李慶揚(yáng)-數(shù)值分析第五版第5章與第7章習(xí)題答案

第5章復(fù)習(xí)與思考題1、用高斯消去法為什么要選主元？哪些方程組可以不選主元？答：使用高斯消去法時(shí)，在消元過程中可能出現(xiàn)的情況，這時(shí)消去法無法進(jìn)行；即時(shí)主元素，但相對(duì)很小時(shí)，用其做除數(shù)，會(huì)導(dǎo)致其它元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散，最后也使得計(jì)算不準(zhǔn)確。因此高斯消去法需要選主元，以保證計(jì)算的進(jìn)行和計(jì)算的準(zhǔn)確性。當(dāng)主對(duì)角元素明顯占優(yōu)（遠(yuǎn)大于同行或同列的元素）時(shí)，可以不用選擇主元。計(jì)算時(shí)一般選擇列主元消去法。2、高斯消去法與LU分解有什么關(guān)系？用它們解線性方程組Ax=b有何不同？A要滿足什么條件？答：高斯消去法實(shí)質(zhì)上產(chǎn)生了一個(gè)將分解為兩個(gè)三角形矩陣相乘的因式分解，其中一個(gè)為上三角矩陣U，一個(gè)為下三角矩陣L。用LU分解解線性方程組可以簡(jiǎn)化計(jì)算，減少計(jì)算量，提高計(jì)算精度。A需要滿足的條件是，順序主子式（1,2，…，n-1）不為零。3、楚列斯基分解與LU分解相比，有什么優(yōu)點(diǎn)？楚列斯基分解是LU分解的一種，當(dāng)限定下三角矩陣L的對(duì)角元素為正時(shí)，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計(jì)算穩(wěn)定？具有對(duì)稱正定系數(shù)矩陣的線性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解過程中元素的數(shù)量級(jí)不會(huì)增長(zhǎng)，切對(duì)角元素恒為正數(shù)，因此，是一個(gè)穩(wěn)定的算法。5、什么樣的線性方程組可用追趕法求解并能保證計(jì)算穩(wěn)定？對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組6、何謂向量范數(shù)？給出三種常用的向量范數(shù)。向量范數(shù)定義見p53，符合3個(gè)運(yùn)算法則。正定性齊次性三角不等式設(shè)為向量，則三種常用的向量范數(shù)為：（第3章p53,第5章p165）7、何謂矩陣范數(shù)？何謂矩陣的算子范數(shù)？給出矩陣A=(aij)的三種范數(shù)||A||1，||A||2，||A||∞，||A||1與||A||2哪個(gè)更容易計(jì)算？為什么？向量范數(shù)定義見p162，需要滿足四個(gè)條件。正定條件齊次條件三角不等式相容條件矩陣的算子范數(shù)有從定義可知，更容易計(jì)算。8、什么是矩陣的條件數(shù)？如何判斷線性方程組是病態(tài)的？答：設(shè)為非奇異陣，稱數(shù)（）為矩陣A的條件數(shù)當(dāng)時(shí)，方程是病態(tài)的。9、滿足下面哪個(gè)條件可判定矩陣接近奇異？（1）矩陣行列式的值很小。（2）矩陣的范數(shù)小。（3）矩陣的范數(shù)大。（4）矩陣的條件數(shù)小。（5）矩陣的元素絕對(duì)值小。接近奇異陣的有（1）、（2）注：矩陣的條件數(shù)小說明A是良態(tài)矩陣。矩陣的元素絕對(duì)值小，不能說明行列式的值小等。3、設(shè)為指標(biāo)為的初等下三角矩陣（除第列對(duì)角元以下元素外，和單位陣相同），即求證當(dāng)時(shí)，也是一個(gè)指標(biāo)為k的初等下三角矩陣，其中為初等置換矩陣。4、試推導(dǎo)矩陣的Crout分解A=LU的計(jì)算公式，其中L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣。本題不推導(dǎo)。參見書上例題。P147頁(yè)。5、設(shè)，其中為三角矩陣。（1）就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，并寫出算法（2）計(jì)算解三角方程組的乘除法次數(shù)（3）設(shè)為非奇異矩陣，試推導(dǎo)求的計(jì)算公式本題考查求解公式的一般方法，可從第n個(gè)元素開始，逐步計(jì)算n-1,…1時(shí)對(duì)應(yīng)的求解公式。解法，略。6、證明：（1）如果是對(duì)稱正定矩陣，則也是對(duì)稱正定矩陣（2）如果是對(duì)稱正定矩陣，則可以唯一地寫成，其中是具有正對(duì)角元的下三角矩陣均是對(duì)稱正定矩陣的性質(zhì)。應(yīng)予以記住。7、用列主元消去法解線性方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式的值使用列主元消去法，有A的行列式為-66方程組的解為X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle分解）求線性方程組的解本題考查L(zhǎng)U分解。解：9、用追趕法解三對(duì)角方程組，其中，。解：追趕法實(shí)際為L(zhǎng)U分解的特殊形式。設(shè)U為、單位上三角矩陣。有（1）計(jì)算的遞推公式（2）解Ly=f（3）解UX=y10、用改進(jìn)的平方根法解方程組。本題明確要求使用平方根法進(jìn)行求解。實(shí)際考查的LDU分解。見P157。11、下列矩陣能否分解為（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一。，，。LU分解存在的條件一個(gè)可逆矩陣可以進(jìn)行LU分解當(dāng)且僅當(dāng)它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩陣（或U矩陣）為單位三角矩陣，那么分解是唯一的。同理可知，矩陣的LDU可分解條件也相同，并且總是唯一的。即使矩陣不可逆，LU仍然可能存在。實(shí)際上，如果一個(gè)秩為k的矩陣的前k個(gè)順序主子式不為零，那么它就可以進(jìn)行LU分解，但反之則不然。解：因?yàn)锳的一、二、三階順序主子式分別為1，0，-10，所以A不能直接分解為三角陣的乘積，但換行后可以。因?yàn)锽的一、二、三階順序主子式分別為1，0，0，所以B不能分解為三角陣的乘積。因?yàn)镃的一、二、三階順序主子式分別為1，5，1，所以C能夠分解為三角陣的乘積，并且分解是唯一的。12、設(shè)，計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。本題考查的是矩陣范數(shù)的定義及求法行范數(shù)0.6+0.5=1.1列范數(shù)0.5+0.3=0.82-范數(shù)的計(jì)算需要用到特征值，特征值的計(jì)算可以使用冪法進(jìn)行計(jì)算，也可以直接求。的最大特征值為0.3690所以2-范數(shù)為0.6074F-范數(shù)0.842613、求證：（a）；（b）。根據(jù)定義求證。。14、設(shè)且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義。試證明是上向量的一種范數(shù)。根據(jù)向量范數(shù)的定義來證明：要求就有正定性，齊次性，三角不等式等性質(zhì)。顯然，、，從而是上向量的一種范數(shù)。15、設(shè)為對(duì)稱正定，定義，試證明是上向量的一種范數(shù)。根據(jù)向量范數(shù)的定義來證明：要求就有正定性，齊次性，三角不等式等性質(zhì)。顯然，16、設(shè)A為非奇異矩陣，求證。因?yàn)椋缘米C17、矩陣第一行乘以一數(shù)，成為，證明當(dāng)時(shí)，有最小值。本題考查條件數(shù)的計(jì)算首先計(jì)算A的逆陣，當(dāng)，取得最小值為2，當(dāng)取值越大，則最小值為2從而，又當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。綜上所述，時(shí)最小，這時(shí)，即。18、設(shè)，計(jì)算A的條件數(shù)由可知，，從而，由，，由，可得，從而。，，從而。19、證明：如果是正交矩陣，則若A是正交陣，則，從而，，故，。20、設(shè)，且為上矩陣的算子范數(shù)，證明：21、設(shè)，其中為非奇異矩陣，證明：（1）為對(duì)稱正定矩陣；（2），所以為對(duì)稱正定矩陣。由于為對(duì)稱正定矩陣，所以則

第7章復(fù)習(xí)與思考題1.什么是方程的有根區(qū)間？它與求根有何關(guān)系？P213，若且，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，這時(shí)稱為的有根區(qū)間。2.什么是二分法？用二分法求的根，要滿足什么條件？P213一般地，對(duì)于函數(shù)如果存在實(shí)數(shù)c,當(dāng)x=c時(shí)，若,那么把x=c叫做函數(shù)的零點(diǎn)。解方程即要求的所有零點(diǎn)。假定在區(qū)間（x，y）上連續(xù)，先找到a、b屬于區(qū)間（x，y），使，說明在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn)，然后求,現(xiàn)在假設(shè)果，該點(diǎn)就是零點(diǎn)，如果,則在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，從①開始繼續(xù)使用中點(diǎn)函數(shù)值判斷。如果，則在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，從①開始繼續(xù)使用中點(diǎn)函數(shù)值判斷。這樣就可以不斷接近零點(diǎn)。通過每次把f(x)的零點(diǎn)所在小區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步迫近函數(shù)的零點(diǎn)，以求得零點(diǎn)的近似值，這種方法叫做二分法。從以上可以看出，每次運(yùn)算后，區(qū)間長(zhǎng)度減少一半，是線形收斂。3.什么是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)？如何確定使它的不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)于的零點(diǎn)P215.將方程改寫成等價(jià)的形式，若要求滿足，則；反之亦然，稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。4.什么是不動(dòng)點(diǎn)迭代法？滿足什么條件才能保證不動(dòng)點(diǎn)存在和不動(dòng)點(diǎn)迭代序列收斂于的不動(dòng)點(diǎn)P215求的零點(diǎn)就等價(jià)于求的不動(dòng)點(diǎn)，選擇一個(gè)初始近似值，將它代入的右端，可求得，如此反復(fù)迭代有，稱為迭代函數(shù)，如果對(duì)任何，由得到的序列有極限，則稱迭代方程收斂，且為的不動(dòng)點(diǎn)，故稱為不動(dòng)點(diǎn)迭代法。5.什么是迭代法的收斂階？如何衡量迭代法收斂的快慢？如何確定的收斂階P219設(shè)迭代過程收斂于的根，如果當(dāng)時(shí)，迭代誤差滿足漸近關(guān)系式則稱該迭代過程是p階收斂的，特別點(diǎn)，當(dāng)p=1時(shí)稱為線性收斂，P>1時(shí)稱為超線性收斂，p=2時(shí)稱為平方收斂。以收斂階的大小衡量收斂速度的快慢。6.什么是求解的牛頓法？它是否總是收斂的？若，是單根，是光滑，證明牛頓法是局部二階收斂的。牛頓法：當(dāng)時(shí)收斂。7.什么是弦截法？試從收斂階及每步迭代計(jì)算量與牛頓法比較其差別。在牛頓法的基礎(chǔ)上使用2點(diǎn)的的斜率代替一點(diǎn)的倒數(shù)求法。就是弦截法。收斂階弦截法1.618小于牛頓法2計(jì)算量弦截法<牛頓法（減少了倒數(shù)的計(jì)算量）8.什么是解方程的拋物線法？在求多項(xiàng)式全部零點(diǎn)中是否優(yōu)于牛頓法？P229設(shè)已知方程的三個(gè)近似根，，以這三點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式p（x），并適當(dāng)選取p2（x）的一個(gè)零點(diǎn)作為新近似根，這樣確定的迭代過程稱為拋物線法。拋物線法的收斂階1.840大于弦截法1.618，小于牛頓法2可用于所想是的實(shí)根和復(fù)根的求解。9.什么是方程的重根？重根對(duì)牛頓法收斂階有何影響？試給出具有二階收斂的計(jì)算重根方法。10.什么是求解n維非線性方程組的牛頓法？它每步迭代要調(diào)用多少次標(biāo)量函數(shù)（計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)與計(jì)算函數(shù)值相當(dāng)）11.判斷下列命題是否正確：（1）非線性方程（或方程組）的解通常不唯一（正確）（2）牛頓法是不動(dòng)點(diǎn)迭代的一個(gè)特例（正確）（3）不動(dòng)點(diǎn)迭代法總是線性收斂的（錯(cuò)誤）（4）任何迭代法的收斂階都不可能高于牛頓法（正確）（5）求多項(xiàng)式的零點(diǎn)問題一定是病態(tài)的問題（錯(cuò)誤）（7）二分法與牛頓法一樣都可推廣到多維方程組求解（錯(cuò)誤）（8）牛頓法有可能不收斂（正確）（9）不動(dòng)點(diǎn)迭代法，其中，若則對(duì)任意處置x0迭代都收斂。（對(duì)）（10）弦截法也是不動(dòng)點(diǎn)迭代法的特例（正確）

習(xí)題1、用二分法求方程的正根，要求誤差。[解]令，則，，所以有根區(qū)間為；又因?yàn)?，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；取，這時(shí)它與精確解的距離。2.為求方程在附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：1），迭代公式；2），迭代公式；3），迭代公式；試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似值。[解]1）設(shè)，則，從而，所以迭代方法局部收斂。2）設(shè)，則，從而，所以迭代方法局部收斂。3）設(shè)，則，從而，所以迭代方法發(fā)散。4）設(shè)，則，從而，所以迭代方法發(fā)散。3.比較求的根到三位小數(shù)所需的計(jì)算量：1）在區(qū)間內(nèi)用二分法；2）用迭代法，取初值。[解]1）使用二分法，令，則，，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；從而，共二分10次。2）使用迭代法，則，，，，即，共迭代4次。4.給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切x，存在且，證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意定數(shù)，迭代過程均收斂于的根。[證明]由可知，令，則，又因?yàn)?，，所以，即，從而迭代格式收斂?.用斯特芬森迭代法計(jì)算第2題中（2）和（3）的近似根，精確到。斯特芬森迭代法是一種加速的方法。是埃特金加速方法與不動(dòng)點(diǎn)迭代結(jié)合。6.設(shè)，試確定函數(shù)和，使求解且以為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂。7.用下列方法求在附近的根。根的準(zhǔn)確值，要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字。（1）牛頓法（2）弦截法，取（3）拋物線法，取[解]1），，，，迭代停止。2），，，，迭代停止。3），其中，，故，，，，，，，，下略。8.分別用二分法和牛頓法求的最小正根。解：0是函數(shù)的一個(gè)根，0～時(shí)，x單調(diào)遞增，tanx單調(diào)遞減，趨于負(fù)無窮。在此區(qū)間內(nèi)，函數(shù)沒有根。所以，最小正根大于.當(dāng)x接近且大于時(shí)，函數(shù)值為正，當(dāng)x接近且大于時(shí)，函數(shù)值為負(fù)。因此，最小正根區(qū)間為（,）,選擇x1=2,函數(shù)值為-0.185<0,選擇x2=4.6，函數(shù)值為4.260>0按二分法計(jì)算，略，。按牛頓迭代法，其迭代公式為，取初始值x=4.6，得9.研究求的牛頓公式，證明對(duì)一切，且序列是遞減的。證：顯然，，又因?yàn)椋?，又，所以序列是遞減的。10.對(duì)于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。證：11.用牛頓法（4.13）和求重根迭代法（4.14）計(jì)算方程的一個(gè)近似根，準(zhǔn)確到，初始值。牛頓法（4.13），m=2。需要計(jì)算到，取。求重根迭代法（4.14）需要計(jì)算到，取。。注：matlab編程計(jì)算得出的結(jié)果。12.