解析幾何中高考熱點(diǎn)問題例析

解析幾何中高考熱點(diǎn)問題例析解析幾何是歷年高考必考內(nèi)容,是一個(gè)熱點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn).由于這道題靈活性大,綜合性強(qiáng),得分率往往偏低,許多考生和老師感到頭疼.本文擬就常見的問題作一歸納解析,以求對(duì)大家有所幫助.一求圓錐曲線的軌跡或軌跡方程例1:設(shè)，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)．（1）當(dāng)，且，時(shí)，求橢圓C的左，右焦點(diǎn)、．Q（x，y）MF1F2Oyx（2）、是（1）中的橢圓的左，右焦點(diǎn)，已知的半徑是1，過動(dòng)點(diǎn)的作切線，使得（是切點(diǎn)），如下圖．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．Q（x，y）MF1F2Oyx解：（1）∵，∴．……2分又∵∴，∴由橢圓定義可知，，…6分從而得，，．∴、．（2）∵F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），由已知：，即，所以有：，設(shè)P（x，y），…9分則即（或）Q（x，y）MFQ（x，y）MF1F2Oyx例2:如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個(gè)焦分別為．過右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與橢圓相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=1．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為B，動(dòng)點(diǎn)P滿足，（）試求點(diǎn)P的軌跡方程，使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓上.解：(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得：，∵，∴，又得∴∴，∴所求橢圓C的方程為．(Ⅱ)由（Ⅰ）知點(diǎn)A(－2,0)，點(diǎn)B為（0，－1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則，,由－4得－，∴點(diǎn)P的軌跡方程為設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對(duì)稱點(diǎn)為，則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，解得：∵點(diǎn)在橢圓上，∴，整理得解得或∴點(diǎn)P的軌跡方程為或，經(jīng)檢驗(yàn)和都符合題設(shè)，∴滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為或．二探究性問題例3已知橢圓的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在直線，使得在橢圓的右準(zhǔn)線上可以找到一點(diǎn)，滿足為正三角形．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，則．……①當(dāng)垂直于軸時(shí)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是和，，則，即．………②由①，②消去，得．或（舍去）．當(dāng)時(shí)，．因此，橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)存在滿足條件的直線．(1)當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由（Ⅰ）的解答可知，焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，此時(shí)不滿足．因此，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)不滿足條件．（2）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．由，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，則，．．又設(shè)的中點(diǎn)為，則．當(dāng)為正三角形時(shí)，直線的斜率為．，．當(dāng)為正三角形時(shí)，，即＝，解得，．因此，滿足條件的直線存在，且直線的方程為或．例4雙曲線M的中心在原點(diǎn)，并以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.（Ⅰ）求雙曲線M的方程；（Ⅱ）設(shè)直線：與雙曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn).①當(dāng)為何值時(shí)，使得?②是否存在這樣的實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.解：（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，又拋物線的準(zhǔn)線為：.設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有，故，又.∴雙曲線M的方程為.（Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)聯(lián)立方程組消去y得，∵、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根，∴∴，從而有，.又，∴.①若，則有，即.∴當(dāng)時(shí)，使得.②若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則必有，因此，當(dāng)m=0時(shí)，不存在滿足條件的k；當(dāng)時(shí)，由得∵A、B中點(diǎn)在直線上，∴代入上式得；又，∴將代入并注意到，得.∴當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.--14分三取值范圍問題例5:已知平面上一定點(diǎn)和一定直線Ｐ為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作垂足為，.(1)問點(diǎn)Ｐ在什么曲線上？并求出該曲線方程；點(diǎn)Ｏ是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)在點(diǎn)Ｐ的軌跡上，若求的取值范圍．解:(1)由,得:,設(shè),則,化簡(jiǎn)得:,點(diǎn)P在橢圓上,其方程為.(2)設(shè)、，由得：，所以，、B、C三點(diǎn)共線.且,得:,即:因?yàn)?所以①又因?yàn)?所以②由①-②得:,化簡(jiǎn)得:,因?yàn)?所以.解得:所以的取值范圍為.例6:已知點(diǎn)（x，y）在橢圓C：（的第一象限上運(yùn)動(dòng)．（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）若把軌跡的方程表達(dá)式記為，且在內(nèi)有最大值，試求橢圓C的離心率的取值范圍．解:（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)（，）是軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，∴∴=，．∵點(diǎn)（x，y）在橢圓C:（的第一象限上運(yùn)動(dòng)，則>0，>0．∴．故所求的軌跡方程是（，）．（Ⅱ）由軌跡方程是（>0，>0），得（x>0）．∴．所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值．如果在開區(qū)間內(nèi)有最大值，只有．此時(shí)，，解得．∴橢圓C的離心率的取值范圍是．四最值問題例7:已知若動(dòng)點(diǎn)P滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)Q是曲線C上任意一點(diǎn)，求Q到直線的距離的最小值.解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則由已知得∴點(diǎn)P的軌跡方程是橢圓C：（2）解一：由幾何意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值。設(shè)代入橢圓方程消去x化簡(jiǎn)得：解二：由集合意義知，橢圓C與平行的切線其中一條l‘和l的距離等于Q與l的距離的最小值。設(shè)切點(diǎn)為解得解三：由橢圓參數(shù)方程設(shè)）則Q與l距離解四：設(shè)且Q與l距離由柯西不等式例8:如圖，線段AB過y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的差為。(Ⅰ)若AB所在的直線的斜率為，求以y軸為對(duì)稱軸，且過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的方程；(Ⅱ)設(shè)(Ⅰ)中所確定的拋物線為C,點(diǎn)M是C的焦點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為60°，又點(diǎn)P在拋物線C上由A到B運(yùn)動(dòng)，試求△PAB面積的最大值。(Ⅰ)解：依題意設(shè)所求的拋物線方程為∵直線AB的斜率為且過點(diǎn)∴直線AB的方程為由得----------①設(shè)（）則是方程①的兩個(gè)實(shí)根∴，若則，∴若則∴與矛盾∴該拋物線的方程為．-------7分(Ⅱ)解法1：拋物線的焦點(diǎn)為（）即M點(diǎn)坐標(biāo)為（）直線AB的斜率∴直線AB的方程為，解方程組得即點(diǎn)A，B∴設(shè)點(diǎn)P(m，n)，依題意知，且則點(diǎn)P到直線AB的距離＝＝當(dāng)時(shí)，，這時(shí)。[解法2：拋物線的焦點(diǎn)為（）即M點(diǎn)坐標(biāo)為（）直線AB的斜率∴直線AB的方程為，由得，，以下同上。]五定值問題例9:已知橢圓C的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M．若，，求證：為定值．.解：(1).設(shè)橢圓的方程為,則由題意得.,即,所以.故橢圓的方程為.(2).設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.易知點(diǎn)的坐標(biāo)為.,則將點(diǎn)的坐標(biāo)代入到橢圓方程中,得化簡(jiǎn)得.同理,由得,所以,是方程的兩個(gè)根,例10:在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．（I）若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，求△ANB面積的最小值；（II）是否存在垂直于y軸的直線，使得被以AC為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程;若不存在，說明理由．解:（I）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．NOACByNOACByx于是．， 當(dāng)，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，設(shè)的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，NOANOACByxl，．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．六定點(diǎn)問題例11:已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中。（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn),直線OA和OB的傾斜角分別為和,當(dāng)、變化且時(shí),證明直線AB恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解:(Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心為則，化簡(jiǎn)，得：∴所求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程是：⑵設(shè)，由題意得（否則），且，所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，把代入：得，由韋達(dá)定理知，①由得：把①代入上式，整理化簡(jiǎn)，得：此時(shí)，直線AB的方程可表示為：，即直線AB恒過定點(diǎn).