ch 19 1定義性質(zhì)同態(tài)直積

第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)1第十九章格與布爾代數(shù)19.1格的定義與性質(zhì)19.2子格、格同態(tài)與格的直積19.3特殊的格19.4布爾代數(shù)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)219.1格的定義和性質(zhì)格的定義格的基本性質(zhì)對(duì)偶原理格中的基本等式與不等式格中的基本等價(jià)條件格中的算律格的代數(shù)定義格中的不等式第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)3格的定義格的偏序集定義：

<S,?>,S的任何二元子集都有最大下界、最小上界.

求最大下界、最小上界構(gòu)成格中的運(yùn)算∧,∨格<L,?>與導(dǎo)出的代數(shù)系統(tǒng)<L,∧,∨>的對(duì)應(yīng)關(guān)系格的實(shí)例：

n的正因子格Sn

冪集格P(B)

子群格L(G)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)4格的實(shí)例例1

設(shè)n是正整數(shù)，Sn是n的正因子的集合.D為整除關(guān)系，則偏序集<Sn,D>構(gòu)成格.?x,y∈Sn，x∨y

是lcm(x,y)，即x

與y

的最小公倍數(shù).x∧y

是gcd(x,y)，即x

與y

的最大公約數(shù).下圖給出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>.第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)5格的實(shí)例（續(xù)）(b)abcdfe(a)acbdedacbefgfeabcd(c)(d)例2

判斷下列偏序集是否構(gòu)成格，并說(shuō)明理由.(1)<Z,≤>，其中Z是整數(shù)集，≤為小于或等于關(guān)系.(2)偏序集的哈斯圖分別在下圖給出.(1)是格.(2)都不是格.第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)6格的性質(zhì)——對(duì)偶原理對(duì)偶命題：設(shè)P是由格中元素,?,?,=,∧,∨等表示的命題，若將P中的?,?,∧,∨分別替換成?,?,∨,∧得到的命題稱(chēng)為P的對(duì)偶命題，記作P*.實(shí)例：

P:a∧b=b∧a P*：a∨b=b∨a性質(zhì)：(P*)*=P.對(duì)偶原理：如果P對(duì)于一切格為真，則P*也對(duì)一切格為真.第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)7格的性質(zhì)（續(xù)）格中的基本不等式和等式

a?a a?b,b?c?a?c a∧b?a,a∧b?b a?a∨b,b?a∨b a?b,a?c?a?b∧c a?b,a?c?a?b∨c a?b,b?a?a=b第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)8格的性質(zhì)（續(xù)）格中的基本等價(jià)條件a?b?a∧b=a?a∨b=b①②③證：①?②

a?a,a?b?a?a∧ba∧b?a②?③b?a∨ba=a∧b?b,b?b?a∨b?b③?①a?a∨b=b?a∨b=b?a∧b=a第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)9格的性質(zhì)（續(xù)）格中交換律、結(jié)合律、冪等律、吸收律證(1)a∧b是{a,b}的下界，

b∧a是{b,a}的下界,{a,b}={b,a}?a∧b=b∧a

結(jié)合律

(2)(a∧b)∧c?a∧b?a(a∧b)∧c?a∧b?b(a∧b)∧c?c(a∧b)∧c?b∧c(a∧b)∧c?a∧(b∧c)同理，a∧(b∧c)?(a∧b)∧c所以，a∧(b∧c)=(a∧b)∧c第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)10格的代數(shù)定義引理

<S,*,?>是具有兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng).

如果*,?運(yùn)算滿(mǎn)足交換、結(jié)合、吸收律，則(1)*,?滿(mǎn)足冪等律

(2)a*b=a?a?b=b證(1)a*a=a*(a?(a*a))=a

同理，a?a=a(2)“?”a*b=a*(a?b)=a“?”a?b=(a*b)?b=b第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)11格的代數(shù)定義（續(xù)）定理設(shè)<S,*,?>是具有兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)，若*和?運(yùn)算滿(mǎn)足交換、結(jié)合、吸收律，則可以適當(dāng)定義S上偏序?，使得<S,?>構(gòu)成格，且<S,?>導(dǎo)出的代數(shù)系統(tǒng)就是<S,*,?>.證明思路

(1)利用運(yùn)算?或*定義S上的二元關(guān)系R(2)證明R為S上的偏序

(3)證明對(duì)于S中任意兩個(gè)元素x,yx∨y=x?y,x∧y=x*y<S,∧,∨>構(gòu)成格第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)12定理的證明證

(1)定義二元關(guān)系R,aRb?a?b=b,(2)R為偏序：

a?a=a

aRaaRb,bRa

a?b=b,

b?a=a

a=baRb,bRc

a?b=b,

b?c=c

a?c=a?(b?c)=(a?b)?c=b?c=c

aRc將R記作?第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)13定理的證明（續(xù)）(3)a?b為{a,b}的上界a?(a?b)=(a?a)?b=a?b

a

?a?bb?(a?b)=a?(b?b)=a?b

b

?a?ba?b最小上界：假設(shè)c為上界，則(a?b)?c=a?(b?c)=a?c=c

a?b?c同理，a*b是{a,b}的最大下界.第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)14格的代數(shù)定義等價(jià)定義設(shè)<L,∧,∨>是具有兩個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)，如果∧,∨滿(mǎn)足交換、結(jié)合、吸收律，則稱(chēng)<L,∧,∨>是格.實(shí)例：

<Sn,gcd,lcm>?x,y∈Sn,gcd(x,y)=gcd(y,x),lcm(x,y)=lcm(y,x)gcd(x,gcd(y,z))=gcd(gcd(x,y),z)lcm(x,lcm(y,z))=lcm(lcm(x,y),z)gcd(x,lcm(x,y))=x,lcm(x,gcd(x,y))=xx|y?lcm(x,y)=y<Sn,|>與<Sn,gcd,lcm>是同一個(gè)格第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)15格的性質(zhì)（續(xù)）格的不等式（1）保序不等式

a?b,c?d?a∧c?b∧d,a∨c?b∨d（2）分配不等式

a∨(b∧c)?(a∨b)∧(a∨c),a∧(b∨c)?(a∧b)∨(a∧c)（3）模不等式

a?b?a∨(c∧b)?(a∨c)∧b思考：如何證明以上不等式？第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)16不滿(mǎn)足分配律的格鉆石格：b∨(c∧d)=b∨a=b(b∨c)∧(b∨d)=e∧e=e思考：指出五角格不滿(mǎn)足分配律的元素abcde鉆石格五角格abcde第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)1719.2子格、格同態(tài)、格的直積子格子格定義子格判別格的同態(tài)與同構(gòu)格同態(tài)定義格同態(tài)的性質(zhì)完備格格的直積第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)18格的子格L的子格：L的非空子集S，且S關(guān)于L中∧和∨運(yùn)算封閉.注意：子格元素在原來(lái)格中求最大下界和最小上界.實(shí)例：子群格L(G)是格，但一定不是P(G)的子格.

例如Klein四元群G={e,a,b,c},L(G)={<e>,<a>,<b>,<c>,G}P(G)={?,<e>,{a},,{c},<a>,<b>,<c>,{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},{a,b,e},{a,c,e},{b,c,e},G}第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)19格的同態(tài)定義設(shè)L1和L2是格,f:L1→L2,?x,y∈L1，有

f(x∧y)=f(x)∧f(y),f(x∨y)=f(x)∨f(y)

則稱(chēng)f為L(zhǎng)1到L2的同態(tài).實(shí)例：L1=<{1,2,3,6},|>,L2=<{0,1},≤>f(1)=f(2)=0,f(3)=f(6)=1f為L(zhǎng)1到L2的同態(tài).123601第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)20格同態(tài)的性質(zhì)格同態(tài)具有保序性定理1

f是格L1

到L2

的同態(tài)，則?a,b∈L1,a?b?f(a)?f(b)證：a?b?a∧b=a?f(a∧b)=f(a)?f(a)∧f(b)=f(a)?f(a)?f(b)注意：f(a)?f(b)不一定推出a?b.思考反例.第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)21格同態(tài)的性質(zhì)（續(xù)）定理2

f為雙射，f為L(zhǎng)1

到L2

的同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)?a,b∈L1,a?b?f(a)?f(b)證明同構(gòu)的思路（充分性）：(1)由保序性證明f(a)∨f(b)?f(a∨b)(2)由滿(mǎn)射性存在d使得f(a)∨f(b)=f(d)

由f(a)?f(d)推出a?d,同理b?d(3)a∨b?d推出f(a∨b)?f(a)∨f(b)(4)由(1)和(3)得f(a)∨f(b)=f(a∨b)(5)同理f(a)∧f(b)=f(a∧b)第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)22完備格定義設(shè)L是格，若對(duì)L的任何子集S，

S的最大下界∧S,最小上界∨S存在，則L是完備格.注意：S可以是空集

x是?的下界??a(a∈?→x?a)x是?的上界??a(a∈?→a?x)

前件為假，L中任何元素都是?的上界和下界，取L最大元為∧?，最小元為∨?條件：L為偏序，任意子集S?L,∨S(或∧S)存在.實(shí)例：有限格、冪集格、格的理想格完備第三編代數(shù)結(jié)構(gòu)23格的理想I