三角形的高中線角平分線人教版八年級數(shù)學(xué)上冊

11.1.2三角形的高、中線與角平分線第十一章三角形君子成人之美，不成人之惡學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握三角形的高，中線及角平分線的概念.（重點(diǎn)）2.掌握三角形的高，中線及角平分線的畫法.3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.（難點(diǎn)）君子成人之美，不成人之惡知識回顧概念三角形三角形的分類三角形的三邊關(guān)系按角分類按邊分類三角形兩邊的和大于第三邊三角形兩邊的差小于第三邊邊、頂點(diǎn)、角君子成人之美，不成人之惡回顧舊知畫一個三角形，思考下列問題.(1)

畫一個三角形，指出三角形的重要要素.(2)

關(guān)于頂點(diǎn)、邊(線段)、角，你聯(lián)系到那些知識？A

B

C

a

b

c

頂點(diǎn)、

邊(線段)、

角垂線中點(diǎn)角平分線高

線中

線角平分線君子成人之美，不成人之惡復(fù)習(xí)回顧導(dǎo)入新課

定義

圖示垂線線段中點(diǎn)角平分線OBAAB當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線君子成人之美，不成人之惡你還記得“過一點(diǎn)畫已知直線的垂線”嗎?012345012345678910012345678910012345678910012345012345放、靠、過、012345678910012345012345012345678910012345012345畫.思考：過三角形的一個頂點(diǎn)，你能畫出它的對邊的垂線嗎?復(fù)習(xí)導(dǎo)入導(dǎo)入新課君子成人之美，不成人之惡三角形的高一三角形的高的定義A從三角形的一個頂點(diǎn)，BC向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足D之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高.如右圖,線段AD是BC邊上的高.和垂足的字母.注意!標(biāo)明垂直的記號012345678910012345012345講授新課君子成人之美，不成人之惡表示方法：從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.記作AD⊥BC于點(diǎn)D.知識點(diǎn)1三角形的高新知探究ABCD三角形的高是一條垂線段君子成人之美，不成人之惡新知探究BCA

從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形這邊上的高，簡稱三角形的高.D∵

∠ADB=90°∴

AD是△ABC的高∵

AD是△ABC的高②∠ADB=∠CDA=90°∴

①AD⊥BC,垂足為D君子成人之美，不成人之惡思考：你還能畫出一條高來嗎？一個三角形有三個頂點(diǎn)，應(yīng)該有三條高.君子成人之美，不成人之惡(1)

你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？O(3)銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?銳角三角形的三條高交于同一點(diǎn)；銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.銳角三角形的三條高如圖所示；君子成人之美，不成人之惡直角邊BC邊上的高是

;直角邊AB邊上的高是

;(2)AC邊上的高是

;直角三角形的三條高ABC(1)

畫出直角三角形的三條高,ABBC它們有怎樣的位置關(guān)系？D直角三角形的三條高交于直角頂點(diǎn).BD君子成人之美，不成人之惡鈍角三角形的三條高

(1)你能畫出鈍角三角形的三條高嗎？ABCDEF(2)AC邊上的高呢？AB邊上呢？BC邊上呢？BFCEAD君子成人之美，不成人之惡ABCDF(3)鈍角三角形的三條高交于一點(diǎn)嗎？(4)它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎？OE鈍角三角形的三條高不相交于一點(diǎn)；鈍角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn).君子成人之美，不成人之惡新知探究

三角形高的數(shù)量

高的位置

高的關(guān)系333都在三角形內(nèi)部一條在三角形內(nèi)部，兩條是三角形的兩條直角邊一條在三角形外部，兩條在三角形內(nèi)部相交于一點(diǎn)在三角形內(nèi)部相交于一點(diǎn)為點(diǎn)C相交于一點(diǎn)在三角形外部垂心君子成人之美，不成人之惡張大爺有一塊三角形土地，他想平均分給兩個兒子，并且兩人所得土地都得挨著水井A，都得靠道路BC.你能幫張大爺出主意嗎？情境導(dǎo)入君子成人之美，不成人之惡0難點(diǎn)知識▲三角形的中線在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.∵AD是△ABC的中線三角形中線的理解新知探究君子成人之美，不成人之惡畫出三角形的三條中線，并認(rèn)真觀察三條中線的位置關(guān)系.ABC●●EFOD三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部，并且相交于一點(diǎn)，這個點(diǎn)就是三角形的重心.新知探究君子成人之美，不成人之惡EABCD解：相等.∵D是BC的中點(diǎn)∴BD=DC而△ABD的面積=BD×AE△ADC的面積=DC×AE△ABD的面積與△ADC的面積相等例1：如圖,在△ABC中,AD,AE分別是BC邊上的中線和高.試判斷△ABD和△ADC的面積是否相等中線的性質(zhì)新知探究君子成人之美，不成人之惡三角形的任意一條中線把這個三角形分成了兩個面積相等的三角形總結(jié)歸納幾何語言：∵BD是△ABC的中線∴AD=CD(中線定義)∴S△ABD=S△CBD(等底同高)君子成人之美，不成人之惡1.如圖，AD為△ABC的中線，E為邊AD上的中點(diǎn)，且△AEC的面積為3，則△ABC的面積為________．應(yīng)用練習(xí)君子成人之美，不成人之惡應(yīng)用練習(xí)

君子成人之美，不成人之惡3.有一質(zhì)地均勻的三角形鐵片，若阿龍想用木棒撐住此鐵片，則支撐點(diǎn)應(yīng)設(shè)在該三角形的

處最恰當(dāng).例題講解-重心及應(yīng)用君子成人之美，不成人之惡4.已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,點(diǎn)A，B，C，P均在格點(diǎn)上,則點(diǎn)P叫做△ABC的()A.內(nèi)心B.重心C.外心D.無法確定應(yīng)用練習(xí)君子成人之美，不成人之惡知識點(diǎn)

三角形的角平分線

在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。如圖，AD是△ABC的角平分線，則AD平分∠BAC，即∠1=∠2.

三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)。君子成人之美，不成人之惡如圖,在△ABC中,BD是∠ABC的角平分線,已知∠ABC=80°,則∠DBC=___°.例題講解君子成人之美，不成人之惡如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=52°，AD平分∠BAC，求∠DAC的度數(shù).應(yīng)用練習(xí)君子成人之美，不成人之惡

課堂小結(jié)三角形中的重要線段線段位置交點(diǎn)位置高銳角三角形直角三角形鈍角三角形中線角平分線一條高位于三角形內(nèi)部，另外兩條高位于三角形外部全在三角形內(nèi)部全在三角形內(nèi)部一條高位于三角形內(nèi)部，另外兩條高與直角邊重合全在三角形內(nèi)部在三角形內(nèi)部在三角形直角頂點(diǎn)在三角形外部在三角形內(nèi)部（重心）在三角形內(nèi)部君子成人之美，不成人之惡1.如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，則下列說法中正確的是（）A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高 C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高【解析】因?yàn)椤螦BC=90°，BD⊥AC于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，所以DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高.故選D．D

課堂訓(xùn)練君子成人之美，不成人之惡2.下列說法正確的是（）A．三角形的三條高線交于一點(diǎn) B．直角三角形有三條高 C．三角形的高、中線、角平分線一定在三角形的內(nèi)部 D．三角形的角平分線是射線 B【解析】A.三角形三條高線所在的直線一定交于一點(diǎn)，但三角形的三條高線不一定交于一點(diǎn)，比如鈍角三角形，因?yàn)楦呔€是線段不可延長，故錯誤；C.銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部；直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部．D.三角形的角平分線是線段.故選B．君子成人之美，不成人之惡3.如圖，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC邊上的中線，若△ABD的周長為30，則△BCD的周長是（）A．20 B．24 C．26 D．28B【解析】方法一：因?yàn)锽D是AC邊上的中線，所以AD=CD．因?yàn)椤鰽BD的周長為30，所以AB+BD+AD=30．所以BD+AD=30﹣AB=30﹣15=15．所以△BCD的周長為BC+CD+BD=BC+AD+BD=9+15=24．方法二：因?yàn)锽D是AC邊上的中線，所以△ABD的周長-△BCD的周長=AB-BC=15-9=6．又因?yàn)椤鰽BD的周長為30，所以△BCD的周長=30﹣6=24．故選B．君子成人之美，不成人之惡4.如圖所示，∠1=∠2，∠3=∠4，則下列結(jié)論正確的有（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個C【解析】因?yàn)椤?=∠2，所以AE平分∠DAF，故③正確；又因?yàn)椤?=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，所以AE平分∠BAC，故⑤正確．故選C．君子成人之美，不成人之惡5.如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ADC的中線