，把一根半徑為的玻璃棒垂直插入水中，水不會(huì)溢出，則容器內(nèi)的水將升高_(dá)_______cm．【答案】0.5【分析】根據(jù)題意，得等量關(guān)系為：容器的底面積×容器中水的原來(lái)高度+玻璃棒的截面積×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面積×（容器中水原來(lái)的高度+水增加的高度）．【詳解】解：設(shè)容器內(nèi)的水將升高xcm，依題意有：π×102×12+π×22（12+x）=π×102（12+x），1200+4（12+x）=100（12+x），1200+48+4x=1200+100x，96x=48，x=0.5．故容器內(nèi)的水將升高0.5cm．故答案為：0.5．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．6．（2021·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)期中）2020年國(guó)慶前夕，德強(qiáng)中學(xué)七年級(jí)籌備篝火晚會(huì)時(shí)，使用如圖8張正方形泡沫板拼成一個(gè)長(zhǎng)方形展板，其中最小的兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)均為1米；（1）請(qǐng)求出其中最大的正方形邊長(zhǎng)；（2）展板的繪制任務(wù)由七年級(jí)美術(shù)小組的同學(xué)共同完成，小組中每名同學(xué)每小時(shí)能夠繪制2平方米展板，繪制5小時(shí)后有4名同學(xué)離開，其余同學(xué)繼續(xù)繪制4小時(shí)后完成展板繪制，求美術(shù)小組共有多少名同學(xué)．【答案】（1）其中最大正方形的邊長(zhǎng)為7米；（2）美術(shù)小組共9名同學(xué)．【分析】（1）可設(shè)第二小的正方形的邊長(zhǎng)為x米，則五種正方形的邊長(zhǎng)從小到大依次為1米，x米，（x+1）米，（x+3）米，（x+4）米，再根據(jù)長(zhǎng)方形展板上下兩對(duì)邊相等列出方程即可求出x，最大正方形邊長(zhǎng)也就是（x+4）米；（2）根據(jù)（1）可求出展板的面積，設(shè)美術(shù)組同學(xué)為y名，根據(jù)題意列方程解方程即可．【詳解】解：（1）設(shè)第二小的正方形的邊長(zhǎng)為x米，則五種正方形的邊長(zhǎng)從小到大依次為1米，x米，（x+1）米，（x+3）米，（x+4）米，根據(jù)長(zhǎng)方形展板上下兩對(duì)邊相等列方程得（x+3）+（x+4）＝（x+1）+x+x+x，解得x＝3，x+4＝7（米），答：其中最大正方形的邊長(zhǎng)為7米；（2）根據(jù)（1）得展板的長(zhǎng)為（x+3）+（x+4）＝13（米），展板的寬為（x+4）+x＝10（米），∴展板的面積為13×10＝130（平方米），設(shè)美術(shù)組共有y名同學(xué)，根據(jù)題意列方程得2×[5y+4（y﹣4）]＝130，解得y＝9，答：美術(shù)小組共9名同學(xué)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找到等量關(guān)系列出方程求解．題型3行程問(wèn)題解題技巧：行程問(wèn)題總公式為：路程=速度×?xí)r間。行程問(wèn)題可分為3大類，不同類型的問(wèn)題，在求解速度時(shí)有所不同，具體如下：①相遇問(wèn)題（或相向問(wèn)題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問(wèn)題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問(wèn)題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來(lái)考慮．（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來(lái)分析．1.相遇問(wèn)題（相向問(wèn)題）1．（2021·天津和平·七年級(jí)期末）某中學(xué)學(xué)生軍訓(xùn)，沿著與筆直的鐵路并列的公路勻速前進(jìn)，每小時(shí)走4.5千米．一列火車以每小時(shí)120千米的速度迎面開來(lái)，測(cè)得從火車頭與隊(duì)首學(xué)生相遇，到車尾與隊(duì)末學(xué)生相遇，共經(jīng)過(guò)12秒．如果隊(duì)伍長(zhǎng)150米，那么火車長(zhǎng)（）A．150米 B．215米 C．265米 D．310米【答案】C【分析】先將12秒化為小時(shí)，設(shè)火車長(zhǎng)x千米，然后根據(jù)學(xué)生行駛的路程+火車的路程＝火車的長(zhǎng)度+學(xué)生隊(duì)伍的長(zhǎng)度列方程求解即可，注意單位換算．【詳解】解：12秒＝小時(shí)，150米＝0.15千米，設(shè)火車長(zhǎng)x千米，根據(jù)題意得：×(4.5+120)＝x+0.15，解得：x＝0.265，0.265千米＝265米．答：火車長(zhǎng)265米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是理解題意，找到正確的等量關(guān)系．2．（2021·廣東七年級(jí)期末）已知A、B兩站間的距離為480千米，一列慢車從A站出發(fā)，一列快車從B站出發(fā)，慢車的平均速度為60千米/時(shí)，快車的平均速度為100千米/時(shí)，如果兩車同時(shí)出發(fā)，慢車在前，快車在后，同向而行，那么出發(fā)后________小時(shí)兩車相距80千米．【答案】10或14【分析】可設(shè)出發(fā)后x小時(shí)兩車相距80千米，分兩種情況：兩車相距80千米時(shí)慢車在前；兩車相距80千米時(shí)快車在前列方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)出發(fā)后x小時(shí)兩車相距80千米，當(dāng)慢車在前時(shí)，100x﹣60x＝480﹣80，解得x＝10，當(dāng)快車在前時(shí)，100x﹣60x＝480+80，解得x＝14，答：出發(fā)后10小時(shí)或14小時(shí)兩車相距80千米，故答案為：10或14．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，涉及路程問(wèn)題，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2021·河南七年級(jí)期中）學(xué)校操場(chǎng)的環(huán)形跑道長(zhǎng)400米，小聰?shù)陌职峙阈÷斿憻?，小聰跑步每秒?.5米，爸爸騎自行車每秒行6.5米，兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)，同向而行，每隔________秒兩人相遇一次．【答案】100【分析】設(shè)每隔x秒兩人相遇一次，根據(jù)二者速度之差×?xí)r間=跑道長(zhǎng)度，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)每隔x秒兩人相遇一次，

根據(jù)題意得：（6.5-2.5）x=400，解得：x=100．

答：每隔100秒兩人相遇一次．故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2021·黑龍江七年級(jí)期末）已知A、B兩地相距800米，甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，沿著同一條直線公路相向而行．若甲以6米/秒的速度騎自行車前進(jìn)，乙以4米/秒的速度步行，則經(jīng)過(guò)_____秒兩人相距100米．【答案】70或90【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)x秒兩人相距100米，分兩人相遇前及相遇后兩種情況考慮，當(dāng)兩人未相遇前，利用甲騎行的路程+乙步行的路程+100=A、B兩地間的距離，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；當(dāng)兩人相遇后，根據(jù)甲騎行的路程+乙步行的路程-100=A、B兩地間的距離，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒兩人相距100米，

當(dāng)兩人未相遇前，6x+4x+100=800，解得：x=70；

當(dāng)兩人相遇后，6x+4x-100=800，解得：x=90．故答案為：70或90．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2021·寧陽(yáng)縣第二十四中學(xué)期末）一個(gè)自行車賽車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以的速度前進(jìn)，突然一號(hào)隊(duì)員以的速度獨(dú)自行進(jìn)后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合，一號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)了多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】【分析】設(shè)一號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)了，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)一號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)了，由題意得：，解得．答：一號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)開始到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過(guò)了．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意找到題中的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．6．（2021·青島大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)期末）、兩地相距，甲、乙兩人從兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā)，圖中，表示兩人離地的距離與時(shí)間的關(guān)系，結(jié)合圖像回答下列問(wèn)題：（1）表示乙離開地的距離與時(shí)間關(guān)系的圖像是（填或），甲的速度是；乙的速度是．（2）甲出發(fā)后多少時(shí)間兩人恰好相距？（利用方程解決，寫出解答過(guò)程）【答案】（1）l2，30，20；（2）1.3小時(shí)或1.5小時(shí)【分析】（1）根據(jù)“甲先出發(fā)”和函數(shù)圖象，可以得到，分別表示甲、乙的函數(shù)圖象，再計(jì)算出甲和乙的速度即可；（2）設(shè)甲出發(fā)t小時(shí)后兩人恰好相距5km，分兩人相遇前和兩人相遇后兩種情況討論即可．【詳解】（1）甲先出發(fā)，由圖像可知，分別表示甲、乙的函數(shù)圖像，甲的速度為：，乙的速度為：，故答案為：l2，30，20；（2）設(shè)甲出發(fā)t小時(shí)后兩人恰好相距5km，兩人相遇前：，解得：t=1.3,兩人相遇后，，解得：t=1.5甲出發(fā)1.3小時(shí)或1.5小時(shí)后兩人恰好相距5km．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解圖象中的特殊點(diǎn)，如交點(diǎn)、起點(diǎn)等表示的意義．7．（2021·廣東七年級(jí)期末）如圖，A、B兩地相距90千米，從A到B的地形依次為：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲從A地開汽車以120千米/小時(shí)的速度前往B地，乙從B地騎摩托車以60千米/小時(shí)的速度前往A地，汽車上坡的速度為100千米/小時(shí)，摩托車下坡的速度為80千米/小時(shí)，甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)．（1）求甲從A到B地所需要的時(shí)間．（2）求兩人出發(fā)后經(jīng)過(guò)多少時(shí)間相遇？（3）求甲從A地前往B地的過(guò)程中，甲、乙經(jīng)過(guò)多少時(shí)間相距10千米？【答案】（1）小時(shí)；（2）小時(shí)；（3）或小時(shí)【分析】（1）分段求出所需時(shí)間，相加即可得到甲從A到B地所需要的時(shí)間；（2）先判斷在哪段相遇，再根據(jù)題意列出正確的方程即可求解；（3）先判定甲從A地前往B地的過(guò)程中，甲、乙有兩次相距10千米的機(jī)會(huì)，分情況求解即可．【詳解】（1）甲在段所需時(shí)間為：小時(shí)，甲在段所需時(shí)間為：小時(shí)，甲在段所需時(shí)間為：小時(shí)，所以甲從A到B地所需要的時(shí)間為小時(shí)．答：甲從A到B地所需要的時(shí)間為小時(shí)．（2）乙在段所需時(shí)間為：小時(shí)，乙在段所需時(shí)間為：小時(shí)，，甲在段所需時(shí)間為，甲乙會(huì)在段相遇，同時(shí)出發(fā)，則甲走了小時(shí)，走了千米，甲乙相遇時(shí)間為小時(shí)．答：兩人出發(fā)后經(jīng)過(guò)小時(shí)相遇．（3）設(shè)甲，乙經(jīng)過(guò)小時(shí)后，兩人相距10千米，①相遇前，相距10千米，甲在上，乙在上，此時(shí)，甲走的路程為：，乙走的路程為：，，解得：②相遇后，相距10千米，甲在上，乙在上，此時(shí)，甲的路程為，乙的路程為，，解得：甲從地前往地的過(guò)程中，甲，乙經(jīng)過(guò)或小時(shí)相距10千米．答：甲從地前往地的過(guò)程中，甲，乙經(jīng)過(guò)或小時(shí)相距10千米．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出正確的方程．2.追及問(wèn)題（同向問(wèn)題）1．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）揚(yáng)州雕版印刷技藝歷史悠久，元代數(shù)學(xué)家朱世杰的《算學(xué)啟蒙》一書曾刻于揚(yáng)州，該書是中國(guó)較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問(wèn)題：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何日追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問(wèn)快馬幾天追上慢馬？答：快馬_______天追上慢馬．【答案】20【分析】設(shè)良馬行x日追上駑馬，根據(jù)路程=速度×?xí)r間結(jié)合兩馬的路程相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)快馬行x天追上慢馬，則此時(shí)慢馬行了（x+12）日，依題意，得：240x=150（x+12），解得：x=20，∴快馬20天追上慢馬，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2021·方城縣基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室七年級(jí)期末）如圖所示，甲?乙兩人沿著邊長(zhǎng)為70米的正方形，按的方向行走．甲從點(diǎn)以65米/分的速度行走，乙從點(diǎn)以72米/分的速度行走，甲?乙兩人同時(shí)出發(fā)，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，所在正方形的邊為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)乙x分鐘后追上甲，根據(jù)乙追上甲時(shí)，比甲多走了70×3＝210米，可得出方程，求出時(shí)間后，計(jì)算乙所走的路程，繼而可判斷在哪一條邊上相遇．【詳解】解：設(shè)乙第一次追上甲用了x分鐘，

由題意得：72x?65x＝70×3，解得：x＝30，

而72×30＝2160＝70×30＋60，30÷4＝7…2，

所以乙走到D點(diǎn)，再走60米即可追上甲，即在AD邊上．

答：乙第一次追上甲是在AD邊上．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，掌握行程問(wèn)題中追擊問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2021·四川內(nèi)江·）2020年12月30日，連云港市圖書館新館正式開館．小明同學(xué)從家步行去圖書館，他以的速度行進(jìn)后，爸爸騎自行車以的速度按原路追趕小明．設(shè)爸爸出發(fā)后與小明會(huì)合，那么所列方程正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)爸爸出發(fā)后與小明會(huì)合，則此時(shí)小明出發(fā)了h，利用路程=速度×?xí)r間，結(jié)合會(huì)合時(shí)兩人行走（或騎行）的路程相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，即可．【詳解】解：設(shè)爸爸出發(fā)后與小明會(huì)合，則此時(shí)小明出發(fā)了h，依據(jù)題意得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題關(guān)鍵．4．（2021·全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小明每天早晨在8時(shí)前趕到離家的學(xué)校上學(xué)．一天，小明以的速度從家出發(fā)去學(xué)校，后，小明爸爸發(fā)現(xiàn)小明的語(yǔ)文書落在家里，于是，立即以的速度去追趕．則小明爸爸追上小明所用的時(shí)間為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】小明走的總路程與爸爸走的路程相同，根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：設(shè)小明爸爸追上小明所用的時(shí)間為，則小明走的路程為，小明的爸爸走的路程為，由題意列式得：，解得：．即小明爸爸追上小明所用的時(shí)間為4分鐘．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．5．（2021·全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）A，B兩地相距，甲車以的速度從A地駛向B地，當(dāng)甲車行駛后，乙車以的速度沿著相同的道路從A地駛向B地．設(shè)乙車出發(fā)后追上甲車，根據(jù)題意可列方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)乙車出發(fā)x小時(shí)后追上甲車，等量關(guān)系為：甲車行駛的路程乙車行駛的路程，據(jù)此列方程．【詳解】設(shè)乙車出發(fā)后追上甲車，等量關(guān)系為甲車行駛的路程乙車行駛的路程，據(jù)此列方程為．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．6．（2021·湖南廣益實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）我國(guó)古代著名著作《算學(xué)啟蒙》中有這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一直五十里，駑馬先行一十二日，問(wèn)良馬幾何追及之．”題意是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，則快馬追上慢馬需（）A．20天 B．21天 C．22天 D．23天【答案】A【分析】設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)慢馬先行的路程=快慢馬速度之差×快馬行走天數(shù)，即可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，由題意，得240x﹣150x＝150×12，解得：x＝20．答：快馬20天可以追上慢馬．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于x的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．3.航行問(wèn)題（順逆風(fēng)問(wèn)題）1．（2021·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級(jí)期中）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時(shí)；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時(shí)．若水流速度是3千米/時(shí)，則甲、乙兩碼頭之間的距離是_____千米．【答案】60【分析】設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)順流速度＝靜水速度+水流速度逆流速度＝靜水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；根據(jù)求出的船在靜水中的速度，再根據(jù)路程＝順流的時(shí)間×順流的速度，列出算式，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：（x+3）×2＝（x﹣3）×2.5，解得：x＝27，即：船在靜水中的速度是27千米/小時(shí)，（27+3）×2＝60（千米）；故答案是：60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找到等量關(guān)系進(jìn)行求解．2．（2021·湖北七年級(jí)期末）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用2h，船在靜水中的速度為26km/h，水速為2km/h．設(shè)A港和B港相距xkm．根據(jù)題意，列出的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)A港和B港相距x千米，根據(jù)行船問(wèn)題公式可知，順?biāo)俣容^快，所用時(shí)間較少，所以利用行程問(wèn)題公式，列方程為：，變形為：，據(jù)此選擇．【詳解】解：設(shè)A港和B港相距x千米，，變形為：∴方程為：故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，抓住關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．順?biāo)俣?水流速度+靜水速度，逆水速度=靜水速度-水流速度．3．（2021·青島市嶗山區(qū)第三中學(xué)七年級(jí)開學(xué)考試）一輛貨輪往返于上下兩個(gè)碼頭，逆流而上需用38小時(shí)，順流而下需用32小時(shí)，若水流速度為8千米/時(shí)，則下列求兩碼頭距離的方程正確的是()A．. B． C． D．【答案】A【分析】首先要知道：，，利用，而與分別是與，因?yàn)?，得出．【詳解】解：設(shè)兩碼頭距離，根據(jù)題意得出：，得出．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了靜水速度與逆水速度和順?biāo)俣纫约芭c水速之間的關(guān)系，正確得出它們之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2021·杭州市公益中學(xué)七年級(jí)期末）某輪船在兩個(gè)碼頭之間航行，順?biāo)叫行?h，逆水航行需6h，水流速度是2km/h，求兩個(gè)碼頭之間的距離，我們可以設(shè)兩個(gè)碼頭之間的距離為xkm，得到方程（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用速度=路程÷時(shí)間結(jié)合船在靜水中的速度不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：依題意得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2020·河北饒陽(yáng)·初一期末）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3小時(shí)，若船速為26千米/時(shí)，水速為2千米/時(shí)，求A港和B港相距多少千米．設(shè)A港和B港相距x千米．根據(jù)題意，可列出的方程是：()A．B．C．D．【答案】A【分析】輪船沿江從A港順流行駛到B港，則由B港返回A港就是逆水行駛，由于船速為26千米/時(shí)，水速為2千米/時(shí)，則其順流行駛的速度為26+2=28千米/時(shí)，逆流行駛的速度為：26-2=24千米/時(shí)．根據(jù)“輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3小時(shí)”，得出等量關(guān)系：輪船從A港順流行駛到B港所用的時(shí)間=它從B港返回A港的時(shí)間-3小時(shí)，據(jù)此列出方程即可．【解析】解：設(shè)A港和B港相距x千米，由題意可得方程：，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，抓住關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．順?biāo)俣?水流速度+靜水速度，逆水速度=靜水速度-水流速度．6．（2020·新疆初一期末）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時(shí)；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了3小時(shí)．已知水流的速度是3千米/時(shí)，求船在靜水中的平均速度．【答案】靜水平均速度15千米/時(shí)．【分析】等量關(guān)系為：順?biāo)畷r(shí)間×順?biāo)俣?逆水的時(shí)間×逆水速度，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【解析】解：設(shè)船在靜水中的平均速度是v千米/時(shí)．則：2（v+3）=3（v-3）解得：v=15．答：船在靜水中的平均速度是15千米/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于找出題目中的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程解答．4.其他問(wèn)題1．（2021·張家界市民族中學(xué)九年級(jí)期中）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一段記載，“三百七十八里關(guān)；初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意是；有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到關(guān)口，則此人第一和第六這兩天共走了_______．【答案】198里【分析】設(shè)第六天走的路程為里，則第五天走的路程為里，依此往前推，第一天走的路程為里，根據(jù)前六天的路程之和為378里，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)第六天走的路程為里，則第五天走的路程為里，依此往前推，第一天走的路程為里，依題意，得：，解得：．，，此人第一和第六這兩天共走了198里，故答案是：198里．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江西九江·）數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)分別為﹣10和90，兩只螞蟻分別從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒鐘3個(gè)單位長(zhǎng)和每秒鐘2個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速相向而行，經(jīng)過(guò)________秒，兩只螞蟻相距20個(gè)單位長(zhǎng)．【答案】16或24【分析】由點(diǎn)A、B表示的數(shù)可求出線段AB的長(zhǎng)，設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，兩只螞蟻相距20個(gè)單位長(zhǎng)，利用兩只螞蟻的路程之和＝兩只螞蟻的速度之和×運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別為?10和90，∴線段AB的長(zhǎng)度為90?（?10）＝100個(gè)單位長(zhǎng)．設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，兩只螞蟻相距20個(gè)單位長(zhǎng)，依題意得：（3＋2）x＝100?20或（3＋2）x＝100＋20，解得：x＝16或x＝24．故答案為：16或24．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2021·浙江）8個(gè)人乘速度相同的兩輛小汽車同時(shí)趕往火車站，每輛車乘4人（不包括司機(jī)）．其中一輛小汽車在距離火車站的地方出現(xiàn)故障．這時(shí)唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，已知包括司機(jī)在內(nèi)這輛車限乘5人，且這輛車的平均速度是，人步行的平均速度是．則汽車出現(xiàn)故障起這8個(gè)人最快趕到火車站用時(shí)__________分鐘（上下車時(shí)間忽略不計(jì)）．【答案】37【分析】要想8人都能趕上火車，應(yīng)考慮盡量讓車走的同時(shí)，人也在走，先用小汽車把第一批人送到離火車站較近的某一處，讓第一批人步行，與此同時(shí)第二批人也在步行中；接著小汽車再返回接第二批人，使第二批人與第一批同時(shí)到火車站，據(jù)此求解．【詳解】解：由題意可知：最快的方案是：當(dāng)小汽車出現(xiàn)故障時(shí)，乘這輛車的4個(gè)人下車步行，另一輛車將車內(nèi)的4個(gè)人送到某地方后，讓他們下車步行，再立即返回接出故障汽車而步行的另外4個(gè)人，使得兩批人員最后同時(shí)到達(dá)車站，在這一方案中，每個(gè)人不是乘車就是在步行，沒(méi)有人浪費(fèi)時(shí)間原地不動(dòng)，所以兩組先后步行相同的路程，設(shè)這個(gè)路程為x千米，那么每組坐車路程為15-x千米，共用時(shí)間小時(shí)；當(dāng)小汽車把第一組送到離火車站x千米處、回頭遇到第二組時(shí)，第二組已經(jīng)行走了x千米，這時(shí)小汽車所行路程為15-x+15-2x=30-3x（千米）；由于小汽車行30-3x千米的時(shí)間與第二組行走x千米的時(shí)間相等，所以有：，解得：x=2（千米）．所用時(shí)間為：小時(shí)=37分鐘，故答案為：37．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，在此題中，要聯(lián)系生活實(shí)際．同時(shí)要會(huì)用線段圖在草稿上畫出示意圖，找到正確的等量關(guān)系列出方程．4．（2021·重慶八中）重慶地鐵10號(hào)線是重慶市正在運(yùn)營(yíng)的一條地鐵線路，與重慶軌道交通3號(hào)線一起承擔(dān)主城核心區(qū)南北向骨干公共交通的功能．該條線路于2020年9月18日正式通車，起于鯉魚池站，止于王家莊站，全長(zhǎng)約35千米．下表是重慶地鐵10號(hào)線首班車時(shí)刻表，開往王家莊方向和鯉魚池方向的首班車的速度均為60千米/小時(shí)．重慶地鐵10號(hào)線首班車時(shí)刻表車站名稱往王家莊方向首班車時(shí)間往鯉魚池方向首班車時(shí)間鯉魚池6：10…………王家莊…6：05（1）求從王家莊站6：05開出的首班車到達(dá)鯉魚池站的具體時(shí)刻．（2）求由鯉魚池站和王家莊站開出的首班車第一次相遇的具體時(shí)刻．【答案】（1）6:40；（2）6:20【分析】（1）根據(jù)路程÷速度=時(shí)間，求得需要的時(shí)間，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)即可求得具體時(shí)間；（2）設(shè)小時(shí)后，鯉魚池站和王家莊站開出的首班車第一次相遇，根據(jù)題意列一元一次方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）小時(shí)=35分鐘．6：05開出的首班車到達(dá)鯉魚池站的具體時(shí)間為6:40．（2）鯉魚池站出發(fā)的車比王家莊站開出的車晚5分鐘，設(shè)小時(shí)后，鯉魚池站和王家莊站開出的首班車第一次相遇，解得：．小時(shí)=15分鐘．鯉魚池站首班車6:05出發(fā)后，經(jīng)過(guò)15分鐘后時(shí)間為6:20．答：由鯉魚池站和王家莊站開出的首班車第一次相遇的具體時(shí)刻為6:20．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2020·江西南昌·初一期末）如圖，時(shí)鐘是我們常見的生活必需品，其中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)知識(shí).（1）我們知道，分針和時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周都是度，分針轉(zhuǎn)動(dòng)一周是分鐘，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周有12小時(shí)，等于720分鐘；所以，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)度，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)度.（2）從5:00到5:30，分針與時(shí)針各轉(zhuǎn)動(dòng)了多少度？（3）請(qǐng)你用方程知識(shí)解釋：從1:00開始，在1:00到2:00之間，是否存在某個(gè)時(shí)刻，時(shí)針與分針在同一條直線上？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出從1:00開始經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，時(shí)針與分針在同一條直線上.【答案】（1）360，60，6，0.5.（2）15°；（3）經(jīng)過(guò)分鐘或分鐘時(shí)針與分針在同一條直線上.【分析】（1）利用鐘表盤的特征解答.表盤一共被分成60個(gè)小格，每一個(gè)小格所對(duì)角的度數(shù)是6°；（2）從5:00到5:30，分針轉(zhuǎn)動(dòng)了30個(gè)格，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了2.5個(gè)格，即可求解；（3）時(shí)針與分針在同一條直線上，分兩種情況：①分針與時(shí)針重合；②分針與時(shí)針成180°，設(shè)出未知數(shù)，，列出方程求解即可.【解析】解：（1）分針和時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周都是360度，分針轉(zhuǎn)動(dòng)一周是60分鐘，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周有12小時(shí)，等于720分鐘；所以，分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)360°÷60=6度，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)360°÷720=0.5度.故答案為360，60，6，0.5.（2）從5:00到5:30，分針轉(zhuǎn)動(dòng)了：6°×30=180°，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了6°×2.5=15°；（3）從1:00開始，在1:00到2:00之間，存在某個(gè)時(shí)刻，時(shí)針與分針在同一條直線上.設(shè)x分鐘分針與時(shí)針重合，則，0.5+30°=6x解得設(shè)y分鐘分針與時(shí)針成180°，0.5y+30°+180°=6y解得∴經(jīng)過(guò)分鐘或分鐘時(shí)針與分針在同一條直線上.點(diǎn)睛：本題考查了鐘面角及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解.6．（2020·江西贛州·）如圖，是小虔和小剛兩位同學(xué)進(jìn)行一次長(zhǎng)跑訓(xùn)練的路程S（單位：米）與所用時(shí)間t（單位：秒）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象解下列問(wèn)題（1）這次長(zhǎng)跑訓(xùn)練的距離是米（2）當(dāng)小虔到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小剛離終點(diǎn)還有多遠(yuǎn)？（3）兩人起跑后，多少時(shí)間第一次相遇？【答案】（1）800；（2）80米；（3）兩人起跑后80秒第一次相遇【分析】（1）根據(jù)圖像可以直接得出；（2）根據(jù)圖像可知，小剛第三段路程的速度為：，則剩余路程為：；（3）先求出小虔的速度和小剛第二段路程的速度，再設(shè)經(jīng)過(guò)x秒兩人第一次相遇，根據(jù)題意列出方程解答即可．【解析】解：（1）根據(jù)圖像可知，這次長(zhǎng)跑訓(xùn)練的距離是800米．（2）小剛第三段路程的速度為：（米/秒）∴當(dāng)小虔到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小剛離終點(diǎn)還有：（米）．（3）小虔的速度為：（米/秒）小剛第二段路程的速度為：（米/秒）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒兩人第一次相遇，根據(jù)題意得：，解得（秒）．答：起跑后經(jīng)過(guò)80秒兩人第一次相遇．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和一元一次方程的運(yùn)用，理解題目意思并能列出一元一次方程是解答本題的關(guān)鍵．題型4工程問(wèn)題解題技巧：我們常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用幾分之幾表示。在工程問(wèn)題中，常常用“不同的對(duì)象所完成的工作量之和等于總工作量”這個(gè)關(guān)系來(lái)列寫等式方程。工程問(wèn)題（多個(gè)未知數(shù)）解題技巧：工程問(wèn)題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成單位“1”，工作效率就可以用工作時(shí)間的倒數(shù)來(lái)表示。復(fù)雜的工程問(wèn)題，往往需要設(shè)多個(gè)未知數(shù)，不要擔(dān)心，在求解過(guò)程中，有一些未知數(shù)是可以約掉的。1．（2021·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要6天完成，乙單獨(dú)做需要8天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此項(xiàng)工程．求甲一共做了多少天？若設(shè)甲一共做了x天，則所列方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析得到甲的效率為每天完成，乙的效率為每天完成，再利用各部分的工作量之和等于，列方程即可.【詳解】解：設(shè)甲一共做了x天，則所列方程為故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，考查的是工程問(wèn)題，掌握工作效率乘以工作時(shí)間等于工作量是解題的關(guān)鍵.2．（2021·浙江七年級(jí)期末）某商場(chǎng)的收銀臺(tái)平均每小時(shí)有60個(gè)顧客來(lái)排隊(duì)，每位收銀員每小時(shí)能應(yīng)付80個(gè)顧客，若某天只開設(shè)1個(gè)收銀臺(tái)，付款開始后4個(gè)小時(shí)沒(méi)有顧客排隊(duì)了，若當(dāng)天開設(shè)2個(gè)收銀臺(tái)，開始付款______小時(shí)后，沒(méi)有顧客排隊(duì)．【答案】0.8【分析】首先求出開始付款時(shí)有多少人排隊(duì)，再設(shè)付款開始x小時(shí)后沒(méi)有顧客排隊(duì)，列出方程，解之即可．【詳解】解：設(shè)每小時(shí)排隊(duì)付款的人數(shù)為1份，則剛開始付款時(shí)排隊(duì)的人數(shù)是：80×4-4×60=80人，即開始付款時(shí)已經(jīng)有80人在排隊(duì)，設(shè)付款開始x小時(shí)后沒(méi)有顧客排隊(duì)，根據(jù)題意可得方程：80×2×x=80+60x，解得：x=0.8，故答案為：0.8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題干得出開始付款時(shí)等待的有80人是解決本題的關(guān)鍵，由此抓住每小時(shí)增加的人數(shù)和2臺(tái)收銀臺(tái)的工作效率即可列出符合題意的方程解決問(wèn)題．3．（2021·河北七年級(jí)期末）某小組有m人，計(jì)劃做n個(gè)“中國(guó)結(jié)”，若每人做5個(gè)，則可比計(jì)劃多做9個(gè)；若每人做4個(gè)，則將比計(jì)劃少做15個(gè)，現(xiàn)有下列四個(gè)方程：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④【答案】D【分析】由中國(guó)結(jié)的數(shù)量為定值，可得中國(guó)結(jié)的數(shù)量的兩種表示，從而可列方程再由小組人數(shù)為定值，可得小組人數(shù)的兩種表示，從而可得方程于是可得答案．【詳解】解：由某小組有m人，計(jì)劃做n個(gè)“中國(guó)結(jié)”，若每人做5個(gè)，則可比計(jì)劃多做9個(gè)；可得：中國(guó)結(jié)的數(shù)量為：個(gè)，若每人做4個(gè)，則將比計(jì)劃少做15個(gè)，可得：中國(guó)結(jié)的數(shù)量為：個(gè)，故④符合題意，①不符合題意；由某小組有m人，計(jì)劃做n個(gè)“中國(guó)結(jié)”，若每人做5個(gè)，則可比計(jì)劃多做9個(gè)；可得：某小組有人，若每人做4個(gè)，則將比計(jì)劃少做15個(gè)，可得：某小組有人，故②不符合題意，③符合題意；故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，掌握列方程需要的代數(shù)式的表示方法是解題的關(guān)鍵．4．（2021·山西七年級(jí)期末）數(shù)學(xué)課堂上，老師出示了如下例題：整理一批圖書，由一個(gè)人做要40h完成．現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做4h，然后增加2人與他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作．假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？設(shè)安排x人先做4h．小亮列的方程是：，其中，“”表示的意思是“x人先做4h完成的工作量”，“”表示的意思是“增加2人后，（x+2）人再做8小時(shí)完成的工作量”．小宇列的方程是：，其中，“”表示的意思是（）A．先工作的x人前4小時(shí)和后8小時(shí)一共完成的工作量B．增加2人后，（x+2）人再做8小時(shí)完成的工作量C．增加2人后，新增加的2人完成的工作量D．x人先做4小時(shí)完成的工作量【答案】A【分析】根據(jù)先工作的x人共做了(4+8)小時(shí)的工作量+后來(lái)2人8小時(shí)的工作量=1，解答即可．【詳解】解：∵設(shè)安排x人先做4h，然后增加2人與他們一起做8小時(shí)，完成這項(xiàng)工作．∴可得先工作的x人共做了(4+8)小時(shí)，∴列式為：先工作的x人共做了(4+8)小時(shí)的工作量+后來(lái)2人8小時(shí)的工作量=1，而x人1小時(shí)的工作量為，∴x人(4+8)小時(shí)的工作量為，∴表示先工作的x人前4h和后8h一共完成的工作量，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，是一個(gè)工作效率問(wèn)題，理解一個(gè)人做要40小時(shí)完成，即一個(gè)人一小時(shí)能完成全部工作的，這一個(gè)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2021·廣西桂林·中考真題）為了美化環(huán)境，建設(shè)生態(tài)桂林，某社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)綠化工程隊(duì)可供選擇，已知甲隊(duì)每天能完成的綠化改造面積比乙隊(duì)多200平方米，甲隊(duì)與乙隊(duì)合作一天能完成800平方米的綠化改造面積．（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天各能完成多少平方米的綠化改造面積？（2）該社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造的區(qū)域共有12000平方米，甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為600元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為400元，比較以下三種方案：①甲隊(duì)單獨(dú)完成；②乙隊(duì)單獨(dú)完成；③甲、乙兩隊(duì)全程合作完成．哪一種方案的施工費(fèi)用最少？【答案】（1）甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是500平方米，乙隊(duì)每天能完成綠化的面積是300平方米；（2）選擇方案①完成施工費(fèi)用最少【分析】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是x平方米，根據(jù)甲隊(duì)與乙隊(duì)合作一天能完成800平方米的綠化改造面積，列出方程，求解即可；（2）設(shè)應(yīng)安排甲隊(duì)工作a天，根據(jù)這次的綠化總費(fèi)用不超過(guò)8萬(wàn)元，列出不等式，求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)乙隊(duì)每天能完成綠化的面積是x平方米，則甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是（x+200）米，依題意得：x+x+200=800解得：x=300，x+200=500∴甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是500平方米，乙隊(duì)每天能完成綠化的面積是300平方米．（2）選擇方案①甲隊(duì)單獨(dú)完成所需費(fèi)用=（元）；選擇方案②乙隊(duì)單獨(dú)完成所需費(fèi)用=（元）；選擇方案③甲、乙兩隊(duì)全程合作完成所需費(fèi)用=（元）；∴選擇方案①完成施工費(fèi)用最少．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程；（2）利用總費(fèi)用=每天支出的費(fèi)用×工作時(shí)間，分別求出選擇各方案所需費(fèi)用．6．（2021·全國(guó)七年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)水池設(shè)有注水管和排水管，單獨(dú)開注水管2小時(shí)可注滿水池，單獨(dú)開排水管3小時(shí)可將一池水排完．現(xiàn)向這個(gè)空水池注水，將注水管與排水管同時(shí)開放若干小時(shí)后，關(guān)上注水管，排水管排掉水池中的水所用的時(shí)間比兩管同時(shí)開放的時(shí)間少10分鐘．兩管同時(shí)開了多少時(shí)間？【答案】小時(shí)．【分析】方法1將水池中的水的總量看作“1”，則注水管的注水速度為，出水管的出水速度為．根據(jù)等量關(guān)系：關(guān)閉注水管前水池中的水量＝關(guān)閉注水管后水池中的水量，可以設(shè)兩管同時(shí)開放x小時(shí)，并畫出下面的線段圖，如圖所示：方法2將一水池中的水的總量看作“1”，則注水管的注水速度為，出水管的出水速度為．根據(jù)等量關(guān)系：注水管注水量＝排水管排水量，可以設(shè)兩管同時(shí)開放x小時(shí)，并畫出下面的線段圖，如圖所示：【詳解】【方法1】設(shè)兩管同時(shí)開放x小時(shí)，并畫出下面的線段圖，如圖所示：由題意，列方程，得．所以兩管同時(shí)開放小時(shí)．【方法2】設(shè)兩管同時(shí)開放x小時(shí)，并畫出下面的線段圖，如圖所示：由題意，列方程得．所以兩管同時(shí)開放小時(shí)．【方法點(diǎn)撥】用方程的思想解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵問(wèn)題是從哪個(gè)角度來(lái)思考．本題的實(shí)質(zhì)是在一個(gè)空的水池注水后又放水，最后又是一個(gè)空的水池．解題時(shí)，我們可以從兩個(gè)角度來(lái)分析：一是注水管關(guān)閉以前池水不斷增多，注水管關(guān)閉以后池水不斷減少，即關(guān)閉注水管前水池中的水量＝關(guān)閉注水管后水池中的水量；二是將注水管和出水管獨(dú)立起來(lái)分析，即注水管注水量＝排水管排水量．上述問(wèn)題中的注水量，注水速度、注水時(shí)間和工程問(wèn)題中的工作量、工作效率、工作時(shí)間相對(duì)應(yīng)，解工程問(wèn)題時(shí)也可以類比此題來(lái)分析解決．題型5比賽積分問(wèn)題解題技巧：此類問(wèn)題，主要是通過(guò)積分來(lái)列寫等式方程。需要注意，有些比賽結(jié)果只有勝負(fù)；有的比賽結(jié)果又勝負(fù)和平局。比賽總場(chǎng)數(shù)=勝場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)數(shù)+平場(chǎng)數(shù)比賽積分=勝場(chǎng)積分+負(fù)場(chǎng)積分+平場(chǎng)積分1．（2021·河北七年級(jí)期末）在某市奧林匹克聯(lián)賽中，實(shí)驗(yàn)一中學(xué)子再創(chuàng)輝煌，聯(lián)賽成績(jī)?nèi)蓄I(lǐng)先．某位同學(xué)連續(xù)答題40道，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題扣2分（不答同樣算作答錯(cuò)），最終該同學(xué)獲得144分．請(qǐng)問(wèn)這位同學(xué)答對(duì)了多少道題？下面共列出4個(gè)方程，其中正確的有（）①設(shè)答對(duì)了道題，則可列方程：；②設(shè)答錯(cuò)了道題，則可列方程：；③設(shè)答對(duì)題目總共得分，則可列方程：；④設(shè)答錯(cuò)題目總共扣分，則可列方程：．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】①若設(shè)答對(duì)了x道題，等量關(guān)系：5×答對(duì)數(shù)量-2（40-x）=144；②若設(shè)答錯(cuò)了y道題，等量關(guān)系：5×（40-y）-2y=144；③若設(shè)答對(duì)題目得a分，等量關(guān)系：答對(duì)的數(shù)量答錯(cuò)數(shù)量=40；④設(shè)答錯(cuò)題目扣b分，答對(duì)的數(shù)量答錯(cuò)數(shù)量=40．【詳解】解：①若設(shè)答對(duì)了x道題，則可列方程：5x-2（40-x）=144，故①符合題意；

②若設(shè)答錯(cuò)了y道題，則可列方程：5（40-y）-2y=144，故②符合題意；

③若設(shè)答對(duì)題目得a分，則可列方程：，故③符合題意；

④設(shè)答錯(cuò)題目扣b分，則可列方程，故④不符合題意．

所以，共有3個(gè)正確的結(jié)論．故答案是：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．2．（2021·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)期末）一份數(shù)學(xué)試卷共25道選擇題，每道題都給出了4個(gè)答案，其中只有一個(gè)正確選項(xiàng)，每道題選對(duì)得4分，不選或錯(cuò)選倒扣1分，已知小麗得了90分，設(shè)小麗做對(duì)了x道題，則下列所列方程正確的是．（）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)小麗做對(duì)了x道題，那么他做錯(cuò)了25-x道題，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：做對(duì)題的得分-不選或錯(cuò)選倒扣的分=90分，再列出方程即可．【詳解】解：設(shè)小麗做對(duì)了x道題，那么他做錯(cuò)了25-x道題，根據(jù)題意列方程得：，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．3．（2021·江蘇七年級(jí)期末）球賽積分表問(wèn)題：某次籃球聯(lián)賽積分表：隊(duì)名比賽場(chǎng)次勝場(chǎng)負(fù)場(chǎng)積分東方1210222藍(lán)天1210222雄鷹129321遠(yuǎn)大129321北極127519衛(wèi)星124816鋼鐵1201212有以下判斷：①負(fù)一場(chǎng)積1分；②勝一場(chǎng)積2分；③如果一個(gè)隊(duì)勝場(chǎng)，則該隊(duì)的總積分為分；④不可能有一個(gè)球隊(duì)的勝場(chǎng)總積分等于它的負(fù)場(chǎng)總積分．以上說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)鋼鐵隊(duì)的積分情況可判斷①，根據(jù)東方隊(duì)的積分情況可判斷②，根據(jù)負(fù)一場(chǎng)和勝一場(chǎng)的積分可判斷③，設(shè)某隊(duì)勝a場(chǎng)，根據(jù)題意列出方程，解之即可．【詳解】解：①∵鋼鐵隊(duì)勝場(chǎng)為0，負(fù)場(chǎng)為12，積分為12，∴12÷12=1，即負(fù)一場(chǎng)記1分，故正確；②根據(jù)東方隊(duì)勝場(chǎng)為10，負(fù)場(chǎng)為2，積分為22，∴（22-2）÷10=2，即勝一場(chǎng)記2分，故正確；③如果一個(gè)隊(duì)勝m場(chǎng)，則該隊(duì)的總積分為2m+（12-m）=12+m（分），故正確；④設(shè)某隊(duì)勝a場(chǎng)，則負(fù)12-a場(chǎng)，由題意得2a=12-a，解得：a=4，因?yàn)閍是整數(shù)，所以存在某隊(duì)勝場(chǎng)總積分能等于它的負(fù)場(chǎng)總積分，故錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，看清表格中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2021·南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)七年級(jí)期末）劉星和楊云同學(xué)一同去參加學(xué)校舉行的一次安全知識(shí)競(jìng)賽，試卷只設(shè)計(jì)了40道選擇題，滿分200分，答對(duì)一題5分．不答或答錯(cuò)一題扣2分，劉星考后獲得144分．（1）下面共列出了4個(gè)方程，其中不正確的是（）A．設(shè)答錯(cuò)（或不答）了道題．則可列方程：B．設(shè)答對(duì)了道題，則可列方程：C．設(shè)答錯(cuò)（或不答）題目共扣分，則可列方程D．設(shè)答對(duì)題目共得分，則可列方程：．（2）楊云說(shuō)：“我比劉星多4分”楊云說(shuō)得正確嗎？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【答案】(1)C；(2)楊云的說(shuō)法不正確，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)不同未知數(shù)，列出相應(yīng)的方程即可；（2）分別將兩位同學(xué)的得分用含未知數(shù)的式子表示出來(lái)進(jìn)行比較即可判斷．【詳解】解：（1）A．設(shè)答錯(cuò)（或不答）了道題．則可列方程：，正確，故不選；B．設(shè)答對(duì)了道題，則可列方程：，正確，故不選；C．設(shè)答錯(cuò)（或不答）題目共扣分，則可列方程，原方程錯(cuò)誤，故選擇；D．設(shè)答對(duì)題目共得分，則可列方程：，正確，故不選；綜上所述，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：C；（2）楊云說(shuō)：“我比劉星多4分"楊云的說(shuō)法不正確；理由如下：設(shè)楊云答對(duì)了m道題，則楊云答錯(cuò)或不答得題數(shù)為（40-m）道，則楊云答對(duì)題所得分?jǐn)?shù)為5m，楊云答錯(cuò)或不答扣掉得分?jǐn)?shù)為2(40-m)，所以楊云總得分為：5m-2(40-m)=7m-80，設(shè)劉星答對(duì)了n道題，則劉星答錯(cuò)或不答得題數(shù)為（40-n）道，則劉星答對(duì)題所得分?jǐn)?shù)為5n，劉星答錯(cuò)或不答扣掉得分?jǐn)?shù)為2(40-n)，所以劉星總得分為：5n-2(40-n)=7n-80，則楊云與劉星總得分之差為7的倍數(shù)，故楊云的說(shuō)法不正確．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所設(shè)未知數(shù)不同，找到不同的等量關(guān)系列方程．5．（2021·四川成都實(shí)外七年級(jí)期末）北京時(shí)間1月5日凌晨，擁有梅西的巴塞羅那足球隊(duì)在最后時(shí)刻被西班牙人隊(duì)中的中國(guó)球員武磊攻破球門，遺憾收獲一場(chǎng)平局，保持不敗，一共得了22分．足球比賽中規(guī)定每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．問(wèn)巴塞羅那足球隊(duì)近10場(chǎng)中共勝了多少場(chǎng)，平了多少場(chǎng)？【答案】勝了6場(chǎng)，平了4場(chǎng)【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)巴塞羅那足球隊(duì)近10場(chǎng)中共勝了x場(chǎng)，平了（10﹣x）場(chǎng)，然后根據(jù)：巴塞羅那足球隊(duì)近10場(chǎng)中勝場(chǎng)數(shù)×3+巴塞羅那足球隊(duì)近10場(chǎng)中戰(zhàn)平場(chǎng)數(shù)×1＝22，列出方程，求出x的值是多少，進(jìn)而求出平了多少場(chǎng)即可．【詳解】解：設(shè)巴塞羅那足球隊(duì)近10場(chǎng)中共勝了x場(chǎng)，平了（10﹣x）場(chǎng)，則3x+（10﹣x）×1＝22，∴2x+10＝22，解得：x＝6，10﹣6＝4（場(chǎng)）．答：巴塞羅那足球隊(duì)近10場(chǎng)中共勝了6場(chǎng)，平了4場(chǎng)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2021·湖北武漢市·七年級(jí)期末）下表為某籃球比賽過(guò)程中部分球隊(duì)的積分榜（籃球比賽沒(méi)有平局）．球隊(duì)比賽場(chǎng)次勝場(chǎng)負(fù)場(chǎng)積分······（1）觀察積分榜，請(qǐng)直接寫出球隊(duì)勝一場(chǎng)積分，負(fù)一場(chǎng)積分；（2）根據(jù)積分規(guī)則，請(qǐng)求出隊(duì)已經(jīng)進(jìn)行了的場(chǎng)比賽中勝、負(fù)各多少場(chǎng)？（3）若此次籃球比賽共輪（每個(gè)球隊(duì)各有場(chǎng)比賽），隊(duì)希望最終積分達(dá)到分，你認(rèn)為有可能實(shí)現(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）2,1；（2）E隊(duì)勝2場(chǎng)，負(fù)9場(chǎng)；（3）不可能實(shí)現(xiàn)，理由見解析．【分析】（1）設(shè)球隊(duì)勝一場(chǎng)積x分，負(fù)一場(chǎng)積y分．觀察積分榜由C球隊(duì)和D球隊(duì)即可列出方程組，求出x、y即可．（2）設(shè)E隊(duì)勝a場(chǎng)，則負(fù)（11﹣a）場(chǎng)，根據(jù)等量關(guān)系：E隊(duì)積分是13分列出方程求解即可；（3）設(shè)后7場(chǎng)勝m場(chǎng)，根據(jù)等量關(guān)系：D隊(duì)積分是32分列出方程求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)球隊(duì)勝一場(chǎng)積x分，負(fù)一場(chǎng)積y分．根據(jù)球隊(duì)C和球隊(duì)D的數(shù)據(jù)，可列方程組：，解得：．故球隊(duì)勝一場(chǎng)積2分，負(fù)一場(chǎng)積1分．（2）設(shè)E隊(duì)勝a場(chǎng)，則負(fù)（11-a）場(chǎng)，可得2a+(11-a)＝13，解得a＝2．故E隊(duì)勝2場(chǎng)，負(fù)9場(chǎng)．（3）∵D隊(duì)前11場(chǎng)得17分，∴設(shè)后18-11=7場(chǎng)勝m場(chǎng)，∴2m+(7-m)＝32-17，∴m＝8>7．∴不可能實(shí)現(xiàn)．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，本類題型清楚積分的組成部分及勝負(fù)積分的規(guī)則及各個(gè)量之間的關(guān)系，并與一元一次方程相結(jié)合即可解該類題型．總積分等于勝場(chǎng)積分與負(fù)場(chǎng)的和．題型6配套問(wèn)題解題技巧：因工藝上的特點(diǎn)，某幾個(gè)工序之間存在比例關(guān)系，需這幾道工序的成對(duì)應(yīng)比例才能完全配套完成，這類題型為配套問(wèn)題。配套問(wèn)題，主要利用配套的比例來(lái)列寫等式方程。1．（2021·福建省福州屏東中學(xué)）福州某機(jī)械廠加工車間有35名工人，平均每名工人每天加工大齒輪5個(gè)或小齒輪10個(gè)，已知2個(gè)大齒輪和3個(gè)小齒輪配成一套，問(wèn)分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能剛好配套？若設(shè)加工大齒輪的工人有x名，則可列方程為（）A．3×5x＝2×10（35﹣x） B．2×5x＝3×10（35﹣x）C．3×10x＝2×5（35﹣x） D．2×10x＝3×5（35﹣x）【答案】A【分析】設(shè)加工大齒輪的工人有x名，則加工小齒輪的工人有（35-x）名，根據(jù)2個(gè)大齒輪和3個(gè)小齒輪配成一套且加工的大、小齒輪正好配套，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)加工大齒輪的工人有x名，則加工小齒輪的工人有（35﹣x）名，依題意得：，即3×5x＝3×10（35﹣x）．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中九年級(jí)月考）為保障一線醫(yī)護(hù)人員的的健康安全，某防護(hù)服廠加班生產(chǎn)防護(hù)服和防護(hù)面罩．已知工廠共54人，每人每天可加工防護(hù)服80件或防護(hù)面罩100個(gè)，已知一套防護(hù)服配一個(gè)防護(hù)面罩，為了使每天生產(chǎn)的防護(hù)服與防護(hù)面罩正好配套，需要安排_(tái)_________人生產(chǎn)防護(hù)服．【答案】30【分析】設(shè)需要安排x人生產(chǎn)防護(hù)服，則安排(54－x)人生產(chǎn)防護(hù)面罩，根據(jù)“一套防護(hù)服配一個(gè)防護(hù)面罩”列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)需要安排x人生產(chǎn)防護(hù)服，則安排(54－x)人生產(chǎn)防護(hù)面罩，依題意得：80x=100(54－x)，解得：x=30．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2021·貴州）某車間28名工人生產(chǎn)螺栓螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)．現(xiàn)有x名工人生產(chǎn)螺栓，其他工人生產(chǎn)螺母，恰好每天生產(chǎn)的螺栓和螺母按1：2配套，則根據(jù)題意可列的方程是___________【答案】2×12x＝18（28﹣x）【分析】要列方程首先要根據(jù)題意找出題中存在的等量關(guān)系：每天生產(chǎn)的螺母＝每天生產(chǎn)的螺栓的2倍，從而列出方程．【詳解】解：根據(jù)有x名工人生產(chǎn)螺栓得：生產(chǎn)螺母的工人為（28﹣x）名．則每天生產(chǎn)螺栓12x個(gè)，生產(chǎn)螺母18（28﹣x），根據(jù)“恰好每天生產(chǎn)的螺栓和螺母按1：2配套”，得出方程：2×12x＝18（28﹣x）故答案為：2×12x＝18（28﹣x）．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系，有的題目所含的等量關(guān)系比較隱藏，要注意仔細(xì)審題，耐心尋找．4．（2021·吉林七年級(jí)期末）某絲巾廠家70名工人義務(wù)承接了2020年上海進(jìn)博會(huì)上志愿者佩戴的手環(huán)、絲巾的制作任務(wù)．已知每人每天平均生產(chǎn)手環(huán)180個(gè)或者絲巾120條，一條絲巾要配兩個(gè)手環(huán)．（1）為了使每天生產(chǎn)的絲巾和手環(huán)剛好配套，應(yīng)分配多少名工人