數(shù)值方法 課件 【ch01】插值與逼近

數(shù)值方法“新工科建設”教學探索成果插值與逼近第一章問題介紹01一、問題介紹函數(shù)的插值與逼近是科學計算的基本問題之一，廣泛應用于曲面擬合、機器學習、微分方程數(shù)值求解等領域.一、問題介紹我們通過下面兩個例子來進一步說明插值與逼近的概念.一、問題介紹我們通過下面兩個例子來進一步說明插值與逼近的概念.例1.2給定表1-1中的數(shù)據(jù)，試用一條二次拋物線擬合這些數(shù)據(jù).一、問題介紹我們把這樣的有限維逼近空間V叫作試探空間，Rf叫作試探函數(shù).多項式插值02二、多項式插值二、多項式插值概述從整體逼近的角度而言，我們有下述重要定理.01由定理內容我們知道，只要目標函數(shù)連續(xù)，具有任意逼近階數(shù)的多項式PN(x)一定存在，但是我們并不知道這樣的多項式的具體表達形式.因此，我們需要構造具有逼近性質的多項式試探空間.當然一維情形下，最簡單的n次多項式試探空間是二、多項式插值概述下面的定理保證了這個試探空間逼近的有效性.01二、多項式插值概述01二、多項式插值Lagrange插值02其插值函數(shù)具有下面的表達形式二、多項式插值Lagrange插值02二、多項式插值Lagrange插值02二、多項式插值Lagrange插值02二、多項式插值Lagrange插值02圖1-1給出了7次Lagrange插值曲線，該曲線較好地通過了給定的樣本數(shù)據(jù)(圖中的○表示樣本數(shù)據(jù)，曲線為插值曲線).二、多項式插值Newton插值03當我們需要擴充試探空間的時候，之前所有的基函數(shù)都沒有被保留，這非常不利于大規(guī)模數(shù)值計算.克服這一缺陷的有效方法之一是Newton插值.選擇如下形式的試探空間則Newton插值函數(shù)可以寫為二、多項式插值Newton插值03可以計算得到二、多項式插值Newton插值03二、多項式插值Newton插值03二、多項式插值Newton插值03二、多項式插值分片線性插值041901年，德國數(shù)學家C.Runge構造了一個反例，說明Lagrange插值多項式與Newton插值多項式在逼近一些函數(shù)的時候，逼近效果并不是完全隨著多項式次數(shù)的增加越來越好的.這個反例被稱為Runge現(xiàn)象.二、多項式插值分片線性插值04則Lagrange插值與Newton插值失效，表現(xiàn)為：當n增大時，在區(qū)間[-5，5]兩端附近誤差迅速增大(見圖1-2).圖1-2顯示了當n=10時Lagrange插值與Newton插值的效果，明顯可以看出，在區(qū)間的兩端附近插值曲線出現(xiàn)振蕩.二、多項式插值分片線性插值04假設f(x)是定義在[a，b]上的目標函數(shù)，分片線性插值需要構造若干條首尾相接的折線通過數(shù)據(jù)對(x0，y0)，…，(xn，yn)，要求這樣的插值函數(shù)

滿足條件：二、多項式插值分片線性插值04二、多項式插值分片線性插值04二、多項式插值Hermite插值05二、多項式插值Hermite插值05二、多項式插值Hermite插值05二、多項式插值Hermite插值05徑向基函數(shù)插值03三、徑向基函數(shù)插值概述01三、徑向基函數(shù)插值概述01三、徑向基函數(shù)插值概述01三、徑向基函數(shù)插值再生核空間02三、徑向基函數(shù)插值再生核空間02三、徑向基函數(shù)插值再生核空間02三、徑向基函數(shù)插值再生核空間02三、徑向基函數(shù)插值誤差估計03三、徑向基函數(shù)插值誤差估計03三、徑向基函數(shù)插值誤差估計03三、徑向基函數(shù)插值誤差估計03三、徑向基函數(shù)插值誤差估計03最佳逼近04四、最佳逼近最小二乘擬合01不妨假設這條直線為多項式這樣的優(yōu)化問題稱之為最小二乘問題.四、最佳逼近最小二乘擬合01上面的最小二乘問題是容易求解的.我們知道E(a，b)的最小值在其穩(wěn)定點處達到，因而需要求解方程組這個方程組稱為最小二乘問題的法方程組.四、最佳逼近最小二乘擬合01例1.5(超定方程組)一個測量員測量三座山的高度，在地面上測得山的高度分別為x1=1200m，x2=1640m，x3=2300m.為了進一步確定測量的精準程度，測量員先爬上第一座山測量其與第二座山的高度差，發(fā)現(xiàn)x2-x1=445m，第一座山和第三座山的高度差x3-x1=1110m；然后到第二座山上，測量得到x3一x2=665m.對以上的觀察數(shù)據(jù)進行全面考慮，則得到一個超定方程組解：使用最小二乘方法可以求解.上面的超定方程組，從而得到四、最佳逼近最佳一致逼近02常用的范數(shù)如下：四、最佳逼近最佳一致逼近02四、最佳逼近最佳一致逼近02四、最佳逼近最佳平方逼近03四、最佳逼近最佳平方逼近03四、最佳逼近正交多項式04四、最佳逼近正交多項式04四、最佳逼近正交多項式04常見的正交多項式有以下幾類.●Legendre多項式其滿足三項遞推公式四、最佳逼近正交多項式04常見的正交多項式有以下幾類.●Chebyshev多項式其滿足三項遞推公式四、最佳逼近正交多項式