山西省臨汾市高三高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性（理科）試卷（二）

2021年山西省臨汾市高三高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（理科）（二）一、選擇題（每小題5分）.1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A．2+i B．﹣2﹣i C．﹣2+i D．2﹣i2．已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝，x＞1}，則A∩B＝（）A． B．{y|0＜y＜1} C． D．?3．若方程＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣1或m＞0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．﹣1＜m＜04．已知f（x）＝，則f（f（ln2））＝（）A． B． C． D．5．如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A．3 B．6 C．9 D．186．如圖，∠OAB＝∠ABC＝120°，且||＝||＝2||＝2，則在方向上的投影為（）A．﹣1 B．1 C．﹣ D．7．在（a+x﹣）10的展開(kāi)式中，x8的系數(shù)為170，則正數(shù)a的值為（）A． B． C．2 D．18．隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的飛速發(fā)展，許多新興行業(yè)異軍突起，抖音和快手牢牢占據(jù)短視頻平臺(tái)的兩大巨頭，抖音日活躍用戶數(shù)為4億，快手日活躍用戶數(shù)為3億，且抖音和快手日均時(shí)段活躍用戶占比分布如圖，則（）A．4﹣6點(diǎn)時(shí)段抖音的活躍用戶數(shù)比快手的活躍用戶數(shù)少 B．1﹣3點(diǎn)時(shí)段抖音的活躍用戶數(shù)比快手的活躍用戶數(shù)少 C．1﹣3點(diǎn)時(shí)段抖音與快手的活躍用戶數(shù)差距最大 D．一天中抖音活躍用戶數(shù)比快手活躍用戶數(shù)少的時(shí)段有2個(gè)9．已知函數(shù)f（x）＝Acos（ω1x+φ）（A＞0，ω1＞0，﹣＜φ＜），g（x）＝Asin（ω2x+）（ω2＞0）且函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則下列判斷不正確的是（）A．A＝2，ω1＝1，φ＝﹣ B．若ω1＝ω2，則f（x）＝g（x） C．若g（x）在（，π）上單調(diào)遞減，則ω2的取值范圍為[，] D．如果ω2＝2，且g（x﹣a）為偶函數(shù)，則α＝﹣+kπ（k∈Z）10．點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（）A． B．4π C． D．11．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，A＝，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．若線段EF平分△ABC的面積，則EF的最小值為（）A．2 B．48﹣24 C． D．612．已知曲線f（x）＝lnx+2x與曲線g（x）＝a（x2+x）有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知f（x）＝e1﹣x+x，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為．14．已知α∈（，），且sinα+cosα＝，則tanα＝．15．已知點(diǎn)B（8，8）在拋物線C：y2＝2px上，C在點(diǎn)B處的切線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)A，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，則直線AF的斜率為．16．如圖，三棱錐A﹣BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB＝8，CD＝12，點(diǎn)P在側(cè)面ACD內(nèi)，且點(diǎn)P到直線AB的距離為4，則點(diǎn)P到平面BCD距離的最小值為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．經(jīng)歷過(guò)疫情，人們愈發(fā)懂得了健康的重要性，越來(lái)越多的人們加入了體育鍛煉中，全民健身，利國(guó)利民，功在當(dāng)代，利在千秋．一調(diào)研員在社區(qū)進(jìn)行住戶每周鍛煉時(shí)間的調(diào)查，隨機(jī)抽取了300人，并對(duì)這300人每周鍛煉的時(shí)間（單位：小時(shí)）進(jìn)行分組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估算該社區(qū)住戶每周鍛煉時(shí)間的中位數(shù)（精確到0.1）；（2）若每周鍛煉時(shí)間超過(guò)6小時(shí)就稱為運(yùn)動(dòng)衛(wèi)士，超過(guò)8小時(shí)就稱為運(yùn)動(dòng)達(dá)人．現(xiàn)利用分層抽樣的方法從運(yùn)動(dòng)衛(wèi)士中抽取10人，再?gòu)倪@10人中抽取3人做進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)抽到的人中運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望．18．山西面食歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，稱為“世界面食之根”．臨汾牛肉丸子面、饸饹面是我們臨汾人喜愛(ài)吃的面食．調(diào)查資料表明，某學(xué)校在每周一有1000名學(xué)生選擇面食，餐廳的面食窗口在每周一提供牛肉丸了面和饸饹兩種面食．凡是在本周一選擇牛肉丸子面的學(xué)生，下周一會(huì)有20%改選饸饹面；而選擇饸饹面的學(xué)生，下周一會(huì)有30%改選牛肉丸子面．用an，bn分別表示在第n個(gè)周一選擇牛肉丸子面和饸饹面的人數(shù)，且a1＝600．（1）證明：數(shù)列{an}是常數(shù)列；（2）若cn＝，求數(shù)列{bn+cn}的前2n項(xiàng)和S2n．19．如圖，在半徑為的半球O中，平行四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，AD＝AB，點(diǎn)P是半球面上的動(dòng)點(diǎn)，且四棱錐P﹣ABCD的體積為．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡T圍成的面積；（2）是否存在點(diǎn)P使得二面角P﹣AD﹣B的大小為？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．若曲線y＝f（x）與y＝g（x）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有相同的切線，則稱y＝f（x）與y＝g（x）相切．已知f（x）＝lnx+ax與g（x）＝bx2相切．（1）若b＝1，求a的值；（2）對(duì)任意a＞0，是否存在實(shí)數(shù)b＞0，使得曲線y＝f（x）與y＝g（x）相切？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．已知點(diǎn)Q（2，1）在橢圓C：＝1（a＞b＞0）上，且點(diǎn)Q到C的兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）求C的方程；（2）設(shè)圓O：x2+y2＝上任意一點(diǎn)P處的切線l交C于點(diǎn)M，N，求|OM|?|ON|的最小值．(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第題計(jì)分，作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑。[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）點(diǎn)P為C1上任意一點(diǎn)，若OP的中點(diǎn)Q的軌跡為曲線C2，求C2的極坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)M，N分別是曲線C1和C2上的點(diǎn)，且OM⊥ON，證明：|OM|2+4|ON|2為定值．[選修45：不等式選講]23．已知a，b為正實(shí)數(shù)，且滿足a+b＝1．證明：（1）a2+b2≥；（2）．參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A．2+i B．﹣2﹣i C．﹣2+i D．2﹣i解：復(fù)數(shù)＝＝﹣2﹣i的共軛復(fù)數(shù)是﹣2+i．故選：C．2．已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝，x＞1}，則A∩B＝（）A． B．{y|0＜y＜1} C． D．?解：由題意可得：，∴．故選：A．3．若方程＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣1或m＞0 B．m＞0 C．m＜﹣1 D．﹣1＜m＜0解：方程＝1表示雙曲線，可得m（m+1）＞0，解得m＜﹣1或m＞0．故選：A．4．已知f（x）＝，則f（f（ln2））＝（）A． B． C． D．解：∵x＝ln2＜1，∴f（ln2）＝e﹣ln2＝，∴f（f（ln2））＝f（）＝＝，故選：C．5．如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A．3 B．6 C．9 D．18解：根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱錐，把它放入底面邊長(zhǎng)為3、高為2的長(zhǎng)方體中，如圖所示：則該三棱錐的體積是V＝S△ABC?h＝××32×2＝3．故選：A．6．如圖，∠OAB＝∠ABC＝120°，且||＝||＝2||＝2，則在方向上的投影為（）A．﹣1 B．1 C．﹣ D．解：如圖，延長(zhǎng)OA和CB，相交于O．所以∠OAB＝∠OBA＝60°，所以∠AOB＝60°．所以．則在方向上的投影為：＝2×cos120°＝﹣1．故選：A．7．在（a+x﹣）10的展開(kāi)式中，x8的系數(shù)為170，則正數(shù)a的值為（）A． B． C．2 D．1解：由多項(xiàng)式的乘法性質(zhì)知每個(gè)括號(hào)里的因式是a，x，﹣，則x8＝x9×＝x8×1×1，共有2種情況，則對(duì)應(yīng)的x8為（﹣）?x9+a2?x8＝（﹣10+45a2）x8，∵x8的系數(shù)為170，∴﹣10+45a2＝170，得45a2＝180，得a2＝4，得a＝2，故選：C．8．隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的飛速發(fā)展，許多新興行業(yè)異軍突起，抖音和快手牢牢占據(jù)短視頻平臺(tái)的兩大巨頭，抖音日活躍用戶數(shù)為4億，快手日活躍用戶數(shù)為3億，且抖音和快手日均時(shí)段活躍用戶占比分布如圖，則（）A．4﹣6點(diǎn)時(shí)段抖音的活躍用戶數(shù)比快手的活躍用戶數(shù)少 B．1﹣3點(diǎn)時(shí)段抖音的活躍用戶數(shù)比快手的活躍用戶數(shù)少 C．1﹣3點(diǎn)時(shí)段抖音與快手的活躍用戶數(shù)差距最大 D．一天中抖音活躍用戶數(shù)比快手活躍用戶數(shù)少的時(shí)段有2個(gè)解：對(duì)于A，4﹣6點(diǎn)時(shí)間段的活躍用戶：抖音是4×17%＝0.68億，快手是3×21%＝0.63億＜0.68億，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，1﹣3點(diǎn)時(shí)段的活躍用戶：抖音是4×12%＝0.48億，快手是3×18%＝0.54億＞0.48億，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，1﹣﹣0.48＝0.06億，而19﹣21點(diǎn)時(shí)段抖音與快手的活躍用戶數(shù)的差距為4×49%﹣3×54%＝0.35億＞0.06億，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，一天中抖音活躍用戶數(shù)比快手活躍用戶數(shù)少的時(shí)段只有1﹣3時(shí)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B．9．已知函數(shù)f（x）＝Acos（ω1x+φ）（A＞0，ω1＞0，﹣＜φ＜），g（x）＝Asin（ω2x+）（ω2＞0）且函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則下列判斷不正確的是（）A．A＝2，ω1＝1，φ＝﹣ B．若ω1＝ω2，則f（x）＝g（x） C．若g（x）在（，π）上單調(diào)遞減，則ω2的取值范圍為[，] D．如果ω2＝2，且g（x﹣a）為偶函數(shù)，則α＝﹣+kπ（k∈Z）解：對(duì)于選項(xiàng)A，由函數(shù)f（x）的圖象可得其周期T＝2（﹣）＝2π＝，解得ω1＝1，由于點(diǎn)（，A）在f（x）上，可得f（）＝Acos（+φ）＝A，可得+φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z，由于﹣＜φ＜，可得φ＝﹣，又由于點(diǎn)（0，1）在f（x）上，可得f（0）＝Acos（﹣）＝A＝1，解得A＝2，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由于f（x）＝2cos（x﹣），g（x）＝2sin（x+），可知f（x）＝2sin[﹣（x﹣）]＝2sin（x+）＝g（x），故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，g（x）＝2sin（ω2x+），所以ω2+≥，πω2+≤，可得≤ω2≤，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，g（x）＝2sin（2x+），可得g（x﹣a）＝2sin（2x﹣2a+）＝±2cos2x，所以a＝﹣+kπ，k∈Z，故D錯(cuò)誤．故選：D．10．點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球的球面上，AB＝BC＝1，∠ABC＝120°，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個(gè)球的表面積為（）A． B．4π C． D．解：根據(jù)題意知，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，且|AB|＝|AC|＝1，∠ABC＝120°，∴BC＝，∴△ABC外接圓半徑2r＝2，即r＝1，∴S△ABC＝×1×1×sin120°＝，小圓的圓心為Q，若四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為S△ABC×DQ＝，∴DQ＝3，設(shè)球的半徑為R，則在直角△AQO中，OA2＝AQ2+OQ2，即R2＝12+（3﹣R）2，∴R＝，∴球的表面積為＝，故選：D．11．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，A＝，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．若線段EF平分△ABC的面積，則EF的最小值為（）A．2 B．48﹣24 C． D．6解：由題意可得S△ABC＝AB?AC?sin＝×＝12，因?yàn)榫€段EF平分△ABC的面積，所以S△AEF＝6，令A(yù)E＝x，AF＝y(tǒng)，可得S△AEF＝x?y?sin＝xy＝6，可得xy＝24，可得cos∠EAF＝＝，可得x2+y2﹣EF2＝xy，所以EF2＝x2+y2﹣xy＝x2+y2≥2xy﹣24＝48，可得EF≥6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)等號(hào)成立，所以EF最小值為6．故選：D．12．已知曲線f（x）＝lnx+2x與曲線g（x）＝a（x2+x）有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，0） D．（0，+∞）解：根據(jù)題意，可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋簒∈（0，+∞）方程lnx+2x＝a（x2+x）有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，∵x＞0，即得x2+x＞0∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，此時(shí)令，則直線y＝a與函數(shù)y＝h（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，∵＝令h'（x）＝0，則有，或x＝1∴h'（x）＞0?0＜x＜1；h'（x）＜0?x＞1∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減∴h（x）max＝h（1）＝1∵當(dāng)x→0時(shí)，h（x）→﹣∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）＞0∴若使直線y＝a與y＝h（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，則需使0＜a＜1故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知f（x）＝e1﹣x+x，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝2．解：由f（x）＝e1﹣x+x，得f′（x）＝﹣e1﹣x+1，∴f′（1）＝﹣e0+1＝0，又f（1）＝e0+1＝2，∴曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝2．故答案為：y＝2．14．已知α∈（，），且sinα+cosα＝，則tanα＝．解：因?yàn)棣痢剩?，），所以，因?yàn)閟inα+cosα＝，所以＝，即sin（）＝，所以＝即，則tanα＝tan（）＝＝．故答案為：．15．已知點(diǎn)B（8，8）在拋物線C：y2＝2px上，C在點(diǎn)B處的切線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)A，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，則直線AF的斜率為．解：把B（8，8）代入拋物線C：y2＝2px，得82＝2p×8，可得p＝4，則拋物線C為y2＝8x，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（2，0），直線方程為x＝﹣2．∴y＝，y′＝，把x＝8代入，可得C在點(diǎn)B處的切線的斜率k＝．設(shè)A（﹣2，yA），∴，解得yA＝3，則A（﹣2，3），∴．故答案為：．16．如圖，三棱錐A﹣BCD中，AC＝AD＝BC＝BD＝10，AB＝8，CD＝12，點(diǎn)P在側(cè)面ACD內(nèi)，且點(diǎn)P到直線AB的距離為4，則點(diǎn)P到平面BCD距離的最小值為4（）．解：由題意可知P在以AB為軸，底面半徑為4的圓柱的側(cè)面上，與平面ACD的交線是關(guān)于P對(duì)稱是圓弧，設(shè)CD的中點(diǎn)為F，AB的中點(diǎn)為E，連接AF，BF，EF，由于AC＝AD＝BC＝BD所以CD⊥平面ABF，AB⊥EF，EF是異面直線AB，CD的公垂線，與平面ACD的交線是關(guān)于P對(duì)稱是圓弧是橢圓的一部分，點(diǎn)P在直線AF與橢圓的交點(diǎn)的位置時(shí)，P到底面距離取得最小值，由題意可知BE＝4，CF＝6，BF＝8，EF＝＝4，P到AB的距離為4，即PG＝4，∠BAF＝60°，AP＝＝，PF＝8﹣，P到底面的距離PO＝（8﹣）sin60°＝4（）．故答案為：4（）．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．經(jīng)歷過(guò)疫情，人們愈發(fā)懂得了健康的重要性，越來(lái)越多的人們加入了體育鍛煉中，全民健身，利國(guó)利民，功在當(dāng)代，利在千秋．一調(diào)研員在社區(qū)進(jìn)行住戶每周鍛煉時(shí)間的調(diào)查，隨機(jī)抽取了300人，并對(duì)這300人每周鍛煉的時(shí)間（單位：小時(shí)）進(jìn)行分組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估算該社區(qū)住戶每周鍛煉時(shí)間的中位數(shù)（精確到0.1）；（2）若每周鍛煉時(shí)間超過(guò)6小時(shí)就稱為運(yùn)動(dòng)衛(wèi)士，超過(guò)8小時(shí)就稱為運(yùn)動(dòng)達(dá)人．現(xiàn)利用分層抽樣的方法從運(yùn)動(dòng)衛(wèi)士中抽取10人，再?gòu)倪@10人中抽取3人做進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)抽到的人中運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望．解：（1）頻率分布直方圖如圖所示：由頻率分布直方圖可知，第一組和第二組的頻率之和為0.2+0.25＝0.45＜0.5，前三組的頻率之和為0.2+0.25+0.3＝0.75＞0.5，所以中位數(shù)應(yīng)該在第三組，設(shè)中位數(shù)為x，則（x﹣4）×﹣0.45＝0.05，解得4.3，所以該社區(qū)住戶每周鍛煉時(shí)間的中位數(shù)為4.3；（2）每周鍛煉時(shí)間為6～8小時(shí)的人數(shù)為300×0.15＝45人，每周鍛煉時(shí)間為8～10小時(shí)的人數(shù)為300×0.1＝30人，由分層抽樣可得，抽樣的比例為＝，所以6～8小時(shí)抽取人數(shù)為45×＝6人，8～10小時(shí)抽取的人數(shù)為30×＝4人，故抽到的人中運(yùn)動(dòng)達(dá)人的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝，所以X的分布列為：X0123P故X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝＝1.2．18．山西面食歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，稱為“世界面食之根”．臨汾牛肉丸子面、饸饹面是我們臨汾人喜愛(ài)吃的面食．調(diào)查資料表明，某學(xué)校在每周一有1000名學(xué)生選擇面食，餐廳的面食窗口在每周一提供牛肉丸了面和饸饹兩種面食．凡是在本周一選擇牛肉丸子面的學(xué)生，下周一會(huì)有20%改選饸饹面；而選擇饸饹面的學(xué)生，下周一會(huì)有30%改選牛肉丸子面．用an，bn分別表示在第n個(gè)周一選擇牛肉丸子面和饸饹面的人數(shù)，且a1＝600．（1）證明：數(shù)列{an}是常數(shù)列；（2）若cn＝，求數(shù)列{bn+cn}的前2n項(xiàng)和S2n．【解答】（1）證明：∵a1＝600，∴b1＝1000﹣600＝400，a2＝600×0.8+400×0.3＝600，根據(jù)題意，可得，解之可得，，∵a1＝600，∴an＝600，即得數(shù)列{an}是常數(shù)列；（2）由（1）可得，bn＝1000﹣an＝400，∵，∴S2n＝2n×400+（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）＝2n×400+2（1+3+5+…+2n﹣1）+（22+24+…+22n）＝800n+．19．如圖，在半徑為的半球O中，平行四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，AD＝AB，點(diǎn)P是半球面上的動(dòng)點(diǎn)，且四棱錐P﹣ABCD的體積為．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡T圍成的面積；（2）是否存在點(diǎn)P使得二面角P﹣AD﹣B的大小為？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題意可知，平行四邊形ABCD為矩形，因?yàn)锳D＝AB，AB2+AD2＝12，所以，故四邊形ABCD的面積為，設(shè)點(diǎn)P到地面ABCD的距離為hP，則，所以，所以點(diǎn)P在到底面ABCD距離為的平面內(nèi)，又因?yàn)辄c(diǎn)P是半球面上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的軌跡為半徑為r＝的圓，所以T的面積為S＝πr2＝π；（2）存在點(diǎn)P使得二面角P﹣AD﹣B的大小為．理由如下：以底面圓的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)滿足題意時(shí)，點(diǎn)，可得a2+b2＝1，設(shè)平面ADP的法向量為，因?yàn)?，所以，令，則z＝b+1，故，由題意可取平面ABCD的一個(gè)法向量為，若要滿足題目條件，則，解得∈[﹣1，1]，故存在點(diǎn)P使得二面角P﹣AD﹣B的大小為．20．若曲線y＝f（x）與y＝g（x）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有相同的切線，則稱y＝f（x）與y＝g（x）相切．已知f（x）＝lnx+ax與g（x）＝bx2相切．（1）若b＝1，求a的值；（2）對(duì)任意a＞0，是否存在實(shí)數(shù)b＞0，使得曲線y＝f（x）與y＝g（x）相切？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵f（x）＝lnx+ax，g（x）＝bx2，∴f′（x）＝+a，g′（x）＝2bx，∵b＝1，∴g′（x）＝2x，由題意得，解得a＝1；（2）設(shè)曲線y＝f（x）與y＝g（x）相切，切點(diǎn)設(shè)為（x0，y0），則lnx0+ax0＝b①，+a＝2bx0②，則由②得a＝2bx0﹣＞0③，將③代入①得lnx0+2bx02﹣1＝b，即lnx0+bx02﹣1＝0，設(shè)h（x）＝lnx+bx2﹣1，則h′（x）＝+2bx＞0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，而x→0時(shí)，h（x）→﹣∞，x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，故h（x）在（0，+∞）存在零點(diǎn)，故存在實(shí)數(shù)b＞0，使得曲線y＝f（x）與y＝g（x）相切．21．已知點(diǎn)Q（2，1）在橢圓C：＝1（a＞b＞0）上，且點(diǎn)Q到C的兩焦點(diǎn)的距離之和為4．（1）求C的方程；（2）設(shè)圓O：x2+y2＝上任意一點(diǎn)P處的切線l交C于點(diǎn)M，N，求|OM|?|ON|的最小值．解：（1）由題意可得+＝1，且2a＝4，解得a＝2，b＝，所以橢圓C的方