2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第六章立體幾何第六講空間坐標(biāo)系與空間向量 課件（56張）

第六講空間坐標(biāo)系與空間向量課標(biāo)要求考情分析1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，能判斷向量的共線(xiàn).3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的垂直本講是空間向量的基礎(chǔ)內(nèi)容，涉及空間直角坐標(biāo)系、空間向量的有關(guān)概念、定理、公式及四種運(yùn)算等內(nèi)容.一般不單獨(dú)命題，常以簡(jiǎn)單幾何體為載體，以解答題的形式出現(xiàn)，考查平行、垂直關(guān)系的判斷和證明及空間角的計(jì)算，解題要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力名稱(chēng)定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共線(xiàn)向量(或平行向量)表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個(gè)平面的向量1.空間向量的有關(guān)概念2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線(xiàn)向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.3.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).項(xiàng)目向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線(xiàn)a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夾角余弦值(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝4.空間位置關(guān)系的向量表示

(1)直線(xiàn)的方向向量：如果表示非零向量a的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)與直線(xiàn)l平行或重合，則稱(chēng)此向量a為直線(xiàn)l的方向向量. (2)平面的法向量：直線(xiàn)l⊥α，取直線(xiàn)l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量.位置關(guān)系向量表示直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線(xiàn)l的方向向量為n，平面α的法向量為m，l

αl∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m＝0(3)空間位置關(guān)系的向量表示【常用結(jié)論】

考點(diǎn)一空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算圖6-6-1答案：D2.(多選題)已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，則下列四式中正確的有()解析：作出平行六面體ABCD-A′B′C′D′的圖形，如圖D39，可圖D39答案：ABC【題后反思】用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來(lái).考點(diǎn)二共線(xiàn)定理、共面定理的應(yīng)用[例1]如圖6-6-2，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).圖6-6-2(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)求證：BD∥平面EFGH.由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.圖6-6-3所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD

平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.【題后反思】證明三點(diǎn)共線(xiàn)和空間四點(diǎn)共面的方法比較【變式訓(xùn)練】圖6-6-4

考點(diǎn)三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用

[例2]如圖6-6-5所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn). (1)求證：EG⊥AB； (2)求EG的長(zhǎng)；(3)求異面直線(xiàn)AG和CE所成角的余弦值.圖6-6-5【題后反思】(1)利用向量的數(shù)量積可證明線(xiàn)段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系，通過(guò)向量共線(xiàn)確定點(diǎn)在線(xiàn)段上的位置.(2)利用夾角公式，可以求異面直線(xiàn)所成的角，也可以求二面角.(3)可以通過(guò)|a|＝

，將向量的長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問(wèn)題求解.【變式訓(xùn)練】

如圖6-6-6所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1

的長(zhǎng)；(2)求證：AC1⊥BD；(3)求BD1

與AC夾角的余弦值.圖6-6-6考點(diǎn)四向量法證明平行、垂直

[例3]如圖6-6-7，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角.求證：圖6-6-7(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖6-6-8所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.圖6-6-8∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，

又∵PA∩DA＝A，PA，DA?平面PAD，∴BE⊥平面PAD.又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.【題后反思】(1)用向量證明平行的方法①線(xiàn)線(xiàn)平行，只需證明兩直線(xiàn)的方向向量是共線(xiàn)向量；②線(xiàn)面平行，證明直線(xiàn)的方向向量能用平面的兩個(gè)基底表示，或證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直；

③面面平行，證明兩平面的法向量是共線(xiàn)向量.(2)用向量證明垂直的方法①線(xiàn)線(xiàn)垂直，只需證明兩直線(xiàn)的方向向量互相垂直；②線(xiàn)面垂直，證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量是共線(xiàn)向量；③面面垂直，證明兩平面的法向量互相垂直.【變式訓(xùn)練】

如圖6-6-9，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1

，和F分別為BC和A1C的中點(diǎn). (1)求證：EF∥平面A1B1BA；(2)求證：平面AEA1⊥平面BCB1.圖6-6-9證明：因?yàn)锳B＝AC，E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC.因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以以過(guò)E作平行于BB1

的垂線(xiàn)為z軸，EC，EA所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸，建立如圖D40所示的空間直角坐標(biāo)系.圖D40因?yàn)锳B＝3，BE＝

，所以AE＝2，

⊙用空間向量解決有關(guān)位置關(guān)系的探索性問(wèn)題

[例4]如圖6-6-10，正方形

ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. (1)求證：AC⊥BF； (2)在線(xiàn)段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面的值；若不存PAC⊥平面BCEF？若存在，求出在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖6-6-10

(1)證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC.

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面FAB.∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF.

(2)解：存在.由(1)知，AF，AB，AC兩兩垂直.圖6-6-11

假設(shè)在線(xiàn)段BE上存在一點(diǎn)P滿(mǎn)足題意，則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)B，E重合，【題后反思】解決立體幾何中探索性問(wèn)題的基本方法(1)通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理.

(2)探索性問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)：①空間中的點(diǎn)可設(shè)為(x，y，z)；②坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)其中一個(gè)坐標(biāo)為0，如xOy面上的點(diǎn)為(x，y，0)；③坐標(biāo)軸上的點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)為0，如z軸上的點(diǎn)為(0，0，z)；或直接利用向量運(yùn)算.【高分訓(xùn)練】(2021年泰安市一模)如圖6-6-12，在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝PB＝2，BC＝2

，E，G分別為PC，PA的中點(diǎn). (1)求證：平面BCG⊥平面PAC； (2)在線(xiàn)段AC上是否存在一點(diǎn)N，使PN⊥BE？證明你的結(jié)論.

圖6-6-12(1)證明：∵PB⊥平面