集合的含義與表示

第一章集合與函數(shù)概念§111集合的含義與表示康托是德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。

康托11歲時(shí)移居德國(guó)，在德國(guó)讀中學(xué)。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué)，翌年入柏林大學(xué)，主修數(shù)學(xué)，1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。1869年在哈雷大學(xué)通過(guò)講師資格考試，后在該大學(xué)任講師，1872年任副教授，1879年任教授。

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，康托在研究函數(shù)論時(shí)產(chǎn)生了探索無(wú)窮集和超窮數(shù)的興趣?？低锌隙藷o(wú)窮數(shù)的存在，并對(duì)無(wú)窮問(wèn)題進(jìn)行了哲學(xué)的討論，最終建立了較完善的集合理論，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?？低?Cantor,G.F.P.)(1845-1918)自然數(shù)集合，正分?jǐn)?shù)集合，有理數(shù)集合；1我們以前已經(jīng)接觸過(guò)的集合到角的兩邊的距離相等的所有點(diǎn)的集合；到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合；角平分線線段垂直平分線２．集合的含義⑴１到20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù);⑵我國(guó)從1991到2003年的13年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星⑶金星汽車廠2003年生產(chǎn)的所有汽車;⑷2004年1月1日之前與我國(guó)建立外交關(guān)系的所有國(guó)家;⑸所有的正方形;⑹到直線l的距離等于定長(zhǎng)d所有的點(diǎn);⑺方程的所有實(shí)數(shù)根;⑻維漢中學(xué)2015年9月入學(xué)的高一學(xué)生全體一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素element，把一些元素組成的總體叫做集合set簡(jiǎn)稱集．我們通常用大寫拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．２．集合的含義３．集合中元素具的有幾個(gè)特征⑴確定性－因集合是由一些元素組成的總體，當(dāng)然，我們所說(shuō)的“一些元素”是確定的．⑵互異性－即集合中的元素是互不相同的，如果出現(xiàn)了兩個(gè)或幾個(gè)相同的元素就只能算一個(gè)，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．⑶無(wú)序性－即集合中的元素沒(méi)有次序之分．4廣泛性－即集合中的元素可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、人等例子:1A={1,3},問(wèn)3，5哪個(gè)是A的元素？

2B={素質(zhì)好的人}能否表示成為集合？

3C={2，2，4}表示是否正確？

4D={太平洋，大西洋}E={大西洋，太平洋}集合D,E是不是表示相同的集合？4常用的數(shù)集及其記法集合非負(fù)整數(shù)（自然數(shù)）集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記號(hào)NN*

或

N+

ZQR如果a是集合Ａ中的元素，就說(shuō)a屬于集合Ａ，記作如果a不是集合Ａ中的元素，就說(shuō)a不屬于集合Ａ，記作例如，Ａ＝｛所有能被３整除的整數(shù)｝５．元素與集合之間的關(guān)系-67∈A?A⑴列舉法－將所給集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)里，元素與元素之間用逗號(hào)分開．6集合的幾種表示方法列舉法有三種形式：1是有限集而元素個(gè)數(shù)較少，如由0、2、-3、5組成的集合可表示為{0，2，-3，5}；2是有限集但元素個(gè)數(shù)較多，如由從50到100的所有整數(shù)組成的集合可表示為{50，51，52，53，…，98，99，100}；3是無(wú)限集且元素離散，如由所有的正偶數(shù)組成的集合可表示為{2，4，6，8，……}例１用列舉法表示下列集合：1小于10的所有自然數(shù)組成的集合；6集合的幾種表示方法解：⑴設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為Ａ，那么Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝

由于元素完全相同的兩個(gè)集合相等，而與列舉的順序無(wú)關(guān)，因此集合Ａ可以有不同的列舉方法．例如Ａ＝｛９,8,7,6,5,4,3,2,1,0｝3由1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合．2描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法描述法有兩種表述形式：1數(shù)式形式:在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及以取值或變化范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征形式如：{|}如由不等式-3＞2的所有解組成的集合，可表示為{|-3＞2}或{|＞5}；由直線y=1上所有的點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合，可表示為{,y|y=1}。2描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法描述法有兩種表述形式：2語(yǔ)言形式:用文字把元素所具有的屬性描述出來(lái)如由所有直角三角形組成的集合，可表示為:{直角三角形}；由所有小于6的正整數(shù)組成的集合，可表示為:{小于6的正整數(shù)}例2試用列舉法和描述法表示下列集合:例2試用列舉法和描述法表示下列集合:2由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合3圖示法:畫一條封閉曲線,用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合常用于表示不需給具體元素的抽象集合對(duì)已給出了具體元素的集合也當(dāng)然可以用圖示法來(lái)表示如:集合{1,2,3,4,5}用圖示法表示為:A12345Ｖenn圖韋恩圖思考1：與{}的含義是否相同？思考2：集合{1，2}與集合{（1，2）}相同嗎？思考3:集合的幾何意義是什么？xyo6集合的幾種表示方法⑴有限集-------含有有限個(gè)元素的集合叫有限集⑵無(wú)限集--------含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫無(wú)限集例如:A={1，3，5}，B={不大于3的所有實(shí)數(shù)}7集合的分類3空集--------不含任何元素的集合叫空集．思考:本節(jié)課主要學(xué)研究哪些基本內(nèi)容集合的三種表示方法各有怎樣的優(yōu)點(diǎn)用其表示集合各應(yīng)注意什么集合的含義元素與集合之間的關(guān)系集合中元素的特征