遞推公式化通項公式

求遞推數(shù)列通項公式的常用方法求遞推數(shù)列通項公式是數(shù)列知識的一個重點，也是一個難點，高考也往往通過考查遞推數(shù)列來考查學(xué)生對知識的探索能力，求遞推數(shù)列的通項公式一般是將遞推公式變形，推得原數(shù)列是一種特殊的數(shù)列或原數(shù)列的項的某種組合是一種特殊數(shù)列，把一些較難處理的數(shù)列問題化為中學(xué)中所研究的等差或等比數(shù)列，下面就求遞推數(shù)列通向公式的常用方法舉例一二，供參考：一公式法：利用熟知的的公式求通項公式的方法稱為公式法，常用的公式有a—S—S (n>2)，等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式。n n n—1例一已知無窮數(shù)列｛a例一已知無窮數(shù)列｛a｝的前n項和為S，并且a+Sn nn—1(ngN*),求｛a｝的通項n公式？【解析】：tS—1—an【解析】：tS—1—an,.?.a—S—Sn+1 n+1 na—a，又an+1 2n 1反思：利用相關(guān)數(shù)列｛a｝與｛S｝的關(guān)系：a1—S,a=S1n—S (n>2)與提設(shè)條件,n—1nn建立遞推關(guān)系,是本題求解的關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1.已知數(shù)列｛a｝的前n項和S，滿足關(guān)系lg(sn1)—n(n—1,2…).試證數(shù)列nn｛a｝是等比數(shù)列.n二歸納法：由數(shù)列前幾項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.例二已知數(shù)列｛a｝中，a—1，a—2a+1(n>2),求數(shù)列｛a｝的通項公式.n 1 n n—1 n【解析】：Ta—1，a—2a +1(n>2)，a—2a+1—3，a—2a+1—7?…1 n n—1 2 1 3 2猜測a—2n—1(ngN*)，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(略)n反思：用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.跟蹤訓(xùn)練2?設(shè)｛a｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為S，并且對于所有自然數(shù)n,a與n n n1的等差中項等于S與1的等比中項，求數(shù)列｛a｝的通項公式.三累加法：利用a三累加法：利用a—a+(a—a)+???(a—a)求通項公式的方法稱為累加法。累加法1 2 1 n n—1n+1是求型如a—a+f(n)的遞推數(shù)列通項公式的基本方法(f(n)可求前n項和)n+1例三已知無窮數(shù)列｛a｝的的通項公式是a,若數(shù)列｛b｝例三已知無窮數(shù)列｛a｝的的通項公式是a,若數(shù)列｛b｝滿足b=1,1，求數(shù)列｛b｝的通項公式.【解析】：b=1,b—b=1=2—(n>1)b=b+(b—b)+???(b—b)=1+丄+??+n1 2 1 n n—1 2反思:用累加法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為a=a+f(n).n+1 n跟蹤訓(xùn)練3.已知a11,a2n+1(ngN*),求數(shù)列｛a｝通項公式.n累乘法:利用恒等式a=aZ6???仲(a豐0,n>2)求通項公式的方法稱為累乘法,n1aaan累乘法是求型如:1 2 n—累乘法是求型如:=g(n)a的遞推數(shù)列通項公式的基本方法(數(shù)列g(shù)(n)可求前n項積).例四已知a=1,a=n(例四已知a=1,a=n(a—a)(ngN*),求數(shù)列｛a｝通項公式.解析】：a=n(an+1nn+1 aaa,乂有a=a 2—3…一—(ann1aaa1 2 n—1豐0,n>2)=2 3I2 3IXx—x…x12n-1=n，當(dāng)n=1時a=1，滿足a=n,a=n.1 n n反思：用累乘法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為a=g(n)a.n跟蹤訓(xùn)練4.已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,a=a+2a+3a+???+(n—1)a(n>2).則n 1 n1 2 3 n—1｛a｝的通項公式是.n構(gòu)造新數(shù)列：將遞推公式a=qa+d(q,d為常數(shù)，q豐0,d豐0)通過n+1n(a+x)=qa+x與原遞推公式恒等變成a+ =q(a+ )的方法叫構(gòu)造新n+1 n n+1 q—1nq—1數(shù)列.例五 已知數(shù)列｛a｝中，a=1,a=2a+1(n>2)，求｛a｝的通項公式.n 1 n n—1 n【解析】利用(a+x)=2(a+x)，求得a+1=2(a+1) ｛a+1｝是首項為n n—1 n n—1 n

a+1=2,公比為2的等比數(shù)列，即a+1=2”，.?.a=2”-1TOC\o"1-5"\h\z1 n n反思:.構(gòu)造新數(shù)列的實質(zhì)是通過(a +x)=q(a+x)來構(gòu)造一個我們所熟知的等差或n+1 n等比數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練5.已知數(shù)列中，a=1,a=3”-1+a(n>2)求數(shù)列｛a｝的通項公式.1 n n-1 n倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列a=二廠(c豐0,d豐0),取倒數(shù)變成丄=d丄+丄的形n+1a+d acacn n+1 n式的方法叫倒數(shù)變換.例六已知數(shù)列｛a｝(neN*)中,na=1例六已知數(shù)列｛a｝(neN*)中,n1 n+1 2a+1 nn【解析】：將【解析】：將a=二取倒數(shù)得：n+1 2a+1n11=2+-aan+1 nan+1!—!是以宀丿丄=1丄=1為首項，公差為2的等差數(shù)列.12n-11—=1+2(n一1),?aann反思:倒數(shù)變換有兩個要點需要注意：一是取倒數(shù).二是一定要注意新數(shù)列的首項,公差或公比變化了.跟蹤訓(xùn)練6.已知數(shù)列｛a｝中,n=4l，求數(shù)列｛a｝的通項公式跟蹤訓(xùn)練6.已知數(shù)列｛a｝中,nn小結(jié):求遞推數(shù)列的通項公式的方法很多,以上只是提供了幾種常見的方法,如果我們想在求遞推數(shù)列中游刃有余,需要在平時的練習(xí)中多觀察,多思考,還要不斷的總結(jié)經(jīng)驗甚至教訓(xùn).參考答案:1.證明：由已知可得：S=10n-1，當(dāng)n>2時a=S—S=9(10)"-1，n=1時,n nn n-1a=S=9滿足上式.｛a｝的通項公式a=9(10)n-1,n>2時件=10為常數(shù)，所以1 1 n n an-1｛a｝為等比數(shù)列.n2.解:由已知可求a=1,a=3,a=5,猜測a=2n-1.(用數(shù)學(xué)歸納法證明).2.123.n+1n12f1)n—13f1)+???+—=—一—I2丿2L2丿丿n-1由已知a-a=a+(a—a)+(a—a)+???(a1232,a,a-1=a+2a+ +(n—1)a+na1 2 n-1 n4.n>2時，a=a+2a+