電磁學(xué)中的高斯定理

電磁學(xué)中的高斯定理

高斯定理是電磁學(xué)中非常重要的基本理論之一?，F(xiàn)在，在許多物理著作中，力線的概念被證明是高斯定理的。換言之，引入力線的數(shù)密度定義為nddsndns，電子線的數(shù)密度和磁子線的數(shù)密度對(duì)應(yīng)于場(chǎng)的強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，即ne和nb。這種關(guān)系顯然是不確定的原因之一：由于兩個(gè)單元的不同，無法平等。原因2：當(dāng)相較大時(shí)，需要在sd表面上的電通量和磁通量為dcedn、dm=bdn，這兩個(gè)單元的左、右單位和值范圍是不同的，不可能相同。第三個(gè)原因是，n、e和b是精確定義的變量，不能嚴(yán)格定義它們之間的關(guān)系。在這個(gè)問題上，本文從數(shù)學(xué)的角度給出了嚴(yán)格的證明方法，并討論了力線的數(shù)密度與電極強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的關(guān)系。1嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明方法1.1靜電場(chǎng)的高斯定義(1)電通量的計(jì)算點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)強(qiáng)度為E=14πε0qr3r(1)E=14πε0qr3r(1)球面的電通量為?SE?dS=?S14πε0qr3r?dS=q4πε0r2?SdS=q4πε0r24πr2=qε0(2)?SE?dS=?S14πε0qr3r?dS=q4πε0r2?SdS=q4πε0r24πr2=qε0(2)(2)rcdxdy3的高斯公式閉曲面S的電通量為?SE?dS=?Sq4πε0r3r?dS=q4πε0?S1r3(xdydz+ydxdz+zdxdy)=q4πε0?S1r3xdzdy+1r3ydxdz+1r3dxdy(3)根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的高斯公式?SΡdydz+Qdxdz+Rdxdy=?V(?Ρ?x+?Q?y+?R?z)dxdydz(4)并考慮到Ρ=xr3,Q=yr3,R=zr3在S內(nèi)有連續(xù)一階的偏導(dǎo)數(shù),故式(3)可以用高斯公式計(jì)算.將式(3)代入式(4)中得?SE?dS=?Sq4πε0r3r?dS=q4πε0?S1r3(xdydz+ydxdz+zdxdy)=q4πε0?S1r3xdzdy+1r3ydzdx+1r3dxdy=q4πε0?V[?(xr3)?x+?(yr3)?y+?(zr3)?z]dxdydz=0(5)(3)點(diǎn)電荷q在閉曲面上的電通量在任意閉曲面S內(nèi)以點(diǎn)電荷q為球心作一輻助球面S1,其法向朝內(nèi),根據(jù)(2)可知點(diǎn)電荷q在閉曲面S+S1上的電通量為零,即?SE?dS+?S1E?dS=0?SE?dS=-?S1E?dS=-?S2E?dS=qε0(6)其中式(6)中S1和S2的大小相等,法向相反.(4)靜電場(chǎng)的高斯定理設(shè)閉曲面內(nèi)的點(diǎn)電荷為q1,q2,q3……qn;閉曲面外的點(diǎn)電荷為qn+1……則根據(jù)上述討論可得?SE?dS=?S∑Ei?dS=∑?SEi?dS=n∑i=1qiε0(7)這就是靜電場(chǎng)的高斯定理.1.2高斯定義(1)感應(yīng)強(qiáng)度的磁通量由磁通量的定義和畢奧-薩法爾定律可得電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)球面的磁通量為?SdB?dS=?Sμ04πΙdl×rr3?dS=μ0Ι4π?Sr×dSr3?dl因?yàn)閞//dS,所以?SdB?dS=0(8)(2)sdb的由來電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)閉曲面的磁通量為?SdB?dS=?Sμ04πΙdl×rr3?dS因?yàn)閞=xi+yj+zk,并設(shè)dl=dlk,則dl×r=-ydli+xdlj代入原式得?SdB?dS=?Sμ04πΙdl×rr3?dS=μ0Ιdl4π?S-yr3dydz+xr3dxdz同理根據(jù)高斯公式可得?SdB?dS=0(9)(3)ue104sdbds以此類推,在閉曲面S內(nèi),以電流元為球心作一輔助球面S1,因?yàn)?SdB?dS+?S1dB?dS=0所以,ue104SdBdS=-ue104S1dB·dS=0(10)(4)電流在封閉的內(nèi)部和外部所有的電流元在閉曲面上的磁通量為?SB?ds=?S(?LdB?dS=?L(?SdB?ds)=0(11)這正是靜磁場(chǎng)的高斯定理.1.3c與btr3的含量關(guān)系(1)變化的磁場(chǎng)元?B?tdV產(chǎn)生的電場(chǎng)渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理為?LE?dl=-∫S?B?t?dS,而磁場(chǎng)的環(huán)路定理為ue104LH·dl=∫Sδc·dS兩者比較,顯然δc與-?B?t是對(duì)應(yīng)的.又因?yàn)閐Η=14πΙdl×rr3=14πδcdsdl×rr3=14πdVδc×dlr3(12)所以,與式(12)比較可知,變化的磁場(chǎng)元產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)強(qiáng)度為dE=14π-dV?B?t×rr3(13)(2)高斯定理根據(jù)式(13),仿照靜磁場(chǎng)高斯定理的證明可得渦旋電場(chǎng)的高斯定理表達(dá)式為?SE?dS=0(14)2力線的數(shù)密度與場(chǎng)強(qiáng)的強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)的關(guān)系2.1電力線出樣品,為ds3.設(shè)在無電荷的區(qū)域內(nèi)取一閉合柱面,電力線只穿過其兩個(gè)底面dS1,dS2且與其垂直,其側(cè)面積為dS3.應(yīng)用電場(chǎng)的高斯定理?dS1+dS2+dS3E?dS=0可得:∫dS1E?dS+∫dS2E?dS=0|d?1|=|d?2|E1dS1=E2dS2(15)又根據(jù)電力線得連續(xù)性得由式(15)和(16)得E1n1=E2n2(17)2.2磁力線密度與磁感強(qiáng)指數(shù)之關(guān)系同理可證,磁力線數(shù)密度與磁感強(qiáng)度大小的關(guān)系為B=kn(19)