MATLAB-Char04-試驗數(shù)據(jù)分析與處理20100420

第4章試驗數(shù)據(jù)分析與處理教學(xué)目標(biāo)掌握利用MATLAB進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的基本方法，掌握MATLAB擬合與插值、回歸分析、方差分析的命令；了解MATLAB編寫正交試驗分析、判別分析、多元相關(guān)分析的計算程序。

主講內(nèi)容曲線擬合數(shù)值插值回歸分析*方差分析*正交試驗分析*判別分析*多元數(shù)據(jù)相關(guān)分析*MATLAB數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)4.1曲線擬合工程實踐中，只能通過測量得到一些離散的數(shù)據(jù)，然后利用這些數(shù)據(jù)得到一個光滑的曲線來反映某些工程參數(shù)的規(guī)律。這就是曲線擬合的過程。給出一組離散點，確定一個函數(shù)逼近原函數(shù)，插值是這樣的一種手段。在實際中，數(shù)據(jù)不可避免的會有誤差，插值函數(shù)會將這些誤差也包括在內(nèi)。因此，我們需要一種新的逼近原函數(shù)的手段：①不要求過所有的點（可以消除誤差影響）；②盡可能表現(xiàn)數(shù)據(jù)的趨勢，靠近這些點。4.1曲線擬合

有時候，問題本身不要求構(gòu)造的函數(shù)過所有的點。如：7個風(fēng)景點，要修一條公路S使得S為直線，且到所有風(fēng)景點的距離和最小。先講些預(yù)備知識對如上2類問題，有一個共同的數(shù)學(xué)提法：找函數(shù)空間上的函數(shù)g，使得g到f的距離最小。4.1曲線擬合稱為“殘差”已知x1…xm

;y1…ym,求一個簡單易算的近似函數(shù)f(x)

來擬合這些數(shù)據(jù)。但是①m很大；②

yi

本身是測量值，不準(zhǔn)確，即yi

f(xi)這時沒必要取

f(xi)=yi,而要使δ

i=f(xi)

yi

總體上盡可能地小。這種構(gòu)造近似函數(shù)的方法稱為曲線擬合，f(x)

稱為擬合函數(shù)。4.1曲線擬合常見做法：使最小使最小使最小“使δ

i=P(xi)

yi

盡可能地小”有不同的準(zhǔn)則4.1曲線擬合4.1.1最小二乘法曲線擬合在科學(xué)實驗與工程實踐中，經(jīng)常進(jìn)行測量數(shù)據(jù){(xi,yi),i=0,1,…,m}的曲線擬合，其中yi=f(xi),i=0,1,…,m。要求一個函數(shù)y=S*(x)與所給數(shù)據(jù){(xi,yi),i=0,1,…,m}擬合，若記誤差δi=S*(x)-yi,i=0,1,…,m,δ=(δ0,δ1,…,δm)T，設(shè)φ0,φ1,…,φn是C[a,b]上的線性無關(guān)函數(shù)族，在φ＝span{φ0(x),φ1(x),…,φn(x)}中找一函數(shù)S*(x)，使誤差平方和：其中：以上就是曲線擬合的最小二乘法，曲線擬合最常用的一種方法。polyfit：進(jìn)行最小二乘的曲線擬合函數(shù)命令p=polyfit(x,y,n)[p,S]=polyfit(x,y,n)[p,S,mu]=polyfit(x,y,n)p=polyfit(x,y,n)findsthecoefficientsofapolynomialp(x)ofdegreenthatfitsthedata,p(x(i))toy(i),inaleastsquaressense.Theresultpisarowvectoroflengthn+1containingthepolynomialcoefficientsindescendingpowers4.1.1最小二乘法曲線擬合【例4－1】用二次多項式擬合下列數(shù)據(jù)x0.10.20.150.0-0.20.3y0.950.840.861.061.500.72clearx=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72];p=polyfit(x,y,2)xi=-0.2:0.01:0.3;yi=polyval(p,xi);plot(x,y,'o',xi,yi,'k');title('polyfit');4.1.1最小二乘法曲線擬合【例】給定5個點的x和y坐標(biāo)向量分別為x=[13457]，y=[23659]。請由此5點擬合成一條2次曲線方程，并繪出5個點和擬合曲線的圖形，圖形中點用*號表示。

x=[13457];y=[23659];p=polyfit(x,y,2)x1=1:0.02:7;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*',x1,y1)4.1.1最小二乘法曲線擬合4.2數(shù)值插值人口普查數(shù)據(jù)(千人)年194019501960197019801990人口132,165151,326179,323203,302226,542249,633請推測1930年、1965年、2010年的人口.?美國人口預(yù)測x=[194019501960197019801990];y=[132165151326179323203302226542249633];p=polyfit(x,y,2)x1=1930:5:2010;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*',x1,y1)？一天24小時零點開始每間隔2小時環(huán)境溫度（度）:129910182428272520181513，?溫度預(yù)測

推測中午1點（即13點）的溫度.4.2數(shù)值插值數(shù)據(jù)如表:

?

機(jī)翼上緣輪廓曲線

x0.004.749.5019.0038.0057.0076.00y0.005.328.1011.9716.1517.1016.34x95.00114.0133.0152.0171.0190.0y14.6312.169.697.033.990.004.2數(shù)值插值三次樣條函數(shù)畫出機(jī)翼曲線(MATLAB)x=[0.004.749.5019.0038.0057.0076.0095.0114.0133.0152.0171.0190.0];y=[0.005.328.1011.9716.1517.1016.3414.6312.169.697.033.990.00];xx=0.0:0.1:190;yy=interp1(x,y,xx,'spline');plot(x,y,'*'),pause,holdon,plot(xx,yy)4.2數(shù)值插值利用MATLAB函數(shù)peaks產(chǎn)生一個山頂曲面數(shù)據(jù)?山頂曲面

[x,y,z]=peaks(10);mesh(x,y,z)holdonplot3(x,y,z,'r*')holdoff4.2數(shù)值插值通過插值作出更加精細(xì)的山頂曲面figure(2)[xi,yi]=meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3);zi=interp2(x,y,z,xi,yi);mesh(xi,yi,zi)4.2數(shù)值插值求

……

……正弦函數(shù)表如下本章問題函數(shù)值計算設(shè),且已知上個點插值問題插值區(qū)間被插值函數(shù)

插值函數(shù)

插值節(jié)點

插值條件

為多項式.插值多項式:

已知數(shù)據(jù)表，求f(x)的近似函數(shù).求簡單函數(shù)

,使?jié)M足的對應(yīng)函數(shù)值為[a,b]存在且唯一.所謂插值問題：就是已知被插值函數(shù)在插值區(qū)間上一些互異節(jié)點的函數(shù)值,求插值函數(shù),使?jié)M足插值條件滿足個互異節(jié)點條件

的多項式【定理1】的求法:

1)待定系數(shù)法(解方程組)2)構(gòu)造法:Lagrange等方法4.2數(shù)值插值兩點對稱式方程：點斜式方程：幾何意義：過兩個已知點，求直線方程

一、線性插值由兩點式

：插值基函數(shù)：

4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值二、拋物插值幾何意義：

過三個點求拋物線

基函數(shù)性質(zhì)

4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值三、n次拉格朗日插值給定n個插值節(jié)點x1,x2,…,xn和對應(yīng)的函數(shù)值y1,y2,…,yn，利用Lagrange插值多項式公式:可以得到插值區(qū)間內(nèi)任意x的函數(shù)值y為y(x)=Ln(x)。從公式可以看出，生成的多項式與用來插值的數(shù)據(jù)密切相關(guān)，數(shù)據(jù)變化則函數(shù)就要重新計算，所以當(dāng)插值數(shù)據(jù)特別多的時候，計算量會較大。4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值【例】

已知函數(shù)表解1）線性插值

取兩點，則

拋物插值

2）0.6087614

拋物比線性插值精確.【注】

缺點：計算上不方便Lagrange插值優(yōu)點：公式整齊對稱，適合理論推導(dǎo),計算機(jī)算法容易實現(xiàn).4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值MATLAB中沒有的Lagrange插值命令，以下是用M語言編寫的函數(shù)文件。functionyy=lagrange(x,y,xx)%Lagrange插值，求數(shù)據(jù)(x,y)所表達(dá)的函數(shù)在插值點xx處的插值m=length(x);n=length(y);ifm~=n,error('向量x與y的長度必須一致');ends=0;fori=1:nt=ones(1,length(xx));forj=1:nifj~=i,t=t.*(xx-x(j))/(x(i)-x(j));endends=s+t*y(i);endyy=s;4.2.1Lagrange插值x0.10.20.150.0-0.20.3y0.950.840.861.061.500.72【例】測量點數(shù)據(jù)表如下，用Lagrange插值在[-0.2，0.3]區(qū)間以0.01為步長進(jìn)行插值。clearx=[0.1,0.2,0.15,0,-0.2,0.3];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.72];xi=-0.2:0.01:0.3;yi=lagrange(x,y,xi);plot(x,y,'o',xi,yi,'k')title('lagrange')4.2.1拉格朗日(Lagrange)插值4.2.2Hermite插值不少實際的插值問題既要求節(jié)點上函數(shù)值相等，又要求對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿足這種要求的插值多項式就是Hermite插值多項式。已知n個插值節(jié)點x1,x2,…,xn和對應(yīng)的函數(shù)值y1,y2,…,yn，以及一階導(dǎo)數(shù)值y’1,y’2,…,y’n，則在插值區(qū)域內(nèi)任意x的函數(shù)值y為：MATLAB沒有現(xiàn)成的Hermite插值命令，下面是用M語言編寫的函數(shù)文件。functionyy=hermite(x0,y0,y1,x)%hermite插值，求數(shù)據(jù)(x0,y0)所表達(dá)的函數(shù)，以及y1所表達(dá)的導(dǎo)數(shù)值，在插值點x處的插值n=length(x0);m=length(x);fork=1:myy0=0;fori=1:nh=1;a=0;forj=1:nifj~=ih=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;a=1/(x0(i)-x0(j))+a;endendyy0=yy0+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));end

yy(k)=yy0;end

【例】已知某次實驗中測得的某質(zhì)點的速度和加速度隨時間的變化如下，求質(zhì)點在時刻1.8的速度。t0.10.511.522.53y0.950.840.861.061.50.721.9y111.522.533.54clearclccloseallt=[0.10.511.522.53];y=[0.95,0.84,0.86,1.06,1.50,0.721.9];y1=[11.522.533.54];yy=hermite(t,y,y1,1.8)t1=[0.1:0.01:3];yy1=hermite(t,y,y1,t1);plot(t,y,'o',t,y1,'*',t1,yy1)4.2.3分段線性插值利用多項式進(jìn)行函數(shù)的擬合與插值并不是次數(shù)越高就精度越高，早在20世紀(jì)初Runge就給出可一個等距節(jié)點插值多項式不收斂的例子，從此這種高次插值的病態(tài)現(xiàn)象被成為Runge現(xiàn)象。針對這種問題，人們通過插值點用折線連接起來逼近原曲線，這就是分段線性插值。MATLAB提供了interp1函數(shù)進(jìn)行分段線性插值。yi=interp1(x,Y,xi)yi=interp1(Y,xi)yi=interp1(x,Y,xi,method)4.2.3分段線性插值yi=interp1(x,Y,xi)returnsvectoryicontainingelementscorrespondingtotheelementsofxianddeterminedbyinterpolationwithinvectorsxandY.ThevectorxspecifiesthepointsatwhichthedataYisgiven.IfYisamatrix,thentheinterpolationisperformedforeachcolumnofYandyiislength(xi)-by-size(Y,2).yi=interp1(Y,xi)assumesthatx=1:N,whereNisthelengthofYforvectorY,orsize(Y,1)formatrixY.yi=interp1(x,Y,xi,method)interpolatesusingalternativemethods:

'nearest'Nearestneighborinterpolation'linear'Linearinterpolation(default)'spline'Cubic

splineinterpolation'pchip'PiecewisecubicHermiteinterpolation'cubic'(Sameas'pchip')4.2.3分段線性插值【例】在Runge給出的等距節(jié)點插值多項式不收斂的例子中，函數(shù)為f(x)=1/(1+x2)，在[-5,5]區(qū)間以0.1為步長分別進(jìn)行Lagrange插值和分段線性插值，比較兩種插值結(jié)果。clearclccloseallx=[-5:0.1:5];y=1./(1+x.^2);x=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);y2=interp1(x,y,x0);plot(x0,y0,'o');holdonplot(x0,y1,'--');holdonplot(x0,y2,'*')4.2.3分段線性插值4.2.4三次樣條插值在實際工程中，往往要求一些圖形是二次光滑的，比如高速飛機(jī)的機(jī)翼形線。最常用的就是三次樣條函數(shù)。在MATLAB中，提供了spline函數(shù)進(jìn)行三次樣條插值。yy=spline(x,y,xx)pp=spline(x,y)【例4－10】對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)進(jìn)行三次樣條插值。clearclccloseallx=0:.25:1;Y=[sin(x);cos(x)];xx=0:.1:1;YY=spline(x,Y,xx);plot(x,Y(1,:),'o',xx,YY(1,:),'-');holdon;plot(x,Y(2,:),'o',xx,YY(2,:),':');4.2.4三次樣條插值4.2.5多維插值在工程實際中，一些比較復(fù)雜的問題通長是多維問題，需用多維插值解決。MATLAB中用來進(jìn)行二維和三維插值的函數(shù)分別是interp2和interp3【例4－11】對peak函數(shù)進(jìn)行二維插值。[X,Y]=meshgrid(-3:.25:3);Z=peaks(X,Y);[XI,YI]=meshgrid(-3:.125:3);ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI);mesh(X,Y,Z);holdonmesh(XI,YI,ZI+15);axis([-33-33-520]);4.2.5多維插值4.8MATLAB數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)

4.8.1隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生4.8.2隨機(jī)變量的概率密度計算4.8.3隨機(jī)變量的累積概率值(分布函數(shù)值)4.8.4統(tǒng)計量的數(shù)字特征4.8.1隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生是概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)，概率統(tǒng)計就是對各種樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在實際中，各樣本可以用一些經(jīng)典的隨機(jī)分布數(shù)來表示。1）均勻分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生R=unifrnd(A,B)返回區(qū)間[A,B]上的連續(xù)型均勻分布

R=unifrnd(A,B,M,N)，返回一個M×N的矩陣

UNIFRNDRandommatricesfromcontinuousuniformdistribution.R=unidrnd(A,B)返回區(qū)間[A,B]上的離散型均勻分布

R=unidrnd(A,B,MM,NN)，返回一個MM×NN的矩陣

UNIDRNDRandommatricesfromthediscreteuniformdistribution.>>unifrnd(3,5)ans=4.8436>>unifrnd(3,5,4,4)ans=4.47644.83383.70573.40553.35253.82054.62633.39743.81144.78733.01974.20764.87093.11583.27783.5444>>unidrnd(50)ans=10>>unidrnd(10,4,4)ans=15378574599910616【例】1）均勻分布的隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生二項分布二項分布記為X~b(n,p).X為n重伯努里試驗中“成功”的次數(shù),當(dāng)n=1時，稱b(1,p)為0-1分布.試驗次數(shù)為n=4,“成功”即取得合格品的概率為p=0.8,所以,X~b(4,0.8)思考：

若Y為不合格品件數(shù)，Y

？Y~b(4,0.2)一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,

每次一件,則取得合格品件數(shù)X服從二項分布.二項分布2）二項分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)的產(chǎn)生命令參數(shù)為N，P的二項隨機(jī)數(shù)據(jù)函數(shù)binorndR=binornd(N,P)%N、P為二項分布的兩個參數(shù)，返回服從參數(shù)為N、P的二項分布的隨機(jī)數(shù)。R=binornd(N,P,m)%m指定隨機(jī)數(shù)的個數(shù)，與R同維數(shù)。R=binornd(N,P,m,n)%m,n分別表示R的行數(shù)和列數(shù)BINORNDRandommatricesfromabinomialdistribution.>>R=binornd(10,0.5)R=3>>R=binornd(10,0.5,1,6)R=813764>>R=binornd(10,0.5,[1,10])R=6846753562>>R=binornd(10,0.5,[2,3])R=758656【例】2）二項分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)的產(chǎn)生記為X~N(

,

2),其中

>0，

是任意實數(shù).

是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).正態(tài)分布yxOμ正態(tài)分布的性質(zhì)(1)

p(x)關(guān)于

是對稱的.p(x)x0μ在

點p(x)取得最大值.(2)若

固定,

改變,(3)若

固定,

改變,σ小σ大p(x)左右移動,

形狀保持不變.

越大曲線越平坦;

越小曲線越陡峭.p(x)x0x

x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)記為

(x),分布函數(shù)記為

(x).

(x)的計算(1)x

0時,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表.(2)x<0時,用若X~N(0,1),則

(1)P(X

a)=

(a);(2)P(X>a)=1

(a);(3)P(a<X<b)=

(b)

(a);(4)若a0,則

P(|X|<a)=P(

a<X<a)=

(a)

(

a)

=

(a)

[1

(a)]=2

(a)

1

3）正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)的產(chǎn)生命令參數(shù)為μ、σ的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)函數(shù)normrndR=normrnd(MU,SIGMA)%返回均值為MU，標(biāo)準(zhǔn)差為

SIGMA的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)，R可以是向量或矩陣。R=normrnd(MU,SIGMA,m)%m指定隨機(jī)數(shù)的個數(shù)，與R同維數(shù)。R=normrnd(MU,SIGMA,m,n)%m,n分別表示R的行數(shù)和列數(shù)。NORMRNDRandommatricesfromnormaldistribution.R=NORMRND(MU,SIGMA)returnsamatrixofrandomnumberschosenfromthenormaldistributionwithparametersMUandSIGMA.>>n2=normrnd(0,1,[15])n2=0.05911.79710.26410.8717-1.4462>>R=normrnd(10,0.5,[2,3])%mu為10，sigma為0.5的2行3列個正態(tài)隨機(jī)數(shù)R=9.783710.06279.42689.167210.143810.5955

【例】3）正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)的產(chǎn)生4）常見分布的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生（表1）4.8.2隨機(jī)變量的概率密度計算1）通用函數(shù)計算概率密度函數(shù)值

命令

通用函數(shù)計算概率密度函數(shù)值函數(shù)pdf格式Y(jié)=pdf(name，K，A)Y=pdf(name，K，A，B)Y=pdf(name，K，A，B，C)PDFComputesachosenprobabilitydensityfunction.Y=PDF(NAME,X,A)returnsthenamedprobabilitydensityfunction,whichusesparameterA,atthevaluesinX.說明返回在X=K處、參數(shù)為A、B、C的概率密度值，對于不同的分布，參數(shù)個數(shù)是不同；name為分布函數(shù)名，其取值如下表。常見分布函數(shù)(表2)例如二項分布：設(shè)一次試驗，事件A發(fā)生的概率為p，那么，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生K次的概率P_K為：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p)【例】

計算正態(tài)分布N（0，1）的隨機(jī)變量X在點0.6578的密度函數(shù)值。解：>>pdf('norm',0.6578,0,1)ans=0.32131）通用函數(shù)計算概率密度函數(shù)值2）專用函數(shù)計算概率密度函數(shù)值命令

二項分布的概率值函數(shù)binopdf格式binopdf(k,n,p)%等同于，p—每次試驗事件A發(fā)生的概率；K—事件A發(fā)生K次；n—試驗總次數(shù)。BINOPDFBinomialprobabilitydensityfunction.Y=BINOPDF(X,N,P)returnsthebinomialprobabilitydensityfunctionwithparametersNandPatthevaluesinX.NotethatthedensityfunctioniszerounlessXisaninteger.命令

泊松分布的概率值函數(shù)poisspdf格式poisspdf(k,Lambda)%等同于

POISSPDFPoissonprobabilitydensityfunction.Y=POISSPDF(X,LAMBDA)returnsthePoissonprobabilitydensityfunctionwithparameterLAMBDAatthevaluesinX.命令正態(tài)分布的概率值函數(shù)normpdf(K,mu,sigma)%計算參數(shù)為μ=mu，σ=sigma的正態(tài)分布密度函數(shù)在K處的值。

NORMPDFNormalprobabilitydensityfunction(pdf).Y=NORMPDF(X,MU,SIGMA)Returnsthenormalpdfwithmean,MU,andstandarddeviation,SIGMA,atthevaluesinX.

2）專用函數(shù)計算概率密度函數(shù)值專用函數(shù)計算概率密度函數(shù)(表3)4.8.3隨機(jī)變量的累積概率值(分布函數(shù)值)1）通用函數(shù)計算累積概率值

命令

通用函數(shù)cdf用來計算隨機(jī)變量的概率之和（累積概率值）。函數(shù)cdf格式CDFComputesachosencumulativedistributionfunction.P=CDF(NAME,X,A1)returnsthenamedcumulativedistributionfunction,whichusesparameterA,atthevaluesinX.【例6.6.5】求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量X落在區(qū)間(-∞，0.4)內(nèi)的概率（該值就是概率統(tǒng)計教材中的附表：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)值表）。解：>>cdf('norm',0.4,0,1)ans=0.6554

說明

返回以name為分布、隨機(jī)變量X≤K的概率之和的累積概率值，name的取值見表1常見分布函數(shù)表。1）通用函數(shù)計算累積概率值2）專用函數(shù)計算累積概率值（隨機(jī)變量的概率之和）命令

二項分布的累積概率值函數(shù)binocdf格式binocdf(k,n,p)%n為試驗總次數(shù)，p為每次試驗事件A發(fā)生的概率，k為n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，該命令返回n次試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率。BINOCDFBinomialcumulativedistributionfunction.命令

正態(tài)分布的累積概率值函數(shù)

normcdf格式

normcdf()%返回F(x)=的值，mu、sigma為正態(tài)分布的兩個參數(shù)。NORMCDFNormalcumulativedistributionfunction(cdf).P=NORMCDF(X,MU,SIGMA)computesthenormalcdfwithmeanMUandstandarddeviationSIGMAatthevaluesinX.【例】設(shè)X~N（3,22）

求：解：p1=p2=p3=p4=則有：>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)p1=0.5328>>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)p2=0.9995>>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)p3=0.6853>>p4=1-normcdf(3,3,2)p4=0.5000

2）專用函數(shù)計算累積概率值（隨機(jī)變量的概率之和）例2.5.1

設(shè)X~N(0,1),求

P(X>

1.96),P(|X|<1.96)=1

(

1.96)=1

(1

(1.96))=0.975(查表得)=2

(1.96)

1=0.95=

(1.96)解:

P(X>

1.96)P(|X|<1.96)=20.9751請編程。p1=normcdf(1.96,0,1)p2=2*normcdf(1.96,0,1)-1專用函數(shù)的累積概率值函數(shù)(表4)

說明：

累積概率函數(shù)就是分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}在x處的值。

4.8.4統(tǒng)計量的數(shù)字特征平均值和中位數(shù)（mean、geomean

）數(shù)據(jù)比較（sort、sortrows

、range）期望和方差（mean、var

）常見分布的期望和方差（unifstat

、binostat

）協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)（cov、corrcoee

）1）平均值、中值命令

利用mean求算術(shù)平均值格式

mean(X)%X為向量，返回X中各元素的平均值mean(A)%A為矩陣，返回A中各列元素的平均值構(gòu)成的向量mean(A,dim)%在給出的維數(shù)內(nèi)的平均值說明

X為向量時，算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)含義是，即樣本均值。

MEANAverageormeanvalue.Forvectors,MEAN(X)isthemeanvalueoftheelementsinX.Formatrices,MEAN(X)isarowvectorcontainingthemeanvalueofeachcolumn.ForN-Darrays,MEAN(X)isthemeanvalueoftheelementsalongthefirstnon-singletondimensionofX.【例

】>>A=[1345;2346;1315]A=134523461315>>mean(A)ans=1.33333.00003.00005.33331）平均值、中值命令

忽略NaN計算算術(shù)平均值

NANMEANAverageormeanignoringNaNs.格式

nanmean(X)%X為向量，返回X中除NaN外元素的算術(shù)平均值。

nanmean(A)%A為矩陣，返回A中各列除NaN外元素的算術(shù)平均值向量。1）平均值、中值【例】>>A=[123;nan52;37nan]A=123

NaN5237NaN>>nanmean(A)ans=2.00004.66672.5000命令

利用median計算中值（中位數(shù)）

median(X)%X為向量，返回X中各元素的中位數(shù)。median(A)%A為矩陣，返回A中各列元素的中位數(shù)構(gòu)成的向量。median(A,dim)%求給出的維數(shù)內(nèi)的中位數(shù)。

>>A=[1345;2346;1315]A=134523461315>>median(A)ans=1345

【例】MEDIANMedianvalue.Forvectors,MEDIAN(X)isthemedianvalueoftheelementsinX.Formatrices,MEDIAN(X)isarowvectorcontainingthemedianvalueofeachcolumn.ForN-Darrays,MEDIAN(X)isthemedianvalueoftheelementsalongthefirstnon-singletondimensionofX.1）平均值、中值2）數(shù)據(jù)比較命令

排序格式Y(jié)=sort(X)%X為向量，返回X按由小到大排序后的向量。Y=sort(A)%A為矩陣，返回A的各列按由小到大排序后的矩陣。

[Y,I]=sort(A)%Y為排序的結(jié)果，I中元素表示Y中對應(yīng)元素在A中位置。sort(A,dim)%在給定的維數(shù)dim內(nèi)排序

Sortinascendingorder.

說明若X為復(fù)數(shù)，則通過|X|排序。

【例】>>A=[123;452;370]A=123452370>>sort(A)ans=1203524732）數(shù)據(jù)比較>>[Y,I]=sort(A)Y=120352473I=113322231命令

求最大值與最小值之差函數(shù)

rangeY=range(X)%X為向量，返回X中的最大值與最小值之差。Y=range(A)%A為矩陣，返回A中各列元素的最大值與最小值之差。

RANGE

Therangeisthedifferencebetweenthemaximumandminimumvalues.Y=RANGE(X)calculatestherangeoftheinput.FormatricesRANGE(X)isavectorcontainingtherangeforeachcolumn.【例】>>A=[123;452;370]A=123452370>>Y=range(A)Y=353

2）數(shù)據(jù)比較3）期望命令

計算樣本均值函數(shù)

mean－Averageormeanvalue.格式

用法與前面一樣

【例】

隨機(jī)抽取6個滾珠測得直徑如下：（直徑：mm）14.7015.2114.9014.9115.3215.32試求樣本平均值。解：>>X=[14.7015.2114.9014.9115.3215.32]；>>mean(X)%計算樣本均值則結(jié)果如下：ans=15.0600命令

由分布律計算均值利用sum（Sumofelements.）函數(shù)計算【例】

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：求E(X)E(X2-1)解：在Matlab編輯器中建立M文件如下：X=[-2-1012];p=[0.30.10.20.10.3];EX=sum(X.*p)Y=X.^2-1EY=sum(Y.*p)運(yùn)行后結(jié)果如下：EX=0Y=30-103EY=1.6000

3）期望4）方差命令

求樣本方差函數(shù)

varD=var(X)%var(X)=,若X為向量，則返回向量的樣本方差。D=var(A)%A為矩陣，則D為A的列向量的樣本方差構(gòu)成的行向量。D=var(X,1)%返回向量（矩陣）X的簡單方差（即置前因子為的方差）D=var(X,w)%返回向量（矩陣）X的以w為權(quán)重的方差

VARVariance.Forvectors,VAR(X)returnsthevarianceofX.Formatrices,VAR(X)isarowvectorcontainingthevarianceofeachcolumnofX.命令

求標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)

std

格式

std(X)%返回向量（矩陣）X的樣本標(biāo)準(zhǔn)差（置前因子為）即：std(X,1)%返回向量（矩陣）X的標(biāo)準(zhǔn)差（置前因子為）std(X,0)%與std(X)相同std(X,flag,dim)%返回向量（矩陣）中維數(shù)為dim的標(biāo)準(zhǔn)差值，其中flag=0時，置前因子為；否則置前因子為4）方差STDStandarddeviation.Forvectors,STD(X)returnsthestandarddeviation.Formatrices,STD(X)isarowvectorcontainingthestandarddeviationofeachcolumn.ForN-Darrays,STD(X)isthestandarddeviationoftheelementsalongthefirstnon-singletondimensionofX.STD(X)normalizesby(N-1)whereNisthesequencelength.ThismakesSTD(X).^2thebestunbiasedestimateofthevarianceifXisasamplefromanormaldistribution.STD(X,1)normalizesbyNandproducesthesquarerootofthesecondmomentofthesampleaboutitsmean.STD(X,0)isthesameasSTD(X).STD(X,FLAG,DIM)takesthestandarddeviationalongthedimensionDIMofX.WhenFLAG=0STDnormalizesby(N-1),otherwiseSTDnormalizesbyN.4）方差【例】

求下列樣本的樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，方差和標(biāo)準(zhǔn)差14.7015.2114.9015.3215.32解：>>X=[14.715.2114.914.9115.3215.32];>>DX=var(X,1)%方差

DX=0.0559>>sigma=std(X,1)%標(biāo)準(zhǔn)差sigma=0.2364>>DX1=var(X)%樣本方差DX1=0.0671>>sigma1=std(X)%樣本標(biāo)準(zhǔn)差

sigma1=0.2590

4）方差5）常見分布的期望和方差命令

均勻分布（連續(xù)）的期望和方差函數(shù)

unifstat格式

[M,V]=unifstat(A,B)%A、B為標(biāo)量時，就是區(qū)間上均勻分布的期望和方差，A、B也可為向量或矩陣，則M、V也是向量或矩陣。UNIFSTATMeanandvarianceofthecontinuousuniformdistribution.[M,V]=UNIFSTAT(A,B)returnsthemeanandvarianceoftheuniformdistributionontheinterval[A,B].>>a=1:6;b=2.*a;>>[M,V]=unifstat(a,b)M=1.50003.00004.50006.00007.50009.0000V=0.08330.33330.75001.33332.08333.0000【例】5）常見分布的期望和方差命令

正態(tài)分布的期望和方差函數(shù)

normstat格式

[M,V]=normstat(MU,SIGMA)%MU、SIGMA可為標(biāo)量也可為向量或矩陣，則M=MU，V=SIGMA2。>>n=1:4;>>[M,V]=normstat(n'*n,n'*n)M=1234246836912481216V=149164163664936811441664144256

NORMSTATMeanandvarianceforthenormaldistribution.[M,V]=NORMSTAT(MU,SIGMA)returnsthemeanandvarianceofthenormaldistributionwithparametersMUandSIGMA.【例6.6.20】5）常見分布的期望和方差命令

二項分布的均值和方差函數(shù)

binostat格式

[M,V]=binostat(N,P)%N，P為二項分布的兩個參數(shù)，可為標(biāo)量也可為向量或矩陣。>>n=logspace(1,5,5)n=10100100010000100000>>[M,V]=binostat(n,1./n)M=11111V=0.90000.99000.99900.99991.0000>>[m,v]=binostat(n,1/2)m=550500500050000v=1.0e+04*0.00030.00250.02500.25002.5000

【例6.6.21】5）常見分布的期望和方差5）常見分布的期望和方差6）協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)命令

協(xié)方差函數(shù)

covcov(X)%求向量X的協(xié)方差cov(A)%求矩陣A的協(xié)方差矩陣，該協(xié)方差矩陣的對角線元素是A的各列的方差，即：var(A)=diag(cov(A))。cov(X,Y)%X,Y為等長列向量，等同于cov([XY])。

COVCovariancematrix.COV(X),ifXisavector,returnsthevariance.Formatrices,whereeachrowisanobservation,andeachcolumnavariable,COV(X)isthecovariancematrix.DIAG(COV(X))isavectorofvariancesforeachcolumn,andSQRT(DIAG(COV(X)))isavectorofstandarddeviations.COV(X,Y),whereXandYarevectorsofequallength,isequivalenttoCOV([X(:)Y(:)]).【例】

>>X=[0-11]';Y=[122]'；>>C1=cov(X)%X的協(xié)方差C1=1>>C2=cov(X,Y)%列向量X、Y的協(xié)方