數(shù)理統(tǒng)計·參數(shù)估計課件

數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理推斷問題參數(shù)估計假設檢驗點估計區(qū)間估計§6參數(shù)估計數(shù)理統(tǒng)計數(shù)理推斷問題參數(shù)估計假設檢驗點估計區(qū)間估計§6參數(shù)一、參數(shù)的點估計定義1設總體的分布函數(shù)已知但含未知參數(shù),為來自總體的樣本，相應的樣本值是.由樣本構造一個統(tǒng)計量,用它的觀測值來估計未知參數(shù),稱為的點估計量,稱為的點估計值.一、參數(shù)的點估計定義1設總體的分布函為來自總體的一個樣本，觀測值為：用樣本均值作為總體均值的點估計量,即

從而

為的點估計值.1.數(shù)字特征法——用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征為來自總體用樣本方差作為總體方差的點估計量,即

從而

為的點估計值.用樣本方差例1在一批某種零件中,隨機地取8個,測得它們的重量(單位:g)為:801,804,799,794,802,800,803,805.試用數(shù)字特征法估計總體均值和方差.解例1在一批某種零件中,隨機地取8個,測得它們的重量例2已知乘客在某公交汽車站等車的時間(單位：min)服從上的均勻分布,現(xiàn)隨機抽測了10位乘客的等車時間,數(shù)據(jù)如下:2,4,5,8,3,6,5,6,10,1.試用數(shù)字特征法估計的值,并求乘客等車時間不超過5min的概率.解設是抽得的樣本,由于,密度函數(shù)為例2已知乘客在某公交汽車站等車的時間(單位：mi總體的均值為由數(shù)字特征法有因此代入數(shù)據(jù)得從而等車時間不超過5min的概率為

總體的均值為對于同一個未知參數(shù),不同的方法得到的估計量可能不同,應該選用哪一個估計量？應該用什么標準評價一個估計量的好壞？常用的標準有三個：（1）無偏性；（2）有效性；（3）一致性.2.估計量的評價標準對于同一個未知參數(shù),不同的方法得到的估計量可能不(1)無偏性設是參數(shù)的估計量,若,則稱是的無偏估計量.注:1.估計量的值不一定就是的真值,因為它是一個隨機變量,若是的無偏估計,則盡管的值隨樣本值的不同而變化,但平均來說它會等于的真值.2.一般說來無偏估計量的函數(shù)并不是未知參數(shù)相應函數(shù)的無偏估計量.例如，當時，是μ的無偏估計量，但不是的無偏估計量，事實上：(1)無偏性設是參數(shù)例3證明樣本均值為總體均值的無偏估計.樣本方差為總體方差的無偏估計.而不是總體方差的無偏估計.證明

[1]因為隨機變量與總體同分布，故所以樣本均值為總體均值的無偏估計.例3證明樣本均值為總體均值[2][2]

所以樣本方差為總體方差的無偏估計.

[3]所以不是總體方差的無偏估計.[3](2)有效性設和都是參數(shù)的無偏估計量,若,則稱比更有效.的所有估計量中,方差最小的估計量稱為的有效估計量.有效估計量偏離的真值的程度最小.(2)有效性設和例4設是來自總體的樣本,且

試驗證估計量

都是的無偏估計量，并比較哪一個更有效.證明因為所以和都是的無偏估計量.例4設是來自總體的樣本,且

由于因此所以比更有效.由于(3)一致性無偏性、有效性都是在樣本容量n一定的條件下進行討論的，然而不僅與樣本值有關，而且與樣本容量n有關，很自然，我們希望n越大時，n對

的估計應該越精確.如果依概率收斂于,即,有則稱是的一致估計量.(3)一致性無偏性、有效性都是在樣練習題選擇題：以下說法不正確的有___________（A）只有總體服從正態(tài)分布，樣本均值才是總體均值的無偏估計量（B）無論總體服從什么分布，樣本均值一定是總體均值的無偏估計量（C）當總體服從正態(tài)分布時，樣本方差必為總體方差的無偏估計量（D）無論總體服從什么分布，樣本方差一定是總體方差的無偏估計量練習題選擇題：二、參數(shù)的區(qū)間估計定義1設是自總體的一個未知參數(shù),對于給定值,若由來自的樣本確定的兩個統(tǒng)計量和使得成立,則稱為置信水平(或置信度),稱隨機區(qū)間是參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間,和分別為置信下限和置信上限.注:1.區(qū)間包含未知參數(shù)的真值的概率為;2.置信區(qū)間的長度反映了精確要求,區(qū)間越短越精確；3.置信水平反應了區(qū)間估計的可靠性要求,越小越可靠.二、參數(shù)的區(qū)間估計定義1下面討論正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間的計算方法.下面討論正態(tài)總體1.均值的區(qū)間估計（1）方差已知設是來自總體的一個樣本,其中為已知,為未知.由于,所以故有統(tǒng)計量

1.均值的區(qū)間估計（1）方差已知對于給定的置信水平,可選擇使得（1）成立,即

故

由此得由標準正態(tài)分布表可得臨界值.對于給定的置信水平再由（1）式得

即故的一個置信水平為的置信區(qū)間：再由（1）式得例5設總體,從總體中抽取一個樣本值如下:12.6,13.4,12.8,13.2求總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解由題意知,樣本均值的觀測值為由查表得例5設總體,從總體中從而總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：

從而總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：若且方差已知時,求的置信區(qū)間的步驟如下:（1）從總體中隨機抽取容量為的樣本,其觀測值為（2）計算樣本均值的觀測值（3）根據(jù)由查標準正態(tài)分布表,查得臨界值（4）求出總體均值的置信水平為的置信區(qū)間

若（2）方差未知考慮T統(tǒng)計量

（2）方差未知對于給定的置信水平,可選擇t分布的雙側臨界值使得（2）成立,即

查自由度為的t分布表得雙側臨界值從而由（2）得對于給定的置信水平即故的一個置信水平為的置信區(qū)間：即例6已知某地初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布,隨機抽取12名初生嬰兒,測得其體重（單位：g）為:3100,2520,3000,3000,3600,3160，3560,3320,2880,2600,3400,2540.試以0.95的置信水平估計該地初生嬰兒的平均體重.解由,得樣本均值的觀測值為例6已知某地初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布,隨機抽取從而總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：

從而總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：若且方差未知時,求的置信區(qū)間的步驟如下:（1）從總體中隨機抽取容量為的樣本,其觀測值為（2）計算樣本均值和樣本標準差的觀測值（3）根據(jù)和樣本容量查標t分布表,查得臨界值（4）求出總體均值的置信水平為的置信區(qū)間若2.方差的區(qū)間估計設是來自總體的一個樣本,其中為未知.考慮2.方差的區(qū)間估計設對于給定的置信水平,選取區(qū)間

使得

于是

即亦即對于給定的置信水平故方差的一個置信水平為的置信區(qū)間：標準差的一個置信水平為的置信區(qū)間：故方差的一個置信水平為的置例7已知某地初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布,隨機抽取12名初生嬰兒,測得其體重（單位：g）為:3100,2520,3000,3000,3600,3160，3560,3320,2880,2600,3400,2540.試以0.95的置信水平估計該地初生嬰兒體重的方差.解由,得查分布表得例7已知某地初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布,隨機抽取又由例6知從而該地初生嬰兒體重方差以0.95為置信水平的置信區(qū)間為：

又由例6知若且未知時,求的置信區(qū)間的步驟如下:（1）從總體中隨機抽取容量為的樣本,其觀測值為（2）計算樣本均值和樣本標準差的觀測值（3）根據(jù)和樣本容量查標分布表,查得臨界值