概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習提綱

第一章隨機事件及其概率一、隨機事件及其運算樣本空間、隨機事件樣本點：隨機試驗的每一個可能結(jié)果，用①表示；樣本空間：樣本點的全集，用0表示；注：樣本空間不唯一.隨機事件：樣本點的某個集合或樣本空間的某個子集，用A,B,C,…表示；必然事件就等于樣本空間；不可能事件(0)是不包含任何樣本點的空集；根本領(lǐng)件就是僅包含單個樣本點的子集。事件的四種關(guān)系包含關(guān)系：AuB，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生；等價關(guān)系：A=B，事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，且事件B發(fā)生必有事件A發(fā)生；互不相容〔互斥〕AB=0，事件A與事件B—定不會同時發(fā)生。\AuA=0對立關(guān)系〔互逆〕A，事件A發(fā)生事件A必不發(fā)生，反之也成立；互逆滿足］AA=0注：互不相容和對立的關(guān)系〔對立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對立事件。事件的三大運算事件的并：AuB，事件A與事件B至少有一個發(fā)生。假設(shè)AB=0，那么AuB=A+B；事件的交：AcB或AB，事件A與事件B都發(fā)生；事件的差：A-B，事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生。事件的運算規(guī)律交換律：AuB=BuA,AB=BA結(jié)合律：(AuB)uC=Au(BuC),(AcB)cC=Ac(BcC)分配律：Au(BcC)=(AuB)c(AuC),Ac(BuC)=(AcB)u(AcC)④德摩根〔DeMorgan)定律:A④德摩根〔DeMorgan)定律:AuB=AB,AB=AuB對于n個事件，有旦i=1nA=uA.i=1.=1二、隨機事件的概率定義和性質(zhì)1?公理化定義：設(shè)試驗的樣本空間為0，對于任一隨機事件A(Au0),都有確定的實值P(A),滿足以下性質(zhì)：非負性：P(A)>0;(2)標準性：P(0)=1;(3)有限可加性(概率加法公式)：對于k個互不相容事件片,A2,Ak，有P(HA)=Hp(a).i=1i=1那么稱P(A)為隨機事件A的概率.2．概率的性質(zhì)P(0)=1,P(0)=0P(A)=1-P(A)假設(shè)AuB，那么P(A)<P(B),且P(B-A)二P(B)-P(A)P(AuB)二P(A)+P(B)-P(AB)P(AuBuC)二P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的.如假設(shè)P(A)<P(B),那么AuB。〔x〕假設(shè)P(A)=0,那么A=e?！瞲〕三、古典概型的概率計算古典概型：假設(shè)隨機試驗滿足兩個條件：①只有有限個樣本點,k②每個樣本點發(fā)生的概率相同，那么稱該概率模型為古典概型P(A)=。n典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中隨機抽取n件樣品，那么在放回抽樣的方式下，取出的n件樣品中恰好有m件次品〔不妨設(shè)事件A丿的概率為CmMm(N-M)n-mP(A)=n.1Nn在不放回抽樣的方式下，取出的n件樣品中恰好有m件次品〔不妨設(shè)事件A?〕的概率為CmAmAn一mCm.Cn—mP(A)=n'“MN-M=—MNM2AnCnNN四、條件概率及其三大公式1?條件概率：P(B1A)=鬻,P(A1B)=鵲P(AB)=P(A)P(BIA)=P(B)P(AIB)2乘法公式：P(AAA)=P(A)P(AIA)P(AIAA)???P(AIAA)TOC\o"1-5"\h\z12n121312n1n-13.全概率公式：假設(shè)B,B，…,B滿足口B=0,BB=0,i主j，那么P(A)=2P(B)P(AIB)。i=112niiji=1則P(則P(BIA)=P(B)P(A1B)12P(B)P(AIB)iii=14.貝葉斯公式：假設(shè)事件B,B，…,B和A如全概率公式所述，且P(A)>0,12n五、事件的獨立1.定義：若P(AB)=P(A)P(B),則稱A,B獨立.推廣：假設(shè)A，A，…,A相互獨立，P(AA)=P(A”?P(A)12n1n1n2.在{A,b},(A,b},{a,b},!a,B}四對事件中，只要有一對獨立，那么其余三對也獨立。P(AB)=P(A)P(B)3.三個事件A,B,C兩兩獨立：P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)注：n個事件的兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別?！蚕嗷オ毩⒍蓛瑟毩?，反之不成立。。4?伯努利概型:P(k)=Ckpkqn—k,k=0,1,2,…,n,q=1-p.TOC\o"1-5"\h\znn1?事件的對立與互不相容是等價的?！瞂〕假設(shè)P(A)=0,那么A=0?！瞂〕若P(A)=0.1,P(B)=0.5,貝IJP(AB)=0.05。(X)—4.A,B,C三個事件恰有一個發(fā)生可表示為ABC+ABC+ABC。(V)n個事件假設(shè)滿足Vi,jP(AA)=P(A)P(A)，那么n個事件相互獨立。(X)ijij當AuB時，有P(B-A)二P(B)-P(A)。〔V〕第二章隨機變量及其分布一、隨機變量的定義：設(shè)樣本空間為0，變量x=x0)為定義在0上的單值實值函數(shù)，那么稱X為隨機變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、分布函數(shù)及其性質(zhì)定義：設(shè)隨機變量X，對于任意實數(shù)xeR，函數(shù)F(x)=P{X<x}稱為隨機變量X的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。注：當x<x時，P(x<X<x)=F(x)-F(x)121221X是離散隨機變量，并有概率函數(shù)p(x.),i=1,2,…，那么有F(x)=工p(x.).xi<xX連續(xù)隨機變量，并有概率密度f(x)，那么F(x)=P(X<x)=Jxf(t)dt?—g分布函數(shù)性質(zhì)：〔1F(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即對于任意xi<x2，有F(xi)<F(x2);;1212〔20<F(x)<1;且F(—g)=limF(x)=0，F(xiàn)(+g)=limF(x)=1;xT—gxT+g〔3離散隨機變量X，F(xiàn)(x)是右連續(xù)函數(shù)，即F(x)=F(x+0);連續(xù)隨機變量X，F(xiàn)(x)在〔-^，+-)上處處連續(xù)。注：一個函數(shù)假設(shè)滿足上述3個條件，那么它必是某個隨機變量的分布函數(shù)。三、離散隨機變量及其分布定義.設(shè)隨機變量X只能取得有限個數(shù)值x,x,…,x，或可列無窮多個數(shù)值x,x,…,x,…，且12n12nP(X=x)=p(i=1,2,…)，那么稱X為離散隨機變量，p.(i=1,2,…)為X的概率分布，或概率函數(shù)(分布iii律).注：概率函數(shù)P.的性質(zhì)：⑴p.>0,i=1,2,…；(2)工p.=1i幾種常見的離散隨機變量的分布：Ck.Cn-k〔1〕超幾何分布，X~H(N,M,n)，P{X=k}=—mn-mk=0,1,2,…,nCnN

⑵二項分布，X~B(n.,p),P(X=k)=Ckpk(1一p)n-kk=0,1,…,nn當n=1時稱X服從參數(shù)為p的兩點分布〔或0—1分布〕。假設(shè)尊心1，2，…,n)服從同一兩點分布且獨立，那么X仝Xi服從二項分布。i=1尢ke—九*⑶泊松(Poisson)分布,X?P(九),P{X=k}=(九〉0),k=0,1,2,...k!四、連續(xù)隨機變量及其分布1?定義?假設(shè)隨機變量X的取值范圍是某個實數(shù)區(qū)間I,且存在非負函數(shù)f(x)，使得對于任意區(qū)間(a,b]uI,有P(a<X<b)=fbf(x)dx,那么稱X為連續(xù)隨機變量；函數(shù)f(x)稱為連續(xù)隨機變量X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。a注1：連續(xù)隨機變量x任取某一確定值的x0概率等于0,即P(X=x0)=0;注2：P(x注2：P(x1<X<x2)=P(x1<X<x2)=P(x1<X<x2)=P(x112121212?概率密度f(x)的性質(zhì)：性質(zhì)1：f(x)>0;性質(zhì)2：<X<X2)Jx1J*"f(x)dx=1.f(x)dx注1：一個函數(shù)假設(shè)滿足上述2個條件,那么它必是某個隨機變量的概率密度函數(shù)。注2：當X注2：當X1<x2時,P(x1<X<x2)=F(x2)—F(x1)=J2f(x)dx且在f(x)的連續(xù)點x處，有F(X)=f(x).幾種常見的連續(xù)隨機變量的分布：(1)均勻分布X?U(a,b),(1)均勻分布X?U(a,b),1f(x)=<b—a0a<x<b其它F(x)=〔0,x—ab—a1,x<a;a<x<b;x>b.⑵指數(shù)分布X?巡),“0f(X)={0e:X<01—e一gx>0,0,x<0.(t-H)22G2dt(t-H)22G2dt,—8<x<+8⑶正態(tài)分布X?N(PQ2),b>0f(x)=e2o2,2冗G概率函數(shù)與密度函數(shù)是同一個概念?！瞂〕當N充分大時，超幾何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.設(shè)X是隨機變量，有P(a<X<b)=P(a<X<b)。(X)兀4?假設(shè)X的密度函數(shù)為f(x)=cosx,xe[0，T，那么P(0<X<兀)=Lcostdt.(X)20第三章隨機變量的數(shù)字特征一、期望〔或均值〕藝xp,離散型定義：EX,EX=<k=1i+xxf(x)dx,連續(xù)型—g⑴E(C)=C,(C為常數(shù))(2)E(CX)=CE(X)期望的性質(zhì):(3)e(x+Y)二E(X)土E(Y)(4)若X與Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y),反之結(jié)論不成立.為g(x)p,X離散型3?隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望E[g(x)]=]k=1kk「gg(x)f(x)dx,X連續(xù)型-g計算數(shù)學(xué)期望的方法(1)利用數(shù)學(xué)期望的定義；(2)利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；常見的根本方法：將一個比擬復(fù)雜的隨機變量X拆成有限多個比擬簡單的隨機變量Xj之和,再利用期望性質(zhì)求得X的期望.利用常見分布的期望；1.方差D(X)=E[X—E(X)]2=工[x—E(X)]2p,,離散型f+g1.方差D(X)=E[X—E(X)]2=注：D(X)=E[X-E(X)]2^0；它反映了隨機變量X取值分散的程度，如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。方差的性質(zhì)⑴D(C)=0,(C為常數(shù))D(CX)=C2D(X)若X與Y相互獨立，貝則D(X土Y)=D(X)+D(Y)⑷對于任意實數(shù)CWR,有E(X-C)2$D(X)當且僅當C=E(X)時，E(X-C)2取得最小值D(X)?(5)(切比雪夫不等式)：設(shè)X的數(shù)學(xué)期望E(X)與方差D(X)存在，對于任意的正數(shù)￡，有P(]X-E(X)\>打<?或P(IX-E(X)\<￡)>1-.￡2￡2計算(1)利用方差定義；(2)常用計算公式D(X)=E(X2)—[E(X)卩.(3)方差的性質(zhì)；(4)常見分布的方差.注：常見分布的期望與方差假設(shè)X?B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=npq；2.假設(shè)X?P(心,則E(X)=D(X)=入；113.假設(shè)X?U(a,b),那么E(X)=a±b,D(X)=；4.假設(shè)X?e(k),貝l」E(X)=-,D(X)=；212--25.假設(shè)X?N(2),則E(X)=比D(X)=G2.三、原點矩與中心矩

〔總體〕X的k階原點矩：v(X)=E(Xk)〔總體〕X的k階中心矩：u(X)=E[X-E(X)]kkk只要是隨機變量，都能計算期望和方差。(X)期望反映的是隨機變量取值的中心位置，方差反映的是隨機變量取值的分散程度。3)方差越小，隨機變量取值越分散，方差越大越集中。(X)方差的實質(zhì)是隨機變量函數(shù)的期望。(J)對于任意的X,Y,都有D(X-Y)=DX+DY成立。(X)第四章正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義正態(tài)分布1-(x-H)21「—(t^2⑴X~N(HQ2)概率密度為f(x)=e2”，一8<X<+8,其分布函數(shù)為F(x)=Ixe2心dt2兀g<2kq一8注：F(H1-正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性⑵當X=“時，f(x)取得最大值L；2冗g⑶當⑵當X=“時，f(x)取得最大值L；2冗g⑶當xT±8時，f(x)T0,以x軸為漸近線;(4)1\：2冗g+8e—8(x-H)22g2dx=1nI+8e(x-H)22g2—8⑸當固定e改變“的大小時，f(x)的圖形不變，只是沿著y軸作平移變化.(6)當固定“，改變/的大小時，f(x)對稱軸不變而形狀在改變,/越小，圖形越高越瘦；"越大，圖形越矮越胖.標準正態(tài)分布當h=0,g=1時,X?N(0,1),其密度函數(shù)為9(當h=0,g=1時,X?N(0,1),其密度函數(shù)為9(x)=xl1-8<x<+8.且其分布函數(shù)為◎(x)=J"e-2dt.X2兀-80(x)的性質(zhì)(1)0(0)(2)①(+8)=J+8=e8卞2兀x22dx=1nJ+8e-82dx=、：2兀⑶0(—x)=1-0(x).正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系定理：假設(shè)X?N(H,g2),那么Y=蘭二上?N(0,1).g定理：設(shè)X?N(H,g2),那么P(x<X<x)=O(x2-H)-0(仔二).12gg二、正態(tài)分布的數(shù)字特征1f(x-H)2設(shè)X?N(H,G2),那么1.期望E(X)=HE(X)=J2冗g-8

1r丄_(xT」J2方差D(X)=q2D(X)=—Js(x_p)2e_2小dx=a22冗G_8標準差g(X)=o三、正態(tài)分布的性質(zhì)線性性.設(shè)X?N(P,g2),那么Y=a丄bX?N(a+bp,b2g2),(b豐0)；可加性.設(shè)X?N(p,g2),Y?N(p,g2),且X和Y相互獨立，那么Z=X丄Y?N(p+p,g2+c2)；xxyyxyxy線性組合性設(shè)X?N(p,G2),i二1,2,…,n，且相互獨立，那么工c.X.?N(工c.p.,工c2g2).TOC\o"1-5"\h\ziiiiiiiiii=1i=1i=1四、中心極限定理獨立同分布的中心極限定理設(shè)隨機變量X,X，…,X，…相互獨立，服從相同的分布，且E(X)=p,D(X)=g2,i=1,2,…,n,…12nii那么對于任何實數(shù)x,那么對于任何實數(shù)x,有l(wèi)imPns藝X_npi4=1_=vlnff1f_4t_mi=.Jxe2g2dt2兀G定理解釋：假設(shè)X,X，…,X滿足上述條件，當n充分大時，有12nEX-nEX-npi⑴Y*=1?AN(0,1)；nyjnff(2)Y*=EnX?AN(np,nG2)；ni=11g2⑶1g2⑶X=—EX?AN(p,)nini=12.棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理/Y_np設(shè)Y?B(n,p),那么limP,nWp(i-p)ns1f_u_miJxe2g2dt_sv/2kg定理解釋：假設(shè)Y?B(n,p),當n充分大時，有n⑴n=?AN(0,1)；⑵Y?AN(np,np(1_p))<'np(1_p)n1?假設(shè)X?N(0,1),Y?N(2,1),那么X_Y?N(_2,2).〔x〕X_p12.假設(shè)X?N(p,g2),那么P(<0)=才.〔V〕G2

3.設(shè)隨機變量X與Y均服從正態(tài)分布：X~N(卩,42),Y~N(卩,52)而p=P(X<^-4);p=P(Y>^+5),貝9(B).12A.對任何實數(shù)卩，都有p<p；B.對任何實數(shù)卩，都有p二p1212C.只對卩的個別值，才有p=p；D.對任何實數(shù)卩，都有p>p.12124?連續(xù)隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=亠e-x乙2x-i那么X的數(shù)學(xué)期望為_1____;X的方差為__1/2____.兀第五章數(shù)理統(tǒng)計的根本知識一、總體個體樣本1?總體：把研究對象的全體稱為總體(或母體)?它是一個隨機變量，記X.個體：總體中每個研究對象稱為個體.即每一個可能的觀察值.樣本：從總體X中，隨機地抽取n個個體X,X，…,X,稱為總體X的容量為n的樣本。12n注：(1)樣本(X,X，…,X)是一個n維的隨機變量；(2)本書中提到的樣本都是指簡單隨機樣本，其滿足2個特性:12n①代表性：X,X，…,X中每一個與總體x有相同的分布.②獨立性：X,X,…,X是相互獨立的隨機變量.12n12n4?樣本(X’,Xo，…,X)的聯(lián)合分布12n設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x),那么樣本(X’,X。，…,X)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,，…,x)=HF(x.);12n12nii=1(1)設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x),那么樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x,X，…,x)=Hf(x);12nii=1(2)設(shè)總體X的概率函數(shù)為p(x),(x=0,1,2,...),那么樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為p(xi,x2,…,x”)=Hp(x.);i=1二、統(tǒng)計量定義不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)g(X嚴2，…,Xn)稱為統(tǒng)計量，g(xi,x2,…,xn)是g(X],X2，…,Xn)的觀測值.注：〔1〕統(tǒng)計量g(X,X，…,X)是隨機變量；〔2〕統(tǒng)計量g(X,X，…,X)不含總體分布中任何未知參數(shù);12n12n〔3〕統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.常用統(tǒng)計量〔1〕樣本矩：①樣本均值X=丄￡X；i其觀測值ni=1-1￡〔1〕樣本矩：①樣本均值X=丄￡X；i其觀測值ni=1-1￡x=ni=1x.i可用于推斷：總體均值E(X).②樣本方差S2=￡(Xn—1i=1占(￡X2—nX2)；i=1其觀測值s2=—-—￡(x.—x)2n—1i=1n-1—nx2丿可用于推斷：總體方差D(X).(X.—X)2③樣本標準差S(X.—X)2i=1.ni=1r、中—r、中—乙x2-nx2

i=1丿其觀測值1另kv=xkknii=1iy-u=(x.-x)kknii=1其觀測值s川=:古y(xi-x)2=:i=1④樣本汀介原點矩vk=nyxik,(k=口…)i=1⑤樣本k階中心矩U=丄(X-X)k,(k=1,2,…)其觀測值knii=1注：比擬樣本矩與總體矩，如樣本均值X和總體均值E(X)；樣本方差S2與總體方差D(X)；1n樣本k階原點矩VXk,(k二1,2,…)與總體k階原點矩E(Xk),(k=1,2,…)；樣本k階中心矩knii=11._U=-y(X-X)k,(k=1,2,…)與總體k階原點矩E[X-E(X)]k,(k=1,2,…).前者是隨機變量,后者是常數(shù).knii=1(2)樣本矩的性質(zhì):設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為EX=卩,DX=◎2，X,S2為樣本均值、樣本方差，那么3oE(S2)=b2.1oE(X)=P3oE(S2)=b2.n抽樣分布：統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.3大抽樣分布1.X2分布：定義.設(shè)X,X，…,X相互獨立，且X?N(0,1),i=1,2,…,k，那么X2=X2+X2+…+X2~X2(k)12ki12k注：假設(shè)X?N(0,1),那么X2-咒2(1).〔2〕性質(zhì)〔可加性〕設(shè)咒12和吆2相互獨立，且X12~X2(k1),X廠X2(k2)，那么X+X2?X2(k1+k2).t分布：設(shè)X與Y相互獨立，且X?N(0,1),Y?X2(k),那么t=」?t(k).y>Y/k注：t分布的密度圖像關(guān)于t=0對稱；當n充分大時，t分布趨向于標準正態(tài)分布N(0,1).F分布：定義.設(shè)X與Y相互獨立，且X?X2(k),Y?X2(心),那么F=X/k1?F(k,k).TOC\o"1-5"\h\z12Y/k122⑵性質(zhì).設(shè)X?F(氣也),那么1/X?F陶占).四、分位點定義：對于總體X和給定的a(0<a<1),假設(shè)存在x，使得P(X>x)=a那么稱x為X分布的a分位點。aOta注：常見分布的分位點表示方法〔1〕X2(k)分布的a分位點X2(k);〔2〕t(k)分布的a分位點t(k),其性質(zhì)：t(k)=-t(k);11〔3〕F(k,k),分布的a分位點F(k,k),其性質(zhì)F(k,k)=；12121-12F(k,k)21⑷N(O,1)分布的a分位點u,有P(X>u)=1—p(X<u)=1—①(u),aaaa第六章參數(shù)估計―、點估計:設(shè)(X,X，…,X)為來自總體X的樣本，0為X中的未知參數(shù)，(x,x，…,x)為樣本值，構(gòu)造某個統(tǒng)計12n12n量0(X,X，…,X)作為參數(shù)0的估計，那么稱0(X,X，…,X)為0的點估計量，0(x,x,…,x)為0的估計值.12n12n12n常用點估計的方法：矩估計法和最大似然估計法.二、矩估計法根本思想:用樣本矩〔原點矩或中心矩〕代替相應(yīng)的總體矩.求總體X的分布中包含的m個未知參數(shù)0,0,..?,0的矩估計步驟：12m①求出總體矩，即E(Xk)或￡區(qū)—E(X)]k,k=1,2,…：②用樣本矩代替總體矩，列出矩估計方程：TOC\o"1-5"\h\ziyiyXk=E(Xk)或(X.—X)k=E[X—E(X)]k,k=1,2,…ninii=1i=1解上述方程〔或方程組〕得到0,0，…,0的矩估計量為：0=0(X,X，…,X),i=1,2，…