華里士公式證明

華里士公式證明華里士公式（Heron'sFormula）是數(shù)學(xué)中用于計(jì)算三角形面積的一種公式。它由古希臘數(shù)學(xué)家華里士（Heron）在公元一世紀(jì)發(fā)現(xiàn)，并被他應(yīng)用于計(jì)算多邊形的面積。華里士公式的形式為：給定一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度a,b,c，其面積S可以由以下公式計(jì)算得出：

S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))

其中s是三角形的半周長(zhǎng)，定義為s=(a+b+c)/2。

華里士公式的證明相對(duì)簡(jiǎn)單，可以通過構(gòu)造輔助圖形來進(jìn)行推導(dǎo)。下面是一個(gè)常見的證明方法：

首先，假設(shè)我們有一個(gè)任意三角形ABC，其邊長(zhǎng)分別為a、b和c，且其對(duì)應(yīng)的高分別為h_a,h_b和h_c。我們可以通過高和底的關(guān)系（S=1/2*底*高）計(jì)算出三角形ABC的面積。

接下來，讓我們將三角形ABC分成三個(gè)小三角形ABD、BCE和CAF，如下所示：

```

A

/\

BD/\

/\

B/______\C

\/

CA\/

\/

\/

D

```

根據(jù)三角形面積的性質(zhì)，我們可以得到如下等式：

S=S(ABD)+S(BCE)+S(CAF)

分別計(jì)算每個(gè)小三角形的面積：

S(ABD)=1/2*BD*h_a

S(BCE)=1/2*CE*h_b

S(CAF)=1/2*AF*h_c

其中，BD、CE和AF是三角形ABC的邊a、b和c對(duì)應(yīng)的高，即BD=h_a、CE=h_b和AF=h_c。我們可以通過海倫公式將BD、CE和AF表示為：

BD=2S/a

CE=2S/b

AF=2S/c

將以上結(jié)果代入等式中：

S=1/2*(2S/a)*h_a+1/2*(2S/b)*h_b+1/2*(2S/c)*h_c

簡(jiǎn)化等式：

S=1/2*S*(1/a*h_a+1/b*h_b+1/c*h_c)

去掉相同的量，可以得到：

2=1/a*h_a+1/b*h_b+1/c*h_c

再利用邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，我們可以得到：

2=1/a*2S/a+1/b*2S/b+1/c*2S/c

簡(jiǎn)化等式：

2=S/a^2+S/b^2+S/c^2

利用三角形的半周長(zhǎng)s，可以將a,b和c表示為：

a=2s-a

b=2s-b

c=2s-c

將以上結(jié)果代入等式中：

2=S/(4s^2-4as+a^2)+S/(4s^2-4bs+b^2)+S/(4s^2-4cs+c^2)

簡(jiǎn)化等式，并且將每一項(xiàng)的分母乘以相應(yīng)的分子：

2=S((4s-4a)/(4s^2-4as+a^2))+S((4s-4b)/(4s^2-4bs+b^2))+S((4s-4c)/(4s^2-4cs+c^2))

取消公式中的S項(xiàng)，并且進(jìn)行合并：

2S=(4s-4a)+(4s-4b)+(4s-4c)

簡(jiǎn)化等式：

2S=12s-4(a+b+c)

再次消除S項(xiàng)，并整理等式：

2S=12s-4s

得到：

2S=8s

進(jìn)一步整理等式：

S=4s

最后，將半周長(zhǎng)s替換為(a+b+c)/2：

S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))

因