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一類偏微分系統(tǒng)譜的上界估計

1構造矩陣式考慮到這是一個光滑的區(qū)域。的特征值來估計問題,其中n是邊界的單位法向量。根據(jù)方程理論知,問題(1)和(2)的譜是離散的,且都是正實數(shù),離散譜又稱特征值。把問題(1)和(2)寫成矩陣式,設問題(1)和問題(2)就可寫成如下矩陣形式顯然,問題(3)和(4)與問題(1)和(2)是等價的。設問題(3)和(4)的特征值為與之對應正交規(guī)范特征向量為v1,v2,…,vn,…,即滿足利用分部積分,得設其中顯然,θik與vj正交(i,j=1,2,…,n,k=1,2,…,m),且滿足于是,利用Rayleigh定理,得到下列不等式利用式(9),得利用式(7)和式(10),有用γn替代式(8)中的γi,成立著2主要配置定理1如果γi(i=1,2,…,n+1)是問題(3)和(4)的特征值,則3schzartz定理引理1vi設是問題(3)和(4)對應特征值γi的特征向量,則證明利用分部積分和式(6),得利用式(15)和式(16),得既得引理1。引理2設γ1,γ2,…,γn是問題(3)和(4)的n個特征值,則證明利用恒等式和分部積分法,得利用式(17),有利用分部積分,有利用式(18)~式(20),和分部積分,有即得引理2。證明利用θik的定義,有利用Schwartz不等式和引理1,有即得引理3。定理1的證明,利用引理3,成立著再利用式(12)和引理2,可得定理1的式(13),在式(13)右端用γn替代γi,可得式(14)。定理2的證明,選擇參數(shù)υ>γn,利用式(11),得其中ε>0為待定常數(shù)。設,利用式(21)(22)和引理1,化簡得為了使式(24)右端的值達到最小,取將式(25)代入式(24),有利用引理2,式(23)和(26),得其中υ-γn,選擇υ使式(27)右端等于零,即設易知,h(υ)是在(γn,+∞)內單調減少連續(xù)函數(shù),其值域為(0,+∞),因此,存在唯一的υ使等式(28)成立。從式(27)知υ≥γn+1,用γn+1替代等式中υ,即得定理2。4復雜，廣泛方程的特征值問題是數(shù)學學科研究的一個重要領域,它涉及的內容復雜而廣泛。本文研究了某類系統(tǒng)特征值的上界估計,并獲得了用前n個

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