等比數(shù)列的概念

5.3.1等比數(shù)列的概念動(dòng)手做游戲：把紙對(duì)折1次，2次，3次，4次，5次，分別列出每次對(duì)折后紙的層數(shù)：2（21）4（22）8（23）16（24）32（25）繼續(xù)對(duì)折，想想紙的層數(shù)是如何變化的？折1次折2次折3次折4次．．．折28次

2（21）4（22）8（23）16（24）．．.228

情景導(dǎo)入請(qǐng)觀察：(1)2，10，50，250，···(2)1，1/3，1/9，1/27···

-3，9，-27，81···(4)36，36×0.9，36×0.92,36×0.93,…(5)9，92，93，94，95，96，97共同特點(diǎn)從第2項(xiàng)起，每1項(xiàng)與前1項(xiàng)的比都等于同一常數(shù)。?1.定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比。通常用字母q表示。注：（1）等比數(shù)列的所有項(xiàng)不為0；（2）公比不為0(q≠0）.

等比數(shù)列的定義即：

練習(xí)一下列數(shù)列是否為等比數(shù)列？是的話，算出公比？①8，16，32，64，128，256，…；②1，1，1，1，1，1，1，…；③243，81，27，9，3，1，…；④16，8，4，2，0，－2，…；⑤1，－1，1，－1，1，－1，1，…；

1，10，－100，－1000，…．１,2,4,16,64,…√√√√任一項(xiàng)不能為0q=2q=1q=-1q=13常數(shù)列

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式由此可知，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為等比數(shù)列{an}中,有:(q不為0)n為正整數(shù)

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例1求等比數(shù)列8，4，2，1，···的第5項(xiàng)和第8項(xiàng)．12an=a1qn-1=8×（

）n-1解a1=8，q

===，則

a2

a1481212a5=a1qn-1=8×（

）4=1212a8=a1qn-1=8×（

）7=116

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式例2已知一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18，求它的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)．解設(shè)這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是a1，公比是q

，則a1·

q2

＝12，①a1·

q3

＝

18．②解①②所組成的方程組，得q＝，a1＝，a2

＝a1·

q

＝×＝

8．即這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)是，第2項(xiàng)是8．1633216332163

等比數(shù)列的等比中項(xiàng)公式例3：在2與8之間插入G，使得2，G

，8成等比數(shù)列，求G的值．一般地，如果a

，G，b

成等比數(shù)列，那么G

叫做a與b的等比中項(xiàng)．

G

2＝ab，即G

＝±容易看出，一個(gè)等比數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．

等比數(shù)列的等差中項(xiàng)公式觀察如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后，三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等比數(shù)列：（1）1，，9（2）-1，，-4（3）-12，，-3（4）1，，1±3±2±6±1

等比數(shù)列的等差中項(xiàng)公式

解：解得a=4或a=-4

反饋練習(xí)1．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做________數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，公比通常用字母q表示(q≠0)．答案：等比公比2．如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的________．答案：等比中項(xiàng)3．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．答案：an＝a1qn－1

反饋練習(xí)1．等比數(shù)列的公比能否為0，首項(xiàng)能否為0?答案：等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比都不為0。2.1,3,9，（），81,243，……

27,q=32,-4,(),-16,32,……

8,q=-23.等比數(shù)列1,2,4,8,16,……，求a6和a10

a6=32,a10=5122023/9/29例4：將20，50，100三個(gè)數(shù)分別加上相同的常數(shù)，使這三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求該等比數(shù)列的公比。

等比數(shù)列的等差中項(xiàng)公式

反饋練習(xí)A．a(chǎn)n＝a3qn－2 B．a(chǎn)n＝a3qn－1C．a(chǎn)n＝a3qn－3 D．a(chǎn)n＝a3qn－4解析：∵a3qn－3＝a1·q2·qn－3＝a1qn－1＝an.答案：C

反饋練習(xí)

反饋練習(xí)

反饋練習(xí)探索規(guī)律在等比數(shù)列｛an｝中，根據(jù)等差中項(xiàng)的定義可知a22＝a1·a3，

即類似地，有由此啟發(fā)我們想到：若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），則應(yīng)有