《經濟數學》413-5（雷安平）教案 第9課 函數的微分

第課函數的微分第課函數的微分PAGE1299函數的微分第9函數的微分第課PAGE11

課題函數的微分課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）掌握微分的概念、幾何意義和運算法則（2）掌握微分在經濟與商務中的應用（3）掌握洛必達法則思政育人目標：通過函數微分的學習，鍛煉學生的邏輯思維能力，培養(yǎng)嚴謹的科學態(tài)度和作風，提高自身科學素養(yǎng)，同時為其他學科的學習打好基礎。教學重難點教學重點：微分的概念、幾何意義和運算法則教學難點：洛必達法則教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節(jié)課：課堂測驗（10min）第2節(jié)課：課堂測驗（15min）課堂小結（3min）教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到【學生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況引例導入（10min）【教師】講解引例給定函數，當取得改變量時，相應因變量的改變量為．其中，是的線性函數，而對于，當時，有和，即是的高階無窮小．當很小時，雖然也很小，但由于是高階無窮小，在求時可忽略不計，故有．這時可把稱為函數的微分，記作．【學生】聆聽、思考、理解、記錄由具體問題引出微分的定義，引導學生主動思考知識講解

（23min）【教師】講解微分的概念、幾何意義和運算法則一、微分的概念對照的情形，當可導時，同樣可表示為兩部分：一部分是的線性函數，是主要部分；另一部分是的高階無窮小，為，是次要部分．據此有如下定理．定理3-4設函數在處可導，對于自變量在處的改變量，函數相應的改變量可表示為，其中，為主要部分，為次要部分．由定理3-4，可導出關于微分的定義．定義3-3設函數在處可導，稱的主要部分為函數在點處的微分，記作或，即．對于函數，由于，說明自變量的微分就是它的改變量，即．這樣，可把微分寫成如下形式：．下面所述函數的微分，都是指的導數乘以．類似地，函數在點處的微分為：．由定義3-3可知，求微分具有重要意義．因為當時，與僅相差一個高階無窮小．于是，當很小時，．例1求函數的微分．解．例2已知函數．（1）求其微分； （2）求當由1改變到1.01時的微分．解（1）．（2）由所給條件知，，所以．例3求函數的微分．解．把改寫為．前面曾將作為一個整體符號來表示函數的導數；在引進微分的概念后，可知表示函數微分與自變量微分的商，所以導數又稱為微商．顯然，函數可微的充要條件是函數可導．我們把求導數與求微分的方法統(tǒng)稱為微分法．二、微分的幾何意義圖3-3圖3-3設函數的圖形如圖3-3所示，是曲線上點處的切線．設的傾角為，當自變量有改變量時，得到曲線上另一點．從圖中可知，，，則，即．由此可知，微分是當發(fā)生改變量時，曲線在點處切線縱坐標的改變量．用近似代替就是用點處切線縱坐標的改變量來近似代替曲線縱坐標的改變量．三、微分的運算法則因為函數的微分等于導數乘dx，所以根據導數公式和導數運算法則，可得出求函數微分的基本公式和運算法則．為使用方便，列出如下．（一）微分基本公式（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．（二）微分的四則運算法則（1）； （2）；（3）； （4）．（三）復合函數的微分法則設，則復合函數的導數為．所以復合函數的微分為．由于，因此上式也可以寫成．由此可見，無論是自變量還是中間變量，函數的微分形式保持不變．這一性質稱為微分形式的不變性．有時，利用微分形式的不變性求復合函數的微分比較方便．例4設，求．解法一由公式得．解法二用微分形式的不變性得．例5求函數的微分．解法一．解法二．【學生】掌握微分的概念、幾何意義和運算法則學習微分的概念、幾何意義和運算法則，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗

（10min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（25min）【教師】講解微分在經濟與商務中的應用和洛必達法則四、微分在經濟與商務中的應用若在處可導，依據定理3-4和定義3-3可知，當很小時，有，（3-1）于是可得．因此，當很小時，．（3-2）式（3-1）和式（3-2）在近似計算中被廣泛應用．在商務應用中，許多計算也僅要求近似成立，因此也會經常用到這兩個公式．例8某商店每周銷售商品件，所獲得利潤（單位：元）依下式計算：．當每周銷售量由10件增加到11件時，試利用微分計算利潤增加的近似值．解依題意有，所以．于是．所以．當該商店每周銷售量由10件增至11件時，其增加的利潤約為8元．例9設某商品的需求函數為，其中為單位商品的價格（單位：元），為某商品的月需求量（單位：千件）．試用微分方法求當該商品的價格從8元增加到8.5元時，月需求量變化的情況．解依題意，所以，，．故當該商品的價格從8元增加到8.5元時，月需求量減少約162件．例10求的近似值．解選函數，則，代入公式，即．五、洛必達（L’Hospital）法則在求極限的過程中，常常遇到這樣的情形，即在同一變化過程中分子、分母同時趨于零或同時趨于無窮大，這時分式的極限可能存在也可能不存在（如，而不存在），通常分別稱這兩類極限為“”型和“”型未定式．對于這樣的未定式，即使極限存在，也不能用極限的運算法則來計算，往往需要經過適當的變形，將其轉化成可利用極限運算法則或重要極限計算的形式．這種變形沒有一般方法，需視具體情況而定，有時很難把握，所能解決的問題有限．下面介紹的洛必達法則將提供一種簡便、可行、具有一般性的求未定式極限的方法．洛必達法則（一）若函數與滿足條件：（1）；（2）與在點的某個鄰域內（點可除外）可導，且；（3）（或），則（或）．洛必達法則（二）若函數與滿足條件：（1）；（2）與在點的某個鄰域內（點可除外）可導，且；（3）（或），則（或）．對于法則（一）和法則（二），把改為，結果仍然成立．例11求．解當時，有和，這是“”型未定式．由洛必達法則，．例12求．解當時，有和，這是“”型未定式．由洛必達法則，．當時，有和，仍是“”型未定式．再用洛必達法則，．例13求．解當時，有和，這是“”型未定式，由洛必達法則例14求．解當時，有和，這是“”型未定式．由洛必達法則，．例15求．解當時，有和，這是“”型未定式．由洛必達法則，．洛必達法則不但可以用來求“”和“”未定式的極限，還可用來求“”“”“”“”“”型未定式的極限．求這幾種未定式極限的基本方法就是設法將它們化為“”或“”型．后面三種類型做起來比較復雜，我們只舉例說明前兩類的解法．例16求． （“”型）解 （轉化為“”型）．例17求． （“”型）解 （轉化為“”型）．例18求．解這是“”型未定式，但極限不存在，即不滿足洛必達法則的第三個條件，所以不能使用洛必達法則．事實上，原極限可由下面的方法求出：．從上面的例子可以看出，洛必達法則雖然是求未定式極限的一種有效的方法，但它不是萬能的，有時會失效．不能用洛必達法則求出的極限不一定不存在．【學生】掌握微分在經濟與商務中的應用和洛必達法則學習微分在經濟與商務中的應用和洛必達法則，邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂小結

（3min）【教師】簡要總結本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了微分的概念、幾何意義和運算法則、微分在經濟與商務中的應用和洛必達法則?！緦W生】總結回顧知識點總結知識點，鞏固印象作業(yè)布置（2mi