15第十五章分析靜力學(xué)課案

第十五章分析靜力學(xué)

分析靜力學(xué)主要研究受約束的質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體、剛體系在力系作用下的平衡規(guī)律。是研究平衡問題的最一般的原理。

在第一篇靜力學(xué)中，我們從靜力學(xué)公理出發(fā)，通過力系的簡化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統(tǒng)的平衡問題，稱為矢量靜力學(xué)。

與分析力學(xué)的另一個(gè)原理，達(dá)朗伯原理相結(jié)合，就可以將靜力學(xué)的結(jié)論擴(kuò)展到動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域。2023/10/41理論力學(xué)CAIW1FW2F

如何確定升降機(jī)液壓油缸的推力F與載荷的關(guān)系？2023/10/42理論力學(xué)CAIoF2F1ab虛位移原理的思想：幾何靜力學(xué)的平衡方程2023/10/43理論力學(xué)CAIoF2F1ab功能原理的方程利用動(dòng)能定理得到與幾何靜力學(xué)同樣的平衡條件，即用動(dòng)的方法來處理靜的問題。2023/10/44理論力學(xué)CAI15.1虛位移和虛速度1.位形空間和約束曲面質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的3n個(gè)坐標(biāo)的集合，定義為質(zhì)點(diǎn)系的位形。建立抽象的3n維正交歐氏空間〔x1,x2,…x3n),稱為質(zhì)點(diǎn)系的位形空間。質(zhì)點(diǎn)系所受到的約束，可用聯(lián)系位形與時(shí)間的約束方程表示，那么稱為幾何約束或完整約束。約束－物體運(yùn)動(dòng)所受到的限制。2023/10/45理論力學(xué)CAI

定常約束與非定常約束定常約束－約束方程中不顯含時(shí)間的約束：非定常約束－約束方程中顯含時(shí)間的約束：2023/10/46理論力學(xué)CAI定常約束——約束條件不隨時(shí)間改變的約束。x2+y2=l22023/10/47理論力學(xué)CAI非定常約束如果轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律(例如以等角速度旋轉(zhuǎn))，這種轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律就是對(duì)系統(tǒng)的約束，約束方程為：這種約束即為非定常約束。

2023/10/48理論力學(xué)CAI雙側(cè)約束與單側(cè)約束雙側(cè)約束——約束方程可以寫成等式的約束。

單側(cè)約束——約束方程寫成不等式的約束。2023/10/49理論力學(xué)CAIByxO雙側(cè)約束與單側(cè)約束ByxO只能限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系單一方向運(yùn)動(dòng)的約束稱為單側(cè)約束。滑塊B2023/10/410理論力學(xué)CAIyxOAA0lyxOAA0l單擺2023/10/411理論力學(xué)CAI完整約束與非完整約束

完整約束——約束方程不包含質(zhì)點(diǎn)速度，或者包含質(zhì)點(diǎn)速度但約束方程是可以積分的約束。非完整約束——約束方程包含質(zhì)點(diǎn)速度、且約束方程不可以積分的約束。2023/10/412理論力學(xué)CAI圓輪在平面上純滾動(dòng)圓輪所受約束為完整約束。COyxC*約束方程2023/10/413理論力學(xué)CAI追蹤系統(tǒng)OyxvAABxAyAxByB約束方程不可積分，所以導(dǎo)彈所受的約束為非完整約束。2023/10/414理論力學(xué)CAI

對(duì)于完整約束系統(tǒng)，唯一地確定系統(tǒng)在空間位形的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目，也就是廣義坐標(biāo)的數(shù)目，稱為系統(tǒng)的自由度數(shù)。

對(duì)于非完整約束系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的數(shù)目大于自由度數(shù)。這時(shí)，系統(tǒng)的自由度等于獨(dú)立的虛位移數(shù)目。

在虛位移這章中我們只討論質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系受定常、雙側(cè)、完整約束的情況。2023/10/415理論力學(xué)CAI2.可能位移、實(shí)位移和虛位移滿足約束方程的無限小位移稱為質(zhì)點(diǎn)系的可能位移。質(zhì)點(diǎn)系實(shí)際發(fā)生的微小位移稱為實(shí)位移。

在約束允許條件下，各質(zhì)點(diǎn)可能發(fā)生的與時(shí)間變化無關(guān)的位移，稱為質(zhì)點(diǎn)系的虛位移。2023/10/416理論力學(xué)CAI虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號(hào)

表示虛位移。2023/10/417理論力學(xué)CAI

實(shí)位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運(yùn)動(dòng)而實(shí)際發(fā)生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。實(shí)位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移那么是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。

實(shí)位移是在一定的時(shí)間內(nèi)發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時(shí)間無關(guān)。實(shí)位移和虛位移2023/10/418理論力學(xué)CAI在定常約束下，虛位移就是可能位移，就是實(shí)位移。而在非定常約束下，虛位移不一定等同與可能位移。2023/10/419理論力學(xué)CAI凡約束力對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移所作的元功之和為零的約束，稱為理想約束。質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束的條件：§15.2虛位移原理1.理想約束2023/10/420理論力學(xué)CAI理想約束：1、光滑面約束2、鉸鏈約束3、圓輪在平面上作純滾動(dòng)2023/10/421理論力學(xué)CAI

2.虛功原理受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的必要與充分條件為：系統(tǒng)內(nèi)所有主動(dòng)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移所作的元功之和等于零。2023/10/422理論力學(xué)CAI3.虛功率原理

受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的必要與充分條件為：系統(tǒng)內(nèi)所有主動(dòng)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的任意虛速度所作的元功率之和等于零。2023/10/423理論力學(xué)CAI

虛位移原理的應(yīng)用1、系統(tǒng)在給定位置平衡時(shí)，求主動(dòng)力之間的關(guān)系；2、求系統(tǒng)在主動(dòng)力作用下的平衡位置；3、求平衡系統(tǒng)的約束反力；4、求平衡結(jié)構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)二力桿的內(nèi)力。2023/10/424理論力學(xué)CAI建立系統(tǒng)主動(dòng)力之間的關(guān)系2023/10/425理論力學(xué)CAI例圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿AB長l，桿重和滑道摩擦不計(jì)，在主動(dòng)力F1和F2作用下于圖示位置平衡，求主動(dòng)力之間的關(guān)系。解：研究整個(gè)機(jī)構(gòu)。系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。2023/10/426理論力學(xué)CAI

1.分析法2023/10/427理論力學(xué)CAI2.虛功率原理：2023/10/428理論力學(xué)CAI機(jī)構(gòu)如圖，：OA=O1B=L，O1BOO1，力偶矩M。試用虛位移原理求圖示位置平衡時(shí)，力F的大小。由虛位移原理有2023/10/429理論力學(xué)CAI取A為動(dòng)點(diǎn)，擺桿為動(dòng)系2023/10/430理論力學(xué)CAI以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)至少有一個(gè)自由度。假設(shè)系統(tǒng)存在非理想約束，如彈簧力、摩擦力等，可把它們計(jì)入主動(dòng)力，那么系統(tǒng)又是理想約束系統(tǒng)，可選為研究對(duì)象。應(yīng)用虛位移原理求解質(zhì)點(diǎn)系平衡問題的步驟1、正確選取研究對(duì)象：假設(shè)要求解約束反力，需解除相應(yīng)的約束，代之以約束反力，并計(jì)入主動(dòng)力。應(yīng)逐步解除約束，每一次研究對(duì)象只解除一個(gè)約束，將一個(gè)約束反力計(jì)入主動(dòng)力，增加一個(gè)自由度。2023/10/431理論力學(xué)CAI

2、正確進(jìn)行受力分析：畫出主動(dòng)力的受力圖，包括計(jì)入主動(dòng)力的彈簧力、摩擦力和待求的約束反力。3、正確進(jìn)行虛位移分析，確定虛位移之間的關(guān)系。4、應(yīng)用虛位移原理建立方程。5、解虛功方程求出未知數(shù)。2023/10/432理論力學(xué)CAI圖示機(jī)構(gòu)在重物W及彈簧約束下處于平衡，桿長L，彈簧系數(shù)為

k，原長為b。不計(jì)桿重，求平衡條件。2023/10/433理論力學(xué)CAI求支座B的約束力

2023/10/434理論力學(xué)CAI2023/10/435理論力學(xué)CAI2023/10/436理論力學(xué)CAI2023/10/437理論力學(xué)CAI2023/10/438理論力學(xué)CAI求1、2、3桿的內(nèi)力

2023/10/439理論力學(xué)CAI2023/10/440理論力學(xué)CAI2023/10/441理論力學(xué)CAI求多跨靜定梁的A支座約束力BG=GC=CD，AB=DE=2BG2023/10/442理論力學(xué)CAI例多跨靜定梁，求支座A處反力。2023/10/443理論力學(xué)CAI解：將支座A除去，代入相應(yīng)的約束力F

A。2023/10/444理論力學(xué)CAI2023/10/445理論力學(xué)CAI勻質(zhì)圓輪O，半徑為R，重W，勻質(zhì)直桿AB長，重W，不計(jì)滑塊B重量，試用虛位移原理求解圖示系統(tǒng)在力偶M作用下位于圖示位置平衡時(shí)的鉛垂力F。2023/10/446理論力學(xué)CAI圓盤重力不做虛功2023/10/447理論力學(xué)CAIFExFBD平面平衡結(jié)構(gòu)，力F，平面力偶m，AB＝L，BC＝2L，CD＝ED，BD為水平，不計(jì)自重及摩擦。求：〔1〕BD桿內(nèi)力；〔2〕鉸鏈E處的水平約束力。2023/10/448理論力學(xué)CAI解：1、切斷BD桿，代之以內(nèi)力分析力作用點(diǎn)的虛速度之間的關(guān)系2023/10/449理論力學(xué)CAI2023/10/450理論力學(xué)CAI2、解除鉸鏈E處水平約束，代之水平約束力分析力作用點(diǎn)的虛速度之間的關(guān)系2023/10/451理論力學(xué)CAI圖示平面平衡系統(tǒng)，AB＝1.5L，BD＝DE＝L，AB、DE處于水平位置。F作用在DE中點(diǎn)，q為均勻載荷，滑塊E與接觸面的摩擦系數(shù)為0.7，不計(jì)所有剛體的重量。求：固定端A處的約束力。2023/10/452理論力學(xué)CAI1.解除水平約束，代之水平約束力。分析力作用點(diǎn)的虛速度之間的關(guān)系設(shè)E點(diǎn)不動(dòng)，確定B、D點(diǎn)的虛速度2023/10/453理論力學(xué)CAI2023/10/454理論力學(xué)CAI2.解除垂直約束，代之垂直約束力。分析力作用點(diǎn)的虛速度之間的關(guān)系設(shè)E點(diǎn)不動(dòng)，確定B、D點(diǎn)的虛速度2023/10/455理論力學(xué)CAI2023/10/456理論力學(xué)CAI3.解除轉(zhuǎn)動(dòng)約束，代之轉(zhuǎn)動(dòng)約束力偶。分析力作用點(diǎn)的虛速度之間的關(guān)系設(shè)E點(diǎn)不動(dòng)，確定B、D點(diǎn)的虛速度2023/10/457理論力學(xué)CAI2023/10/458理論力學(xué)CAI7.用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義坐標(biāo)

第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑

選擇

f個(gè)廣義坐標(biāo)q1q2····qf

以確定系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置。第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移2023/10/459理論力學(xué)CAI主動(dòng)力的虛功用廣義坐標(biāo)表示為Qj稱為與第j個(gè)廣義坐標(biāo)qj對(duì)應(yīng)的廣義力。2023/10/460理論力學(xué)CAI虛位移原理的另一種表達(dá)形式虛功形式虛功率形式2023/10/461理論力學(xué)CAI用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件為受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡充分必要條件為：所有與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力均等于零。具體計(jì)算廣義力有三種方法2023/10/462理論力學(xué)CAI〔1〕公式法2023/10/463理論力學(xué)CAI當(dāng)時(shí)，則廣義力為：〔2〕虛功法2023/10/464理論力學(xué)CAI當(dāng)時(shí)，則廣義力為：虛功率法2023/10/465理論力學(xué)CAI系統(tǒng)有幾個(gè)自由度？2023/10/466理論力學(xué)CAI自由度15-13=22023/10/467理論力學(xué)CAI2023/10/468理論力學(xué)CAI在圖示機(jī)構(gòu)中，：勻質(zhì)細(xì)桿AC和BC長均為L，質(zhì)量均為m。假設(shè)在滑塊B處作用一水平常力。試用虛位移原理求系統(tǒng)的廣義力。2023/10/469理論力學(xué)CAI系統(tǒng)自由度為1，取q

為廣義坐標(biāo)。2023/10/470理論力學(xué)CAI圖示結(jié)構(gòu)位于鉛垂面內(nèi)，由有相同的勻質(zhì)細(xì)桿組成。：桿長均為L，質(zhì)量均為m，作用兩力偶矩均為M的力偶。試用虛位移原理求系統(tǒng)的廣義力。2023/10/471理論力學(xué)CAI自由度為2，取j

和y

為廣義坐標(biāo)。2023/10/472理論力學(xué)CAI2023/10/473理論力學(xué)CAI平面機(jī)構(gòu)，在力F、力偶M1、M2作用下，在圖示位置平衡，設(shè)OA=r，處于垂直，CD與OA平行，不計(jì)自重。假設(shè)M1，試用虛位移原理求M2與F的大小。2023/10/474理論力學(xué)CAI解：1.先使CD桿不動(dòng)，那么C點(diǎn)的虛速度為零。2023/10/475理論力學(xué)CAI

2023/10/476理論力學(xué)CAI2.先使OA桿不動(dòng)，那么A點(diǎn)的虛速度為零。2023/10/477理論力學(xué)CAI15.3

勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件及穩(wěn)定性如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力都是有勢(shì)力，其勢(shì)能函數(shù)可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)將廣義力的表達(dá)式寫成分量的形式1.勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件2023/10/478理論力學(xué)CAI2023/10/479理論力學(xué)CAI勢(shì)力場(chǎng)中的廣義力

勢(shì)力場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)于第

j個(gè)廣義坐標(biāo)qj的廣義力等于系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)這一廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)的負(fù)數(shù)。2023/10/480理論力學(xué)CAI勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系平衡的充要條件為：質(zhì)點(diǎn)系在平衡位置處勢(shì)能取