金融工程-習(xí)題-第二部分-答案

《金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理》習(xí)題第二部分假設(shè)某不付紅利股票價格遵循幾何布朗運(yùn)動，其預(yù)期年收益率16%，年波動率30%，該股票當(dāng)天收盤價為50元，求：第二天收盤時的預(yù)期價格，第二天收盤時股價的標(biāo)準(zhǔn)差，在量信度為95%情況下，該股票第二天收盤時的價格范圍。由于在本題中，S＝50，＝0.16,=0.30,t=1/365=0.00274.因此，S/50(0.160.00274,0.30.002740.5)=(0.0004,0.0157)S(0.022,0.785)因此，第二天預(yù)期股價為50.022元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.785元，在95％的置信水平上第2天股價會落在50.022-1.960.785至50.022+1.960.785,即48.48元至51.56元之間。2.變量X1和X2遵循普通布朗運(yùn)動，漂移率分別為1和2，方差率分別為12和22。請問在下列兩種情況下，X1+X2分別遵循什么樣的過程？（1）在任何短時間間隔中X1和X2的變動都不相關(guān)；（2）在任何短時間間隔中X1和X2變動的相關(guān)系數(shù)為。（1）假設(shè)X1和X2的初始值分別為a1和a2。經(jīng)過一段時間T后，X1的概率分布為：X2的概率分布為：根據(jù)獨(dú)立的正態(tài)分布變量之和的性質(zhì)，可求X1和X2的概率分布為：這表明，X1和X2遵循漂移率為，方差率為的普通布朗運(yùn)動。（2）在這種情況下，X1和X2在短時間間隔Δt之內(nèi)的變化的概率分布為：如果都是常數(shù)，則X1和X2在較長時間間隔T之內(nèi)的變化的概率分布為：這表明，X1和X2遵循漂移率為，方差率為+的普通布朗運(yùn)動。3．假設(shè)某種不支付紅利股票的市價為50元，風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，該股票的年波動率為30%，求該股票協(xié)議價格為50元、期限3個月的歐式看跌期權(quán)價格。在本題中，S＝50，X＝50，r=0.1,σ=0.3,T=0.25,因此，這樣，歐式看跌期權(quán)價格為，4．請證明布萊克－舒爾斯看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價公式符合看漲期權(quán)和看跌期權(quán)平價公式。根據(jù)布萊克－舒爾斯看跌期權(quán)定價公式有：由于N（-d1）=1-N(d1),上式變?yōu)椋和瑯?，根?jù)布萊克－舒爾斯看漲期權(quán)定價公式有：可見，，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)平價公式成立。5．某股票市價為70元，年波動率為32%，該股票預(yù)計(jì)3個月和6個月后將分別支付1元股息，市場無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%。現(xiàn)考慮該股票的美式看漲期權(quán)，其協(xié)議價格為65元，有效期8個月。請證明在上述兩個除息日提前執(zhí)行該期權(quán)都不是最優(yōu)的，并請計(jì)算該期權(quán)價格。D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65可見，顯然，該美式期權(quán)是不應(yīng)提早執(zhí)行的。紅利的現(xiàn)值為：該期權(quán)可以用歐式期權(quán)定價公式定價：S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32N(d1)=0.7131,N(d2)=0.6184因此，看漲期權(quán)價格為：6．某股票目前價格為40元，假設(shè)該股票1個月后的價格要么為42元、要么38元。連續(xù)復(fù)利無風(fēng)險(xiǎn)年利率為8%。請問1個月期的協(xié)議價格等于39元?dú)W式看漲期權(quán)價格等于多少？構(gòu)造一個組合，由一份該看漲期權(quán)空頭和Δ股股票構(gòu)成。如果股票價格升到42元，該組合價值就是42Δ-3。如果股票價格跌到38Δ元，該組合價值就等于38Δ。令：42Δ-3=38Δ得：Δ=0.75元。也就是說，如果該組合中股票得股數(shù)等于0.75，則無論1個月后股票價格是升到42元還是跌到38元，該組合的價值到時都等于28.5元。因此，該組合的現(xiàn)值應(yīng)該等于：28.5e-0.08×0.08333=28.31元。這意味著：-c+40Δ=28.31c=40×0.75-28.31=1.69元。如何理解二叉樹數(shù)值定價方法？二叉樹圖模型的基本出發(fā)點(diǎn)在于：假設(shè)資產(chǎn)價格的運(yùn)動是由大量的小幅度二值運(yùn)動構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運(yùn)動可能遵循的路徑。同時運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價原理獲得每個結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價值，從而為期權(quán)定價。其中，模型中的隱含概率是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率。當(dāng)二叉樹模型相繼兩步之間的時間長度趨于零的時候，該模型將會收斂到連續(xù)的對數(shù)正態(tài)分布模型，即布萊克－舒爾斯定價偏微分方程。一個無紅利股票的美式看跌期權(quán)，有效期為3個月，目前股票價格和執(zhí)行價格均為50美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年10％，波動率為每年30％，請按時間間隔為一個月來構(gòu)造二叉樹模型，為期權(quán)定價。并應(yīng)用控制方差技術(shù)對這一估計(jì)進(jìn)行修正。△tudp1-p看跌期權(quán)0.08331.09050.91700.52660.47342.71運(yùn)用二叉樹方法得到歐式看跌期權(quán)為2.62美元，由布萊克——舒爾斯公式計(jì)算可得，因此美式看跌期權(quán)的更優(yōu)估計(jì)值為美元。Ateachnode:Uppervalue=UnderlyingAssetPriceLowervalue=OptionPriceValuesinredarearesultofearlyexercise.Strikeprice=50Discountfactorperstep=0.9917Timestep,dt=0.0833years,30.42daysGrowthfactorperstep,a=1.0084Probabilityofupmove,p=0.5266Upstepsize,u=1.090564.83403Downstepsize,d=0.9170059.4555054.5231654.523160.914154050502.7072991.94726645.8520845.852084.7499414.14792442.048267.95174338.5611.44NodeTime:0.00000.08330.16670.2500一個兩個月期基于某股票指數(shù)的美式看漲期權(quán)，執(zhí)行價格為500，目前指數(shù)為495，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10％，指數(shù)紅利率為每年4％，波動率為每年25％。構(gòu)造一個四步（每步為半個月）的二叉樹圖，為期權(quán)定價。△tudp1-p期權(quán)價格0.04171.05240.95020.51180.488219.66Ateachnode:Uppervalue=UnderlyingAssetPriceLowervalue=OptionPriceValuesinredarearesultofearlyexercise.Strikeprice=500Discountfactorperstep=0.9958Timestep,dt=0.0417years,15.21daysGrowthfactorperstep,a=1.0025607.0929Probabilityofupmove,p=0.5118107.0929Upstepsize,u=1.0524576.8896Downstepsize,d=0.950278.00789548.1888548.188851.6959548.18884520.916520.91632.4312324.5585849549549519.6292712.515840470.3733470.37336.3784710446.9719446.971900424.73470403.60380NodeTime:0.00000.04170.08330.12500.1667如何理解蒙特卡羅模擬方法？其主要優(yōu)缺點(diǎn)是什么？蒙特卡羅方法的實(shí)質(zhì)是模擬標(biāo)的資產(chǎn)價格的隨機(jī)運(yùn)動，預(yù)測期權(quán)的平均回報(bào)，并由此得到期權(quán)價格的一個概率解。蒙特卡羅模擬的主要優(yōu)點(diǎn)包括：易于應(yīng)用；適用廣泛，尤其適用于復(fù)雜隨機(jī)過程和復(fù)雜終值的計(jì)算，如路徑依賴期權(quán)，多個標(biāo)的變量的期權(quán)等。同時，在運(yùn)算過程中蒙特卡羅模擬還能給出估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差。蒙特卡羅模擬的缺點(diǎn)主要是：只能為歐式期權(quán)定價，難以處理提前執(zhí)行的情形；為了達(dá)到一定的精確度，一般需要大量的模擬運(yùn)算。有限差分方法的主要特點(diǎn)是什么？有限差分方法和樹圖方法是相當(dāng)類似的。實(shí)際上很多人認(rèn)為樹圖方法就是解出一個偏微分方程的一種數(shù)值方法，而有限差分方法其實(shí)是這個概念的一個擴(kuò)展和一般化。這兩種方法都用離散的模型模擬資產(chǎn)價格的連續(xù)運(yùn)動，主要差異在于樹圖方法中包含了資產(chǎn)價格的擴(kuò)散和波動率情形，而有限差分方法中的格點(diǎn)則是固定均勻的，相應(yīng)地參數(shù)進(jìn)行了相應(yīng)的變化，以反映改變了的擴(kuò)散情形。其中三叉樹方法和顯性有限差分法就非常類似。12、一個無紅利股票的美式看漲期權(quán)還有四個月到期，執(zhí)行價為21美元，股票現(xiàn)價為20美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為10％，波動率為30％。運(yùn)用顯性有限差分法為該期權(quán)定價。股票價格區(qū)間為4美元，時間區(qū)間為1個月。根據(jù)題意，，，股票價格（美元）43到期時間210400.000.000.000.000.00360.000.000.000.000.00320.010.000.000.000.00280.070.040.020.000.00240.380.300.210.110.00201.561.441.311.171.00165.005.005.005.005.00129.009.009.009.009.00813.0013.0013.0013.0013.00417.0017.0017.0017.0017.00021.0021.0021.0021.0021.0013、某種不支付股息股票價格的年波動率為25%，市場無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，請計(jì)算該股票6個月期處于平價狀態(tài)的歐式看漲期權(quán)的Delta值。在本題中，S=X,r=0.1,σ=0.25,T-t=0.5,因此，N(d1)=0.64。該期權(quán)的Delta值為0.64。14、某金融機(jī)構(gòu)剛出售一些七個月期的日元?dú)W式看漲期權(quán)，假設(shè)現(xiàn)在日元的匯率為1日元=0.80美分，期權(quán)的協(xié)議價格為0.81美分，美國和日本的無風(fēng)險(xiǎn)利率分別為8%和5%，日元的年波動率為15%，請計(jì)算該期權(quán)的Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho值，并解釋其含義。在本題中，S=0.80,X=0.81,r=0.08,rf=0.05,T-t=0.5833一份看漲期權(quán)的Delta值為：由于因此，一份看漲期權(quán)的Gamma值為：一份看漲期權(quán)的Vega值為：一份看漲期權(quán)的Theta值為：一份看漲期權(quán)的Rho值為：15、某金融機(jī)構(gòu)擁有如下柜臺交易的英鎊期權(quán)組合：種類頭寸期權(quán)的Delta期權(quán)的Gamma期權(quán)的Vega看漲―10000.502.21.8看漲―5000.800.60.2看跌―2000―0.401.30.7看漲―5000.701.81.4現(xiàn)有一種可交易期權(quán),其Delta值為0.6，Gamma值為1.5，Vega值為0.8，請問：為使該組合處于Gamma和Delta中性狀態(tài)，需要多少該可交易期權(quán)和英鎊頭寸？為使該組合處于Vega和Delta中性狀態(tài)，需要多少該可交易期權(quán)和英鎊頭寸？該組合的Delta值為：-1000×0.50-500×0.80-2000×（-0.40）-500×0.70=-450該組合的Gamma值為：-1000×2.2-500×0.6-2000×1.3-500×1.8=-6000該組合的Vega值為：-1000×1.8-500×0.2-2000×0.7-500×1.4=-4000（1）買進(jìn)4000份該可交易期權(quán)就可得到Gamma中性組合，因?yàn)?000份該期權(quán)多頭的Gamma值為4000×1.5=6000。買進(jìn)期權(quán)后，整個組合的Delta值變?yōu)椋?000×0.6-450=1950。為了使新組合同時處于Gamma和Delta中性，還得賣出1950英鎊。（2）買進(jìn)5000份該可交易期權(quán)就可得到Vega中性組合，因?yàn)?000份該期權(quán)多頭的Vega值為5000×0.8=4000。買進(jìn)期權(quán)后，整個組合的Delta值變?yōu)椋?000×0.6-450=2550。為了使新組合同時處于Gamma和Delta中性，還得賣出2550英鎊。16、在上例中，假設(shè)有第二種可交易期權(quán)，其Delta值為0.1，Gamma值為0.5，Vega值為0.6，請問應(yīng)如何使該組合處于Delta、Gamma和Vega中性狀態(tài)？令w1為第1種可交易期權(quán)的頭寸，w2為第2種可交易期權(quán)的頭寸，為了使該組合處于Gamma和Vega中性狀態(tài)，w1和w2必須同時滿足如下條件：6000=1.5w1+0.5w24000=0.8w1+0.6w2解得：w1=3200,w2=2400。此時整個組合的Delta值為：-450+3200×0.6+2400×0.1=1710因此，只要買進(jìn)3200份第1種期權(quán)，2400份第2種期權(quán)，同時賣出1710英鎊就可以使新組合同時處于Delta、Gamma和Vega中性狀態(tài)。17、某市場變量的年波動率為20％，計(jì)算此變量相應(yīng)的日變化率。由于該市場變量的年波動率為：，因此其日波動率是：18、某項(xiàng)資產(chǎn)的年波動率為35％，該資產(chǎn)目前的市場價值40萬美元，計(jì)算該資產(chǎn)99％置信度一星期時間的VaR美元值。根據(jù)波動率的關(guān)系