高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊(cè)課件1-2-1空間中的點(diǎn)直線與空間向量

1.2.1空間中的點(diǎn)、直線與空間向量第一章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.理解位置向量、方向向量的概念.(數(shù)學(xué)抽象,直觀想象)2.能利用直線的方向向量解決兩條直線所成的角問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.初步了解兩條異面直線的距離的定義.(數(shù)學(xué)抽象)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思一場(chǎng)正規(guī)的足球賽事需要有裁判執(zhí)法才能進(jìn)行.在比賽過(guò)程中,裁判員除了說(shuō)一些必要的語(yǔ)言外,他們更多的是借助專用的手勢(shì)來(lái)把控整場(chǎng)比賽.比如,直接任意球要求裁判單臂側(cè)平舉,明確指示踢球方向;間接任意球要求裁判單臂上舉,掌心向前,此手勢(shì)應(yīng)持續(xù)到球踢出,并被場(chǎng)上其他隊(duì)員觸及或成死球時(shí)為止.這一規(guī)定有著明確的方向性和細(xì)節(jié)要求,必須進(jìn)行專業(yè)培訓(xùn)才能掌握.在不同領(lǐng)域有不同的“語(yǔ)言”,研究空間中的直線及其夾角也可以先提煉出與之有關(guān)聯(lián)的“向量語(yǔ)言”來(lái)進(jìn)行.同學(xué)們,你們知道是如何提煉的嗎?提煉出來(lái)后又將如何運(yùn)用呢?直接任意球手勢(shì)

間接任意球手勢(shì)

知識(shí)點(diǎn)撥1.點(diǎn)的位置向量、直線的方向向量

點(diǎn)的位置向量一般地,如果在空間中指定一點(diǎn)O,那么空間中任意一點(diǎn)P的位置,都可以由向量唯一確定,此時(shí),通常稱為點(diǎn)P的位置向量直線的方向向量一般地,如果l是空間中的一條直線,v是空間中的一個(gè)非零向量,且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合,則稱v為直線l的一個(gè)方向向量.此時(shí),也稱向量v與直線l平行,記作v∥l微思考空間一條直線的方向向量唯一嗎?提示

不唯一.2.空間中兩條直線所成的角設(shè)v1,v2分別是空間中直線l1,l2的方向向量,且l1與l2所成角的大小為θ,則θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>,特別地,sinθ=sin<v1,v2>,cosθ=|cos<v1,v2>|;l1⊥l2?<v1,v2>=?v1·v2=0.微練習(xí)已知直線a,b的方向向量分別是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,則k=

.

答案

-2或-1解析

∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0.∴k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0,∴k=-2或k=-1.3.兩條異面直線的距離一般地,如果l1與l2是空間中兩條異面直線,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,則稱MN為l1與l2的公垂線段.并且空間中任意兩條異面直線的公垂線段都存在并且唯一.兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng),稱為這兩條異面直線之間的距離.微思考怎樣在空間直角坐標(biāo)系中求兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度?提示

利用向量共線、向量垂直的條件建立方程組,求出公垂線段對(duì)應(yīng)的向量,準(zhǔn)確找出公垂線段在圖中的位置,運(yùn)用向量求出公垂線段的長(zhǎng)度.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一利用向量法判定直線的位置關(guān)系例1設(shè)a,b分別是兩條不重合的直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系:①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);②a=(5,0,2),b=(0,4,0).解

①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),∴a=-b.∴a∥b.∴l(xiāng)1∥l2.②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),∴a·b=0.∴a⊥b.∴l(xiāng)1⊥l2.反思感悟解決直線的位置關(guān)系,可用直線對(duì)應(yīng)的方向向量的坐標(biāo)來(lái)刻畫,對(duì)于此類問(wèn)題應(yīng)注意先要進(jìn)行宏觀判斷,再合理地選取坐標(biāo)公式.若直線l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量為u2=(a2,b2,c2).(注:下面的λ,k∈R).1.如果l1∥l2,那么u1∥u2?u1=λu2?(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);2.如果l1⊥l2,那么u1⊥u2?u1·u2=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.變式訓(xùn)練1已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥b D.以上都不對(duì)答案

C探究二異面直線所成的角例2如圖,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大小.反思感悟求解異面直線夾角方法,常用的就是建系后利用向量的坐標(biāo)處理,除此之外還要注意其他方法的要領(lǐng).(1)傳統(tǒng)法:作出與異面直線所成角相等的平面角,進(jìn)而構(gòu)造三角形求解.這種方法靈活技巧性強(qiáng),強(qiáng)調(diào)對(duì)夾角定義的挖掘.運(yùn)用向量法常用兩種途徑:①基底法在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中,我們經(jīng)常采用取定基底的方法,這是小技巧.在由公式cos<a,b>=求向量a,b的夾角時(shí),關(guān)鍵是求出a·b及|a|與|b|,一般是把a(bǔ),b用基向量表示出來(lái),再求有關(guān)的量.②坐標(biāo)法根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法求線線角,避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟,使過(guò)程變得簡(jiǎn)單.變式訓(xùn)練2

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分別是BD和AD的中點(diǎn),則B1M與D1N所成角的余弦值為(

)答案

A解析

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則

探究三證明線線垂直問(wèn)題例3如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分別為AC,DC的中點(diǎn).求證:EF⊥BC.證明

由題意,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,反思感悟證明兩直線垂直的基本步驟建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.對(duì)于幾何體為三棱錐的情況一定要注意建系的重要性,要使已知數(shù)據(jù)和所用的點(diǎn)更多地落在坐標(biāo)平面或坐標(biāo)軸上為標(biāo)準(zhǔn).本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直這一條件.變式訓(xùn)練3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1,M是底面上BC邊的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且CN=CC1.求證:AB1⊥MN.證明

設(shè)AB中點(diǎn)為O,作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB所在直線為x軸,OC所在直線為y軸,OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.探究四求異面直線的距離例4已知三棱錐S-ABC中,SA=BC=13,SB=AC=14,SC=AB=15,求異面直線AS與BC的距離.分析此題是將不易直接求解的幾何體,補(bǔ)成一個(gè)易求解的幾何體的典型例子,有時(shí)還常把殘缺形體補(bǔ)成完整形體,不規(guī)則形體補(bǔ)成規(guī)則形體,不熟悉形體補(bǔ)成熟悉形體等.所以,把三棱錐的四個(gè)面聯(lián)想到長(zhǎng)方體割去四個(gè)直三棱錐所得,故將三棱錐轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體.解

構(gòu)造如圖所示長(zhǎng)方體,使得長(zhǎng)方體中三個(gè)相鄰矩形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為13,14,15.設(shè)AD=x,BD=y,SD=z,則x2+y2=AB2,y2+z2=SB2,x2+z2=SA2,由長(zhǎng)方體性質(zhì),可知BD⊥平面ADSF,BD⊥平面BGCE,平面ADSF∥平面BGCE,則BD為平面ADSF和平面BGCE之間的距離.又AS?平面ADSF,BC?平面BGCE,則BD的長(zhǎng)度就是異面直線AS與BC的距離,要點(diǎn)筆記利用定義法和割補(bǔ)法求解異面直線的距離的思路定義法就是先作出公垂線,再求公垂線的長(zhǎng),而本例中的割補(bǔ)法實(shí)際上是把所求距離轉(zhuǎn)化為平行平面間的距離問(wèn)題.變式訓(xùn)練4已知邊長(zhǎng)為a的兩個(gè)正方形ABCD和CDEF成120°的二面角,求異面直線CD與AE間的距離.解

由四邊形ABCD和CDEF是正方形,得CD⊥AD,CD⊥DE,即CD⊥平面ADE,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H,可得DH⊥AE,DH⊥CD,所以DH是異面直線AE,CD的公垂線.素養(yǎng)形成易錯(cuò)點(diǎn)——因混淆向量夾角與異面直線的夾角而致錯(cuò)案例如圖,已知?ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將它沿對(duì)角線AC折起,使AB與CD成60°角,求B,D間的距離.錯(cuò)解

如圖,因?yàn)椤螦CD=90°,錯(cuò)因分析

由異面直線AB與CD成60°角得到

所成的角為60°,這是錯(cuò)誤的.混淆了異面直線所成的角與向量的夾角的定義,從而致誤.向量的夾角與向量的方向有關(guān)系,且向量的夾角的范圍為0≤θ≤π;異面直線的夾角與直線的方向沒有關(guān)系,異面直線的夾角的范圍是0<θ≤.兩者的范圍不一樣.【規(guī)范答題】正解

因?yàn)椤螦CD=90°,當(dāng)堂檢測(cè)1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量是(

)A.(2,2,6) B.(-1,1,3)C.(3,1,1) D.(-3,0,1)答案

A解析

∵A,B在直線l上,∴

=(1,1,3),與

共線的向量(2,2,6)可以是直線l的一個(gè)方向向量.2.設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,則m等于(

)A.-2 B.2C.10 D.6答案

C解析

因?yàn)閍⊥b,故a·b=0,即-2×3+2×(-2)+m=0,解得m=10.3.已知a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且A