解線性方程組的直接方法主元素方法教學(xué)課件

第二章解線性方程組的直接方法Gaus消去法簡單易行,但其計算過程中,要求a稱為主元素)均不為零,因而適用范圍小,只適用于從1到n-1階順序主子式均不為零的矩陣A,計算實踐還表明,Gaus消去法的數(shù)值穩(wěn)定性差,當(dāng)出現(xiàn)小主元素時,會嚴(yán)重影響計算結(jié)果的精度,甚至導(dǎo)出錯誤的結(jié)果§2主元素法先看一個例子學(xué)魂第二章解線性方程組的直接方法例2求解方程組0.50x+1.lx+3.1x,=6.02.0x,+4.5x+0.36x=0.0205.0x,+0.96x+6.5x,=0.96式(2-10a)中所有系數(shù)均有2位有效數(shù)字[解]為減少誤差,計算過程中保留3位有效數(shù)字按Gaus消去法步驟,第一次消元得同解方程組0.50x1+1.1x2+31x3=600.100x2-12.0x3=-24.010.0x2-24.5x3=-59.0第二章解線性方程組的直接方法第二次消元得0.50x1+1.1x2+3.1x3=600.100x2-120x3=-24.01220c2460回代得解x3=202x2=240x1=-580容易驗證,方程組(210)的準(zhǔn)確解為x1=-260,x2=1.00,x3=2.00顯然兩者相差很大但若在解方程組前,先把方程的次序?qū)W魂第二章解線性方程組的直接方法交換一下,如把(2-10a)改寫成5.0x,+0.96x,+6.5x2=0.962.0x,+4.5x+0.36x,=0.020(2-10b)0.50x1+1.1x2+3.1x3=6.0再用Gaus消去法求解,消元后得同解方程5.0x,+0.96x,+6.5x2=0.964.12x2-2.24x3=-0.3642.99x3=599學(xué)魂第二章解線性方程組的直接方法回代得解2.00,x2=1.00,x=-260與準(zhǔn)確解相同產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因在于舍入誤差.因為按式(2-10)的方程順序進(jìn)行消元時,主元a(=0.50,a2)=0.100都比較小,以它們?yōu)槌龜?shù)就增長了舍入誤差,從而導(dǎo)致計算結(jié)果不準(zhǔn)確。為了在計算過程中,抑制舍入誤差的增長,應(yīng)盡量避免小主元的出現(xiàn)如例2中第二種解法,通過交換方程次序,選取絕對值大的元素作主元基于這種想法導(dǎo)出了主元素法5學(xué)魂第二章解線性方程組的直接方法2.2.1列主元素法為簡便起見,我們用方程組(2-1)的增廣矩陣A,bI(2-11)b表示它,并直接在增廣矩陣上進(jìn)行運算.學(xué)魂二章解線性方程組的直接方法列主元素法基本思想:是在每次消元前,在要消去未知數(shù)的系數(shù)中找到絕對值最大的系數(shù)作主元,通過方程對換將其換到對角線上,然后進(jìn)行消元。具體步驟如下:第一步:首先在矩陣(2-11)的第1列中選取絕對值最大的元,比如為a1,則1a;I-maxlai1將(21中第1行與第i1行互換.為方便起見記行互換后的增廣矩陣為[A①,b①],然后進(jìn)行第一次消元,得矩陣學(xué)魂第二章解線性方程組的直接方法[A2),b2]=b第二步:在矩陣[A),b2]的第2列中選主元,比如,使1a2=maxla21.將矩陣[A(,b]的第22<i<n行與第i2行互換,再進(jìn)行第二次消元,得矩陣[A0,b0第k步:在矩陣[A,b]的第k列中選主元,如,使1aik=maxla1將[A(,b的的第k行與第k行互換,進(jìn)行第k次消元8學(xué)魂第二章解線性方程組的直接方法如此經(jīng)過n-1步,增廣矩陣(2-11)被化成上三角形,最后由回代過程求解。在上述過程中,主元是按列選取的,列主元素法由此得名例2中的第二種解法就是按列主元素法進(jìn)行的2.2.2全主元素法如果不是按列選主元,而是在全體待選系數(shù)a(,j=k,k+,…,n)中選取主元,則得到全主元素法,其計算過程如下:學(xué)魂第二章解線性方程組的直接方法第一步:在全體系數(shù)an(,j=…,n)中選取絕對值最大的元作為主元,并通過行與列的互換把它換到a1的位置,然后進(jìn)行第一次消元得到矩陣[A,b1第k步:在矩陣A的右下方(n-k+1)階子矩陣的所有元素a(i,j=k,k+1,…,