首都師范大學(xué)高等代數(shù)考研試題

首都師范大學(xué)年計算行列式1+cbcb…cbTOC\o"1-5"\h\z11 12 1ncb1+cb…cb21 22 2n\ \ - \cbcb…1+cbn1 n1 nn2.如果f(x),f(x),f(x)是數(shù)域F上線性空間F[x]中三個互素的多項式，1 2 3但其中任意兩個都不互素，證明f1(x),f2(x),f3(x)線性無關(guān)。證明線性方程組ax+ax+ +ax=b111 122 1nn 1ax+ax+ +ax=b211 222 2nn 2ax+ax+ +ax=bn11 n22 nnnn對任何b,b，…,b都有解的充分必要條件是系數(shù)行列式1 2 na1na2n豐0a1na2n豐0:ann11 12a a\o"CurrentDocument"IA1=21 22: :a an1 n24.設(shè)4.設(shè)A,B為n階實對稱矩陣，A的所有特征值都小于a,B的所有特征值都小于b,則矩陣A+B的所有特征值小于a+b。證明n維線性空間V中的線性變換b可逆的充分必要條件是b把V的一組基仍變?yōu)橐唤M基。設(shè)A是數(shù)域F上n階矩陣，I是n階單位矩陣，A2=I,匕和V2分別是線性方程組(I-A)X=0和(I+A)X=0的解空間，則Fn=匕十V2，其中Fn是所有n維列向量所成的向量空間。設(shè)4階實對稱矩陣A的特征值是-3,1,1,1，已知屬于特征值1的特征向量f1)f1)f-1)&=1,&=0,&=0,1021300a0a<1>求屬于特征值的特征向量七;4求矩陣A。設(shè)a為一復(fù)數(shù)，且是數(shù)域F上非零多項式g(x)的根，令W={f(x)eF[x]lf(a)=0}證明在W中存在多項式p(x),使得對任一f(x)eW,都有p(x)lf(x),且p(x)在數(shù)域F上不可約。年設(shè)p(x)為數(shù)域F上的次數(shù)大于零的多項式，證明如果p(x)對任意多項式f(x)，都有p(x)lf(x)或(p(x),f(x))=1,則p(x)必為F上的不可約多項式。f00。)設(shè)V是數(shù)域F上全體3x3矩陣所作成的線性空間，A=001，令、000,W={BeVlAB=0}。證明W是V的一個子空間；求W；求W的維數(shù)和一組基。設(shè)V是數(shù)域F上全體〃階方陣所作成的線性空間，C為V中一矩陣，定義V的變換b:b(A)=CA-AC。證明b是V的一個線性變換；對V中任意的A,B都有b(AB)=b(A)B+Ab(B)。f"-20)設(shè)矩陣A=b1-2的三個特征值為4,1,-2，求a,b,c。、c-20/設(shè)％%,..?，氣是線性無關(guān)的n元列向量，P為n階方陣，試給出向量組P偵P,…,Pa線性無關(guān)的充分必要條件，并證明你的結(jié)論。1 2 n設(shè)A,B都是n階實數(shù)對稱矩陣，證明存在正交矩陣P,使得P-1AP=B的充分必要條件是A與B有相同的特征多項式。線性變換b稱為幕等的，如果b2=。。設(shè)。與t都是線性空間V的幕等線性變換，證明b+T是幕等變換的充分必要條件是bT=Tb=0。設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的有限線性空間，t是V的線性變換，如果對V的任意T-不變子空間U(即T(U)uU)，存在V的T-不變子空間W滿足V=U十W，則稱T是完全可約的，證明T是完全可約的當(dāng)且僅當(dāng)V有由特征向量組成的基。年用(f⑴,g⑴)表示數(shù)域F上多項式f⑴和g⑴的首項系數(shù)為1的最大公因式，證明(f(x),g(x))=(f(x)+2g(x),f(x)-g(x))敘述實系數(shù)多項式的因式分解定理，并將多項式xio-1在實數(shù)域上分解為不可約多項式的乘積。3.設(shè)F是數(shù)域，已知矩陣AeFnxr的列向量是一齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，證明矩陣CeFn方的列向量也是該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的充要條件為存在可逆矩陣BeFnxr使得C=AB。設(shè)b是數(shù)域F上的n維線性空間V的線性變換，a與p分別是a的屬于特征值人i與人2的特征向量，而且七衛(wèi)氣，試證a,p線性無關(guān)；a-P不可能是b的特征向量。設(shè)數(shù)域F上的n維線性空間V=W?W，則任一xeV可表為x=x+x，1 2 1 2其中xeW(i=1,2)，我們把變換b(x):xTx稱為在W上的投影變換，試證ii 1 1投影變換是線性變換；V的線性變換b是投影變換的充要條件是b在V的任何基下的矩陣A滿足A2=A。設(shè)f(x)=xn+axn-ih fax+aeF[x]是數(shù)域F上的不可約多項式，a是f(x)的一復(fù)數(shù)根。證明F[a]={g(a)|g(x)eF[x]}是F上n維線性空間，且1,a,.?.an-i是一基；定義F[a]的線性變換七:PIap，求人.在上述基下對應(yīng)的矩陣An,并求行列式IAI。設(shè)A與B是兩個n階實對稱矩陣，且A是正定矩陣，試證存在一個n階實可逆矩陣T，使T'AT及T'BT都是對角矩陣。設(shè)a,a,…,a與p,P，…，P是線性空間V中兩組向量，且a,a，…,a1 2 r1 2 s 1 2 r線性無關(guān)，P.=￡aa.(i=12,…,s)，求證j=1向量組P1,P2,…,P?的秩等于矩陣A=(aj的秩；s=r時，P1,P2,…,P，線性無關(guān)的充要條件為IAX0。年1.給定有理數(shù)域Q上的多項式f(x)=x3+3x2+3。證明f(x)為Q上的不可約多項式；設(shè)a是f(x)在復(fù)數(shù)域C內(nèi)的一個根，定義Q[a]={a+aa+aa2|a,a,aeQ}0 1 2 0 1 2證明對于任意的g(x)eQ[x]，有g(shù)(a)eQ[a]；⑶證明若PeQ[a]且P衛(wèi)0，則存在yeQ[a]，使得Py=1。

(\ 1\ .2.令F2x2表示數(shù)域F上全體2X2矩陣組成的線性空間，P="2J，定乂Q(X)=PX,VXGF2x2(1)證明b是F2x2上的線性變換；(10、 (01、 (00、 (00、11100；12100；2111 0； 22 10 1陣；(3)設(shè)A=(12]231J)，求b(A)在基E11,E12,E21,E下的坐標(biāo)。22⑵求b在基E二°…E=°…E二一一E二°一下的矩設(shè)b是n維歐氏空間V的線性變換，證明b是正交變換的充分必要條件是b在V的任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。設(shè)b是數(shù)域F上n維線性空間V的線性變換，b(V)與b-i(0)分別表示線性變換b的值域與核，"七,…』,是b(V)的一組基。設(shè)e,gV滿足b(8.)=^,i=1,2,…,r，證明8,8,…,8線性無關(guān)；1 2 rV=L(8,8，…，8)十b-i(0)。1 2 r設(shè)b為線性空間V的一個線性變換，且b2=b，證明b的核b-i(0)={a—b(a)|agV}；b-i(0)及值域b(V)是V的線性變換t的不變子空間的充分必要條件是b與t可交換。設(shè)n維列向量a1,a2,...,a,是n元齊次線性方程組AX=0的一個基礎(chǔ)解系，證明向量