2014數(shù)學(xué)物理方程

§2.5非齊次邊界條件的處理前面討論的定解問(wèn)題，不論方程是齊次的還是非齊次的，邊界條件都是齊次的。如果邊界條件是非齊次的，那么，怎樣處理？總的原則是：設(shè)法將邊界條件化為齊次的。具體地，就是：取一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗瘮?shù)之間的代換，使得對(duì)于新的未知函數(shù)，邊界條件是齊次的。下面通過(guò)例子說(shuō)明一下選取代換的方法。(2.54)(2.56)(2.55)設(shè)法作一代換將邊界條件化為齊次的，為此，令(2.57)選取使邊界條件是齊次的即，(2.58)(2.59)即：只要選取滿(mǎn)足條件(2.59)的邊界條件就是齊次的．取為的一次函數(shù)，即設(shè)代入條件(2.59)，得解得所以即因而，即只要作代換就可使新的未知函數(shù)滿(mǎn)足齊次的邊界條件．(2.60)作代換，令則上面的定解問(wèn)題變?yōu)?2.61)(2.62)其中問(wèn)題(2.61)是非齊次方程帶齊次邊界條件，我們會(huì)求它的解．（用§2.4的方法)求出(2.61)的解，再代入(2.60),即得原定解問(wèn)題的解．說(shuō)明例１求下列定解問(wèn)題(2.63)(2.64)(2.65)解這個(gè)定解問(wèn)題的方程和邊界條件都是非齊次的．但是，由于方程的自由項(xiàng)及邊界條件都與無(wú)關(guān)，所以，可以通過(guò)作一次代換將方程和邊界條件都變成齊次的．具體做法是：代入方程(2.63),得即為了使這個(gè)方程與邊界條件同時(shí)化為齊次的，應(yīng)要求滿(mǎn)足(2.66)(2.66)是一個(gè)二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程的初值問(wèn)題，我們會(huì)解．求出它的解所以，只要做代換則原定解問(wèn)題化為(2.67)(2.68)(2.69)這個(gè)定解問(wèn)題的方程和邊界條件都是齊次的．我們就可以用分離變量法求它的解了．總結(jié)定解問(wèn)題的主要步驟：一、根據(jù)邊界的形狀適當(dāng)選取坐標(biāo)系，選取的原則是使在此坐標(biāo)系下邊界條件的表達(dá)式最為簡(jiǎn)單。圓形的域用極坐標(biāo)系圓柱形的域用柱坐標(biāo)系球形的域用球坐標(biāo)系二、若邊界條件是非齊次的，又沒(méi)有其它條件可以用來(lái)確定特征函數(shù)，則不論方程是齊次的、還是非齊次的，必須先作代換使邊界條件化為齊次邊界條件。三、非齊次方程、齊次邊界條件的定解問(wèn)題（不論初始條件如何），可以分為兩個(gè)定解問(wèn)題：其一是具有原來(lái)的初始條件的齊次定解問(wèn)題；其二是具有齊次邊界定解條件的非齊次方程的定解問(wèn)題。（可用分離變量法求解）（可用特征函數(shù)法求解）解：令設(shè)：下面通過(guò)例子說(shuō)明一下選取代換的方法。

f和W與t無(wú)關(guān)

f和W與t無(wú)關(guān)

f和W與t無(wú)關(guān)例19

求下列定解問(wèn)題解：令例20