不等式典型例題之基本不等式證明

1/1不等式典型例題之基本不等式的證明5.3、不等式典型例題之基本不等式的證明——（6例題）

雪慕冰

一、學(xué)問(wèn)導(dǎo)學(xué)

1.比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小挨次和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法).

(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體；②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是常常使用的變形手段；③推斷：依據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，推斷不等式兩邊差的正負(fù)號(hào)，最終確定所求證不等式成立的結(jié)論.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法.

(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若ａ，ｂ∈R+

，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式；③推斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法.

2.綜合法：利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的規(guī)律推理，最終推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”.即從已知Ａ逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論Ｂ.

3.分析法：是指從需證的不等式動(dòng)身，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.用分析法證明書寫的模式是：為了證明命題Ｂ成立，只需證明命題Ｂ1為真，從而有…，這只需證明Ｂ2為真，從而又有…，……這只需證明Ａ為真，而已知Ａ為真，故Ｂ必為真.這種證題模式告知我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件.

4.反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說(shuō)清晰，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式Ａ>Ｂ，先假設(shè)Ａ≤Ｂ，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出沖突，從而確定Ａ>Ｂ.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不行能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法.

5.換元法：換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明白的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來(lái)新????

的啟迪和方法.主要有兩種換元形式.(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較簡(jiǎn)單，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示.此法假如運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將簡(jiǎn)單的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題；(2)增量換元法：在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母挨次(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn).如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ進(jìn)行換元.

二、疑難學(xué)問(wèn)導(dǎo)析

1.在用商值比較法證明不等式時(shí)，要留意分母的正、負(fù)號(hào)，以確定不等號(hào)的方向.

2.分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面，前者執(zhí)果索因，利于思索，由于它方向明確，思路自然，易于把握；后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，由于它條理清楚，形式簡(jiǎn)潔，適合人們的思維習(xí)慣.但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，由于它敘述較繁，假如把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯(cuò)誤.而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探究的過(guò)程.因而證明不等式時(shí)，分析法、綜合法經(jīng)常是不能分別的.假如使用綜合法證明不等式，難以入手時(shí)常用分析法探究證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過(guò)程，以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、相互滲透、相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系.分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn).

3.分析法證明過(guò)程中的每一步不肯定“步步可逆”，也沒(méi)有必要要求“步步可逆”，由于這時(shí)僅需查找充分條件，而不是充要條件.假如非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問(wèn)題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價(jià)命題了.用分析法證明問(wèn)題時(shí)，肯定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語(yǔ).

4.反證法證明不等式時(shí)，必需要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出沖突.

5.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對(duì)引入的角有肯定的限制，應(yīng)引起高度重視，否則可能會(huì)消失錯(cuò)誤的結(jié)果.這是換元法的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，且要留意整體思想的應(yīng)用.

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]已知a>b(ab),比較

與的大小.

0a1b

1

錯(cuò)解：a>b(ab)，b(ab)，(1)當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，即a>b>0或b0,b－a0,b0,.[例2]當(dāng)a、b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式中最小的是（）

A.B.C.D.

錯(cuò)解：所以選B.

錯(cuò)因是由于在、、中很簡(jiǎn)單確定最小，所以易誤選B.而事實(shí)上三者中最小者，并不肯定是四者中最小者，要得到正確的結(jié)論，就需要全面比較，不行

遺漏與前三者的大小比較.Θ0≠∴a1b

1ab

abba-=-11ΘΘ0≠02,兩端同乘以，可得（a+b）·＞2ab,＜，因此選D.[例3]已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+1a)2+(b+1b)2的最小值.

錯(cuò)解:(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.錯(cuò)因：上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=

,其次次等號(hào)成立的條件是ab=，明顯，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的.因此，8不是最小值.

正解：原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4=(1－2ab)(1+

)+4，由ab≤2=得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，≥+2

baab≥ab11

1)2

(+babaab+2≠ababab∴b

aa

b+2aba1b121a21b

ab2abab1?a1b

12

1ab121a21b21a21b

a1

b1ab2221ba2ba+412121221ba221b

a

∴原式≥×17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)，∴(a+

)2+(b+)2的最小值是252.[例4]已知01,∴

∴∴

解法三：∵0+--xxxaa|)1(log||)1(log|xxaa+>-2111111log11log)1(log)1(log)1(log)1(logx

xxxxxxxxxxaa-+=-=--=-=+-++++)1(log121xx--=+0)1(log21>--+xx1)1(log121>--+xx|)1(log||)1(log|xxaa+>-

∴

∴左-右=

∵0-xxaa)1(log)1(log)1(log2xxxaaa-=++-0)1(log2>-xa|)1(log||)1(log|xxaa+>-222222222222dbdacbcadcb

a+++=++bdacbdacd

babcd

ca+=+=++22222)(2

∴ac+bd=xysinαsinβ+xycosαcosβ=xycos(α-β)≤xy

[例6]已知x>0，求證：

證：構(gòu)造