信息光學(xué)簡(jiǎn)明教程 課件 【ch01】二維線(xiàn)性系統(tǒng)分析

第一章二維線(xiàn)性系統(tǒng)分析光電&儀器類(lèi)專(zhuān)業(yè)教材信息光學(xué)簡(jiǎn)明教程01線(xiàn)性系統(tǒng)一、線(xiàn)性系統(tǒng)的定義

一、線(xiàn)性系統(tǒng)的定義如果任何輸入函數(shù)都可以分解為某種“基元”函數(shù)的線(xiàn)性組合，相應(yīng)的輸出函數(shù)便可通過(guò)這些基元函數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)求得。這就是線(xiàn)性系統(tǒng)的方便之處?；瘮?shù)通常是指不能再進(jìn)行分解的基本函數(shù)單元。在線(xiàn)性系統(tǒng)分析中，常用的基元函數(shù)有δ函數(shù)(即脈沖函數(shù)，參閱附錄A)、階躍函數(shù)、余弦函數(shù)和復(fù)指數(shù)函數(shù)等。對(duì)光學(xué)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，主要用二維δ函數(shù)和復(fù)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行分析。

二、脈沖響應(yīng)和疊加積分02二維傅里葉變換若函數(shù)f(x,y)在整個(gè)x-y平面上絕對(duì)可積且滿(mǎn)足狄里赫利條件，其傅里葉變換定義為可以定義傅里葉逆變換為這里不對(duì)傅里葉變換的存在條件做深入的討論，而只從應(yīng)用的觀(guān)點(diǎn)對(duì)它們做兩點(diǎn)說(shuō)明：(1)從應(yīng)用角度來(lái)看，可以認(rèn)為傅里葉變換總是存在的。(2)對(duì)于這一類(lèi)函數(shù)可以借助于函數(shù)序列極限的概念定義其廣義傅里葉變換。將函數(shù)看作某個(gè)可變換函數(shù)所組成的序列的極限，對(duì)序列中每一函數(shù)進(jìn)行變換，組成一個(gè)變換式的序列。該函數(shù)的廣義傅里葉變換定義為這個(gè)變換式序列的極限。這種廣義傅里葉變換不僅在理論上可以自恰，應(yīng)用時(shí)也能給出符合實(shí)際的結(jié)果。一、二維傅里葉變換定義及存在條件

二、極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換

二、極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換和傅里葉-貝塞爾變換代換花括號(hào)中的積分，得到圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的傅里葉變換為類(lèi)似地，可寫(xiě)出G(ρ)的傅里葉逆變換為上式表明，圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的傅里葉變換仍為圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)，而且圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的傅里葉正變換與逆變換形式相同。上式表示的傅里葉變換又稱(chēng)作傅里葉-貝塞爾變換。三、虛、實(shí)、奇、偶函數(shù)傅里葉變換的

四、二維傅里葉變換定理

01線(xiàn)性定理：式中a和b是任意復(fù)常數(shù)，即兩個(gè)函數(shù)線(xiàn)性組合的變換等于兩個(gè)函數(shù)變換的線(xiàn)性組合。02相似性定理：即空域中坐標(biāo)(??,??)的擴(kuò)展，導(dǎo)致頻域中坐標(biāo)的壓縮以及頻譜的變化

03位移定理：即函數(shù)在空域中平移，帶來(lái)頻域中的線(xiàn)性相移。另一方面即函數(shù)在空域中相移，會(huì)導(dǎo)致頻譜的位移。04帕斯瓦爾定理：01卷積定理可以用來(lái)通過(guò)傅里葉變換方法求卷積或者通過(guò)卷積方法求傅里葉變換。06相關(guān)定理：自相關(guān)定理表明一個(gè)函數(shù)的自相關(guān)與其功率譜構(gòu)成傅里葉變換對(duì)。07傅里葉積分定理：08導(dǎo)數(shù)定理：05卷積定理：即對(duì)函數(shù)相繼進(jìn)行正變換和逆變換，重新得到原函數(shù)；而對(duì)函數(shù)相繼進(jìn)行兩次正變換或逆變換，得到原函數(shù)的“倒立像”。四、二維傅里葉變換定理0203σ

函數(shù)五、常用二維傅里葉變換舉例符號(hào)函數(shù)二維梳狀函數(shù)0103二維線(xiàn)性不變系統(tǒng)一個(gè)二維脈沖函數(shù)在輸入平面上位移時(shí)，線(xiàn)性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式始終與在原點(diǎn)處輸入的二維脈沖函數(shù)的響應(yīng)函數(shù)形式相同，僅造成響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的位移。這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為二維線(xiàn)性不變系統(tǒng)。其脈沖響應(yīng)函數(shù)可表示為對(duì)于線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)，若一、二維線(xiàn)性不變系統(tǒng)的定義因此對(duì)輸入面和輸出面的坐標(biāo)做歸一化(不管兩者是否表示同一種物理量),使得從數(shù)值上有x?=x?=x和y?=y?=y,脈沖響應(yīng)函數(shù)變?yōu)槿魏尉€(xiàn)性空間不變系統(tǒng)的特性都可以用在原點(diǎn)處的脈沖響應(yīng)函數(shù)表達(dá)。與疊加積分不同，卷積積分不僅形式上很簡(jiǎn)潔而且易于運(yùn)算。在光學(xué)成像系統(tǒng)中，物平面上的一個(gè)點(diǎn)光源通過(guò)系統(tǒng)后在像平面上生成一個(gè)彌散的像點(diǎn)分布，而且在等暈區(qū)內(nèi)這個(gè)分布不隨點(diǎn)光源的位置發(fā)生變化。這時(shí)就可以把成像系統(tǒng)看作線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)。對(duì)于光學(xué)成像系統(tǒng)的整個(gè)物面，一般不滿(mǎn)足空間不變的要求，但我們?nèi)匀豢梢园盐锩鎰澐譃槿舾蓚€(gè)等暈區(qū)，把每個(gè)等暈區(qū)當(dāng)作線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)處理。一、二維線(xiàn)性不變系統(tǒng)的定義二、二維線(xiàn)性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

三、線(xiàn)性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)如果函數(shù)??(??,??)滿(mǎn)足條件系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個(gè)特定的輸入函數(shù)，它相應(yīng)的輸出函數(shù)與它之間的差別僅僅是一個(gè)復(fù)常系數(shù)。將復(fù)指數(shù)函數(shù)輸入到線(xiàn)性不變系統(tǒng)之中，即代入卷積式，不難證明它滿(mǎn)足條件式線(xiàn)性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)三、線(xiàn)性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)輸出函數(shù)與輸入函數(shù)之間的差別的確僅是一個(gè)復(fù)常系數(shù)。無(wú)論脈沖響應(yīng)函數(shù)是什么形式，與它卷積的本征函數(shù)得到的結(jié)果的函數(shù)形式一定還是本征函數(shù)，這確實(shí)是很有意義的性質(zhì)。下面再討論一類(lèi)特殊的線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)，其脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，可以把一個(gè)實(shí)值輸入變換為一個(gè)實(shí)值輸出。這種系統(tǒng)也是一種常見(jiàn)的線(xiàn)性系統(tǒng)，如一般非相干成像系統(tǒng)。實(shí)函數(shù)的傅里葉變換是厄米型函數(shù)，即線(xiàn)性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)三、線(xiàn)性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)振幅傳遞函數(shù)是偶函數(shù)，相位傳遞函數(shù)是奇函數(shù)。下面來(lái)證明余弦函數(shù)或正弦函數(shù)是這類(lèi)系統(tǒng)的本征函數(shù)。令輸入函數(shù)為輸入函數(shù)的頻譜為該線(xiàn)性不變系統(tǒng)輸出函數(shù)的頻譜為系統(tǒng)輸出函數(shù)為非相干光學(xué)成像系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是實(shí)函數(shù)，對(duì)這一類(lèi)線(xiàn)性空間不變系統(tǒng)的分析是建立光學(xué)傳遞函數(shù)理論的基礎(chǔ)。線(xiàn)性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)四、級(jí)聯(lián)系統(tǒng)

四、級(jí)聯(lián)系統(tǒng)

04抽樣定理一、函數(shù)抽樣

一、函數(shù)抽樣

一、函數(shù)抽樣二、原函數(shù)的復(fù)原

二、原函數(shù)的復(fù)原濾波過(guò)程可以寫(xiě)作根據(jù)卷積定理，在空間域得到代入可得二、原函數(shù)的復(fù)原

二、原函數(shù)復(fù)原010203用一維函數(shù)的有關(guān)圖像表明了函數(shù)抽樣和還原的過(guò)程及其在頻域發(fā)生的相應(yīng)變化任何在空域上分布在有限范圍內(nèi)的信號(hào)(函數(shù))的頻譜在頻域的分布都是無(wú)限的。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以把它們近似看作限帶函數(shù)，而忽略高頻分量引起的誤差。三、空間帶寬積

三、空間帶寬積三、空間帶寬積三、空間帶寬積三、空間帶寬積它不僅用來(lái)描述空間信號(hào)的信息量，也可用來(lái)描述成像系統(tǒng)、光信息處理系統(tǒng)的信息容量。所以，假如沒(méi)