線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)習(xí)題及答案本1171

第四章線性方程組§4-1克拉默法則一、選擇題1．下列說(shuō)法正確的是（C）A.n元齊次線性方程組必有n組解；B.n元齊次線性方程組必有n1組解；C.n元齊次線性方程組至少有一組解，即零解；D.n元齊次線性方程組除了零解外，再也沒(méi)有其他解.2．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（B）A.當(dāng)D0時(shí)，非齊次線性方程組只有唯一解；B.當(dāng)D0時(shí)，非齊次線性方程組有無(wú)窮多解；C.若非齊次線性方程組至少有兩個(gè)不同的解，則D0；D.若非齊次線性方程組有無(wú)解，則D0.二、填空題xxx0123xxx0有非零解，1．已知齊次線性方程組123x2xx0123則1，0.2．由克拉默法則可知，如果非齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0,DiD則方程組有唯一解xi.三、用克拉默法則求解下列方程組8x3y26x2y31．解：D862320235D82D16312322，D5所以，x,yD261D2Dx2xx21232xx3x12．123xxx0123121r2r110321550D2132解：1113rr0101221005D113r2r1135112011505011，121D213r2r21310212101101，122500D211r2r2115312110110x1,xD22,xD31D所以，11D2D3D2xz12x4yz13．x8y3z2201D241c2c04120000113解：183583101100D141cc14020131285283，211210D211cc2100232125123，201001D241c2c04120313182582x1,yD20,zD31D所以，1DDDxxxx51234x2xx4x24．12342x3xx5x212343xx2x11x01234解：111111111214rr012321D23153r2r10537r3r10218312114123r5r12353721013814210514218r2r35111511102214c2c22518D1322315c11c235284201000121151100102518c15c2733214222528c10c235223215111511072311012371214rr2D2215r32r2r3r1015183021147232301333031284315181237r12r31518r3r21151215101224cc352218D3122325c11c11322842310110100255210182c5c120011228c5c211551297274262131111512211512c3c152522D42312c2c113523201003120215215552rr50271426041321152r5r2Dx1,xD22,xD33,xD41所以，11D2D3D4D§4-2齊次線性方程組一、選擇題1．已知mn矩陣A的秩為，是齊次線性方程組n1AX0,12k為任意常數(shù)，則方程組AX0的通解為（D）.的兩個(gè)不同的解，2A.k；B.k；112C.k()；D.k().12n1解：因?yàn)閙n矩陣A的秩為，所以方程組AX0的基礎(chǔ)解系含1個(gè)向量。而,10是齊次線性方程組AX的兩個(gè)不同的解，2AX0的解，則方程組AX0的通解為k()。120所以為12kxxx0123xkxx0有非零解，2．設(shè)線性方程組則正確的是（C）1232xxx0123A.k必定為0；B.k必定為1；C.k為0或1；D.這樣的k值不存在.ababab11abab121nab3．A21222na0b，0(,且j1,2,,n)，(1,2,,n)iijabababn1n2nnAx0則的基礎(chǔ)解系中含有（A）個(gè)向量.n11A.；B.n；C.；D.不確定.abababa11abab121nab1ab解：因?yàn)锳212222bb12nnabababan1n2nnn所以，R(A)1；又ab0R(A)1，所以，R(A)1。11Ax0r(A)n3，且a,a,a是的三個(gè)A為n階方陣，4．設(shè)123Ax0線性無(wú)關(guān)的解向量，則的基礎(chǔ)解系為（A）．a(chǎn)a,aa,aa；B．a(chǎn)a,aa,aa；A．1223312132132aa,12aa,aa；D．a(chǎn)aa,aaa2,a．C．2132131233213二、填空題AX0有非零解的1．n元齊次線性方程組R(A)n.充分必要條件是mn(1)x2x4x01232．當(dāng)0或2或32x(3)xx0有非零解.時(shí)，齊次線性方程組123xx(1)x01233,0,1T組成的22,1,0T3．寫(xiě)出一個(gè)基礎(chǔ)解系由，1x2x3x0.__1齊次線性方程組___23x2x3x123程組可為xx解：方22xx33x2x3x0即123x2x3x3x7x0123453x2xxx3x0三、求解齊次線性方程組12345x2x2x6x013455x4x3x3xx012345解：12337r3r12337321130488240211121rrA1022631r5r543314106121236r(1/4)12337r(1/3)10004/301004/30122623r2rr2r003311001111/332r6r23r2r3r000003000004212x4x/315x24x/35xx11x/3，所以，同解方程組為345xx44xx5504/304/311/31,則為一組基礎(chǔ)解系，121010所以，通解為xkk。2211

x2x2x012332xxx0的解四、已知3階非零矩陣B的每一列都是方程組3xxx0.12123①求的值；②證明B0.①解：因?yàn)?階非零矩陣B的每一列都是方程組的解，所以方程組有非零解。1220系數(shù)行列式A1。21311②證明：依題意，ABO。假設(shè)B0，則B可逆，ABOABB1OB1AO，矛盾。所以，B0。AB0R(A)R(B)n.補(bǔ)充：求證：A,B，mnnp,,都是齊次線性方程組p證明：依題意，矩陣B的所有列向量1Ax0的解，而Ax0解空間的維數(shù)是nR(A)，R(A)R(B)n。所以，R(B)R(,,)nR(A)，即1p§4-3非齊次線性方程組一、選擇題1．若R(A)rn，則n元線性方程組AXbD.mnA.有無(wú)窮多個(gè)解；B.有唯一解；C.無(wú)解；D.不一定有解.xx12．線性方程組（A）.12xx012A.無(wú)解；B.只有0解；C.有唯一解；D.有無(wú)窮多解.x1x2xxx13有唯一解，則應(yīng)滿足（A）.3．方程組x312x1xx2231,2；B.1,2；A.C.1,2；D.1,2.1100a10110a，b4．設(shè)A＝2，Axb有解的充分必要條件為（D）．0011a10013a4A.aaaa；B.aaaa1；12341234C.aaaa0；D.aaaa0.12341234二、填空題1．n元非齊次線性方程組AXb有解的充分必要條件是R(A)R(A,b).mn2．若5元線性方程組AXb的基礎(chǔ)解系中含有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則rA3.3．設(shè)有一個(gè)四元非齊次線性方程組AXb，R(A)3，又是它的三個(gè),,123(1,0,1,3)T，則非齊次線性方程組的23(1,1,0,2)解向量，其中，T12通解為k(0,1,1,1)T(1,1,0,2)T.3解：因?yàn)槭茿Xb三個(gè)解向量，則,,123()()(1,1,0,2)T(1,0,1,3)T(0,1,1,1)T00是AX的解，122而R(A)3，所以(0,1,1,1)是AX的一組基礎(chǔ)解系，0T1又()1(1,1,0,2)AXb是的解，T2212AXbk(0,1,1,1)T(1,1,0,2)T所以，的通解為2x3yz4x2y4z5三、求解非齊次線性方程組3x8y2z134xy9z6解：231410211245r0112A=38213~000041960000x2z1yz2同解方程組為zz21令為一組基礎(chǔ)解系121xyc12,(cR)則通解為z10xaxx3123x2axx4四、a,b取何值時(shí)，線性方程組123xxbx4123（1）有唯一解；（2）無(wú)解；（3）有無(wú)窮多解？說(shuō)明:對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的含參數(shù)的線性方程組,判別其由唯一解,有無(wú)窮解或無(wú)解時(shí)最好用:方程組有唯一解系數(shù)行列式|A|0,此種方法簡(jiǎn)單又不容易出錯(cuò).解:方程組有唯一解系數(shù)行列式|A|