直線的傾斜角與斜率課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

在以往的幾何學習中，我們常常通過直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法研究幾何圖形的形狀、大小和位置關系，這種方法通常稱為綜合法．本章我們采用坐標法研究幾何圖形的性質．坐標法是解析幾何中最基本的研究方法．

解析幾何是17世紀法國數(shù)學家笛卡兒和費馬創(chuàng)立的，它的基本內(nèi)涵和方法是：通過坐標系，把幾何的基本元素——點和代數(shù)的基本對象——數(shù)(有序數(shù)對或數(shù)組)對應起來，在此基礎上建立曲線（點的軌跡）的方程，從而把幾何問題轉化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質．解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展史上的一個里程碑，數(shù)學從此進入變量數(shù)學時期，它為微積分的創(chuàng)建奠定了基礎．

本章我們將在平面直角坐標系中，探索確定直線位置的幾何要素，建立直線的方程，并通過直線的方程研究兩條直線的位置關系、交點坐標以及點到直線的距離等．

類似地，通過確定圓的幾何要素，建立圓的方程，再通過圓的方程研究與圓相關的問題；最后應用直線和圓的方程解決一些實際問題．

我們知道，點是構成直線的基本元素．在平面直角坐標系中，可以用坐標表示點，那么，如何用坐標表示直線呢？為了用代數(shù)方法研究直線的有關問題，本節(jié)我們首先在平面直角坐標系中探索確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來．直線傾斜角與斜率學習目標1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導過程，會應用斜率公式求直線的斜率.思考：確定一條直線的幾何要素是什么？對于平面直角坐標系中的一條直線，如何利用坐標系確定它的位置？yxlOABOPxyl1l2l3

在平面直角坐標系中，我們規(guī)定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向為這條直線的方向．1.方向追問：這些直線的區(qū)別是它們的方向不同．如何表示這些直線的方向？

我們看到，這些直線相對于x軸的傾斜程度不同,則他們與x軸所成的角不同．因此,我們可以利用這些角來表示這些直線的方向．2.傾斜角

當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線的傾斜角。規(guī)定:1.當直線與x軸平行或重合時，2.當直線與x軸垂直時，

這樣，在平面直角坐標系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角，而且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不相等.因此，我們可以用傾斜角表示平面直角坐標系中一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向.(1)從運動變化的觀點來看，當直線l與x軸相交時，直線l的傾斜角是由x軸繞直線l與x軸的交點按逆時針方向旋轉到與直線l重合時所得到的最小正角.(2)傾斜角從“形”的方面直觀地體現(xiàn)了直線對x軸正向的傾斜程度.(3)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.注意點：(1)(多選)下列命題中，正確的是A.任意一條直線都有唯一的傾斜角B.一條直線的傾斜角可以為－30°C.傾斜角為0°的直線有無數(shù)條D.若直線的傾斜角為α，則sinα∈(0,1)例1√√(2)(多選)設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為A.α＋45° B.α－135°C.135°－α

D.α－45°√√(1)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為___________.跟蹤訓練160°或120°(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為_____.135°下面我們進一步研究刻畫直線傾斜程度的方法．OxyOxyPPOxyP1P2OxyP2P1PPOxyP2P1OxyP1P2P思考：當直線P1P2與x軸垂直或平行時，上式還成立嗎？（4）當直線P1P2與x軸垂直或平行時，上式還成立嗎？當直線P1P2與x軸垂直時，x1=x2，α=90°，沒有正切值.4.斜率

是否每條直線都有斜率?由正切函數(shù)的單調(diào)性，傾斜角不同的直線，其斜率也不同．因此，我們可以用斜率表示傾斜角不等于90o的直線相對于x軸的傾斜程度，進而表示直線的方向．

練習

練習思考：當直線的傾斜角由0°逐漸增大到180°時，其斜率如何變化?為什么?

1-1y0

當傾斜角α滿足0o≤α<90o且逐漸增大時，斜率k逐漸增大且k＞0;

當傾斜角α=90o，斜率不存在;

當傾斜角α滿足90o<α<180o且逐漸增大時，斜率k逐漸增大，且k＜0.

不能單純理解為傾斜角越大，斜率越大練習1若45°≤≤135°,則斜率k的取值范圍為______________.練習2若-1≤k≤1,則傾斜角

的取值范圍為_________________.[0°,45°]∪[135°,180°)(-∞,-1]∪[1,+∞)我們發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標系中，傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個角度刻畫了直線相對于x軸的傾斜程度．5.過直線上任意兩點的斜率公式直線的斜率與P1和P2的順序無關；利用斜率相等，可以證明三點共線。

追問：1.當直線平行于x軸，或與x軸重合時，上述公式還適用嗎？為什么？答：成立，因為分子為0，分母不為0，所以k=0.追問：2.當直線平行于y軸，或與y軸重合時，上述公式還適用嗎？為什么？答：α=90°，斜率不存在，因為分母為0.6.直線的方向向量結論2

若直線l的斜率為k，則它的一個方向向量的坐標為(1,k).反思感悟(1)利用斜率公式求直線的斜率應注意的事項①運用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因為當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的；②斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關，也就是說公式中的x1與x2，y1與y2可以同時交換位置.(2)在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k01－14.已知a，b，c是兩兩不等的實數(shù)，求經(jīng)過下列兩點的直線的傾斜角:(1)A(a,c)，B(b,c);(2)C(a,b)，D(a,c);(3)P(b,b+c)，Q(a,c+a).

練習

傾斜角和斜率的綜合應用

例3

已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.(1)求直線l的斜率k的取值范圍；要使直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，所以α的取值范圍是45°≤α≤135°.反思感悟傾斜角和斜率的應用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系.(2)涉及直線與線段有交點問題常通過數(shù)形結合利用公式求解.

已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直線AB和AC的斜率；跟蹤訓練3(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍.如圖所示，當D由B運動到C時，直線