江西省撫州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展水平測(cè)試（期末）數(shù)學(xué)試題

撫州市20222023學(xué)年度下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展水平測(cè)試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，則它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義直接判斷【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故選：D2.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可得.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，所以.故選：A3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和誘導(dǎo)公式，分別求得，即可求解.【詳解】由，可得，又由，，所以.故選：D.4.四邊形直觀圖為如圖矩形，其中，，則四邊形的周長為（）A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫法結(jié)合題意將直觀圖還原為原四邊形，再求出其邊長即可得答案【詳解】由題意可得四邊形為平行四邊形，如圖所示，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，所以所以四邊形的周長為，故選：C5.已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又向量，的夾角為，且，所以，所以在方向上的投影向量為.故選：D6.若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理得到，再利用余弦定理和得到.【詳解】因?yàn)?，所以，利用正弦定理可得：，所以，又，所以，解得?故選：C.7.把邊長為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面與平面所成二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出圖形，利用空間向量基本定理轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，所以為平面與平面所成二面角的平面角，即，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，即，得，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡得出，由可求出的取值范圍，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可得出實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，所以，，解得，因此，的最小值為.故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知角的終邊在第一象限，那么角的終邊可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】AC【解析】【分析】先寫出角的終邊在第一象限角的集合，再通過運(yùn)算求解判斷即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊在第一象限，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，則終邊在第一象限；當(dāng)時(shí)，，則終邊在第三象限；所以角的終邊可能在第一象限或第三象限.故選：AC10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象D.若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)的解析式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A：由圖可知，，所以，所以，則，將點(diǎn)代入得：，所以，，又，所以，所以，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因，所以函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，由條件結(jié)合圖象可知，于是，所以，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.有最小值 D.在上為增函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換的公式，化簡得到，結(jié)合正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)，對(duì)于A中，由，所以的最小正周期為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B正確；對(duì)于C中，由函數(shù)的值域?yàn)椋傻?，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得，可得函數(shù)單調(diào)遞增，所以在上也單調(diào)遞增，所以D正確.故選：BD.12.如圖，在棱長為1的正方體中，則（）A.平面B.平面平面C.與平面所成角大小為D.平面與平面所成二面角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】證明，即可判斷A，證明平面，即可判斷B，設(shè)，連接，則即為直線與平面所成角，即可判斷C，取的中點(diǎn)，連，，，則為平面與平面所成的角，利用余弦定理計(jì)算即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：∵，平面，平面，所以，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故B正確，對(duì)于C：設(shè)，連接，因?yàn)槠矫妫约礊橹本€與平面所成角，又，所以，即直線與平面所成角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，取的中點(diǎn)，連，，，則，，又平面，平面，所以，所以，所以為平面與平面所成的角，又，，，∴，所以平面與平面所成二面角的余弦值為，故D正確；故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，若，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解?故答案為：14.已知，則________．【答案】##【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)化簡變形，轉(zhuǎn)化為含正切的式子，然后代值計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：15.以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)弧長公式求出三角形邊長，再根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈拈L度為，所以，，所以勒洛三角形的面積是.故答案為：.16.在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為________．【答案】##【解析】【分析】取的中點(diǎn)，由題意知和都是等邊三角形，從而可得，得是二面角的平面角，即，設(shè)球心為，和的中心分別為，則平面，平面，從而可求出外接球的半徑，進(jìn)而可求得球的表面積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以和都是等邊三角形，所以，所以是二面角的平面角，即，設(shè)球心為，和的中心分別為，則平面，平面，因?yàn)?，公共邊，所以≌，所以，因，所以，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三棱錐外接球問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出三棱錐外接球的球心的位置，從而可求出球的半徑，考查空間想象能力，屬于較難題.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟17.已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)虛根（是虛數(shù)單位，）．（1）求；（2）復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，求出的值，即可得解；（2）首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到方程（不等式）組，解得即可.小問1詳解】∵，∴，∴且，∴，∴，則.【小問2詳解】∵，又為純虛數(shù)，∴且，∴.18.已知，，如圖，在中，點(diǎn)，滿足，，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線．（1）用，來表示；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則即可得；（2）由，結(jié)合結(jié)論可得，再利用基本不等式求的最小值．【小問1詳解】∵∴∴【小問2詳解】∵，，∴，，∴，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴，∴，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的最小值為．19.已知函數(shù)．（1）求對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值及相應(yīng)的值．【答案】（1）對(duì)稱中心，，增區(qū)間（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角和輔助角化簡，然后由余弦函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性求解可得；（2）利用換元法，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得.【小問1詳解】∵，由得，∴的對(duì)稱中心，，由得，∴的增區(qū)間為.【小問2詳解】令，則，∵，∴，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，∴．20.在平行四邊形中，，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．如圖2．（1）證明：直線平面；（2）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且平面平面，求三棱錐與三棱錐的體積之比．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在平面圖形中證明，即可得到，，從而得證；（2）根據(jù)面面垂直得到平面，再求出，，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.【小問1詳解】如圖1在，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴，，∴，如圖2，，，∵，平面，∴平面．【小問2詳解】∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，，又，所以，∴，，∵，，又∵，∴．21.已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，．（1）求角；（2）若點(diǎn)在邊上，且滿足，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，然后由和差公式化簡可得；（2）由余弦定理和基本不等式可知三角形面積最大時(shí)的形狀，然后由余弦定理可得.【小問1詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，，∴．【小問2詳解】∵，∴，∴，，∴僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)三角形面積有最大值，因?yàn)椋?，所以為正三角形，所以，又∵，∴，在中，，所以∴?2.函數(shù)．（1）證明：函數(shù)是偶函數(shù)，并求最小值；（2）若，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析，最小值為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可證得函數(shù)為偶函數(shù)，令，可得，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合在為增