函數(shù)在電磁場與電磁波中的應用

函數(shù)在電磁場與電磁波中的應用

“磁體和磁體”課程與數(shù)學密切相關。例如，對方程分析和離散微分方程的解都有很高的要求。本文通過教學實踐,介紹δ函數(shù)的幾個簡單應用,希望籍此有助于這門課程教學效果的提高。1放電密度和放電量麥克斯韋方程中電荷和電流既可以是體電荷和體電流,也可以是面電荷、線電荷和面電流、線電流,因此有必要給出電荷密度和電流密度的統(tǒng)一表示?？臻g電荷密度的定義為ρ(→r)=limΔτ→0ΔqΔτ(1)若已知空間各點的電荷密度,則任意空間τ內(nèi)的電量為q=∫τρ(r)dτ(2)當電荷分布在曲面S上時,定義空間電荷密度ρ(→r)=σ(→rs)δ(→r-→rs)(3)式中→rs為曲面S上的位矢,σ為電荷面密度。根據(jù)δ函數(shù)的定義,可以證明式(3)滿足式(1)和式(2)。如任意空間τ內(nèi)的電量為q=∫τρ(→r)dτ=∫τσ(→rs)δ(→r-→rs)dτ={0?S不在τ內(nèi)∫Sσ(→r)ds?S在τ內(nèi)當電荷分布在曲線l上時,有ρ(→r)=λ(→rl)δ(→r-→rl)(4)式中→rl為曲線l上的位矢,λ為電荷線密度。對點電荷系統(tǒng)有ρ(→r)=∑qiδ(→r-→ri)(5)式中→ri為點電荷qi的位矢。這樣,利用δ函數(shù),所有電荷分布均可以用電荷體密度統(tǒng)一表示。如盧瑟福的球體原子模型(半徑為ra,球體內(nèi)均勻分布有總電量為-Ze的電子云,在球心有一電量為Ze的正電荷)的電荷分布函數(shù)可以表示為ρ(→r)=-3Ζe4πr3a+Ζeδ(r)再看電流分布。電流是電荷運動的結果,體電流密度的是J(→r)=limΔS→0ΔΙΔS⊥(6)式中ΔS⊥為電流垂直方向上的面積元?！鶭的方向是正電荷運動的方向,由此可導出體電流密度和電荷密度、電荷運動速度的關系:→J(→r)=ρ(→r)→v(7)當電荷在曲面S上運動時,由式(3)以及式(7)可得→J(→r)=σ(→rs)δ(→r-→rs)→v=→Js(→rs)δ(→r-→rs)式中→Js(→r)=σ(→rs)→v,為面電流密度,其大小定義為Js(→r)=limΔl→0ΔΙΔl⊥(8)式中Δl⊥為電流垂直方向上的線元。對線電流,→J(→r)=λ(→rl)δ(→r-→rl)→v,由于I=dq/dt=λdl/dt=λv是電流強度,故有J(→r)=Ιδ(→r-→rl)(9)這樣,各種電流分布均可以用體電流密度統(tǒng)一表示。2靜電場高斯定理的參數(shù)上式中應用了?2(1/R)=-4πδ(R)(證明從略)。恒定磁場中的安培環(huán)路定律的證明,若采用δ函數(shù),也要簡單得多。3像荷q0xyz-hz>0.當鏡像法用于存在邊界條件的泊松方程的求解。學生對像電荷要設置在待求解的區(qū)域外,不甚理解;若不掌握δ函數(shù),對用鏡像法求出的解是否滿足泊松方程也不能判斷?，F(xiàn)舉無限大接地導體平面上方點電荷q產(chǎn)生的電勢來說明,如圖1所示。圖中點電荷q產(chǎn)生的電勢的定解問題為?2φ=-qε0δ(x)δ(y)δ(z-h)z>0,φ|z=0=0將像電荷q′=-q設在z<0的空間的對稱位置A,任意點P的電勢為φ=14πε0(qR-qR′)z>0很容易驗證電勢滿足邊界條件:φ|z=0。另外有?2φ=q4πε0(?21R-?21R′)=-qε0δ(R)+qε0δ(R′)由于考慮的是z>0的空間,R′≠0,故δ(R′)=0,因此可得?2φ=-qε0δ(R)=-qε0δ(x)δ(y)δ(z-h)此式與泊松方程相同。從此可以看到,若將像電荷設在待求解的z>0區(qū)域內(nèi),如圖中B點的q″,則有:φ=14πε0(qR+q″R″)由于在z>0的區(qū)域中,R″存在零點,故?2(1/R″)=-4πδ(R″)不恒等于零,因此求出的電勢不滿足泊松方程,也就是說,要使求出的電勢滿足泊松方程,像電荷必須設置在待求解的區(qū)域外。4/r