電象法計(jì)算的互能

電象法計(jì)算的互能

1靜電相互作用的定義和表示1.1帶電體的時(shí)間定義在一般教材中，各帶電體之間的相互作用能（以下簡(jiǎn)稱(chēng)互能）被定義如下?！鞍衙恳粋€(gè)帶電體看作一個(gè)不可分割的整體,將各帶電體從無(wú)限遠(yuǎn)移到現(xiàn)在位置外力反抗靜電力所作的功,等于它們之間的相互作用能.”在上述定義中,各電荷被分布在有限空間內(nèi),將無(wú)限遠(yuǎn)處作為零電勢(shì)位置.1.2表示靜電的相互能力的表示根據(jù)互能的定義,可得到下列表示式.1.2.1整體電勢(shì)分析W互=12n∑i=1qiφi(1)式中φi是除qi外其他電荷在qi位置處的電勢(shì).對(duì)于由兩個(gè)點(diǎn)電荷組成的靜電系統(tǒng),它們間的互能為W互=12(q1φ21+q2φ12)=q1φ21=q2φ12(2)1.2.22.輻射系統(tǒng)將一個(gè)獨(dú)立靜電系統(tǒng)分為“1體系”和“2體系”,它們的電荷和電勢(shì)分布分別為ρ1,ρ2和φ12,φ21,則這兩體系間的互能為2q從a移近導(dǎo)電板間的靜電能平衡根據(jù)互能的定義和表示式計(jì)算下例.例1有一點(diǎn)電荷q,置于無(wú)限大接地導(dǎo)體平板前的A處,A距板面的距離為a,如圖1所示,求它與導(dǎo)體板間的互能.解:1)由互能的定義計(jì)算如圖2所示,將點(diǎn)電荷q從無(wú)限遠(yuǎn)處移動(dòng)到板前A處的過(guò)程中,任取一位置P,當(dāng)電荷移動(dòng)了位移元dr時(shí),外力反抗靜電力F所作的元功為dA=-F·dr=Fdx根據(jù)電象法,導(dǎo)體板面上感應(yīng)電荷對(duì)q的靜電力與象電荷q′對(duì)q的靜電力相等,其大小為F=q24πε0(2x)2=q216πε0x2方向沿x軸的負(fù)方向.在q從∞→a的過(guò)程中,外力反抗靜電力所作的功為A=∫a∞Fdx=∫a∞q216πε0x2dx=-q216πε0a2)由表示式計(jì)算根據(jù)文獻(xiàn),電荷q與導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷間的互能等于它與象電荷q′間的互能,由式(2)得W互=qφ′=q(-q4πε0(2a))=-q28πε0a從上述1)、2)兩種方法計(jì)算的結(jié)果發(fā)現(xiàn),點(diǎn)電荷q與導(dǎo)體板間的互能,不等于將q從∞→a過(guò)程中外力反抗靜電力所作的功,即W互≠A.為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題呢?其原因是,在電荷q從∞→a移近導(dǎo)體板的過(guò)程中,導(dǎo)體板面上的感應(yīng)電荷逐漸積聚,如果把導(dǎo)體板作為一個(gè)不可分割的整體,由于板面上感應(yīng)電荷的積聚,它的自能由零開(kāi)始逐漸增大,由此可見(jiàn),在q從∞→a移近導(dǎo)體板的過(guò)程中,不僅它們間的互能由零開(kāi)始變化,導(dǎo)體板面上的感應(yīng)電荷的自能也由零開(kāi)始增大,所以外力反抗靜電力所作的功不再等于它們間的互能是很自然的.下面計(jì)算在這一過(guò)程中,導(dǎo)體板面上感應(yīng)電荷自能的增量.當(dāng)q在∞遠(yuǎn)時(shí),導(dǎo)體板的自能為零,當(dāng)q在距板前為a時(shí),導(dǎo)體板面上感應(yīng)電荷的靜電能W′e=W′自+W′互=12∫Sσ′φ0dS由于φ0=0,W′e=0,又W′互=12W互,所以W′自=-W′互=-12W互=q216πε0a點(diǎn)電荷q的自能不變,所以系統(tǒng)自能的增量為ΔW自=W′自=q216πε0a系統(tǒng)總能的增量為ΔW自+W互=q216πε0a+(-q28πε0a)=-q216πε0a=A上述計(jì)算的結(jié)果并不是偶然的,道理很簡(jiǎn)單,根據(jù)功能原理,外力反抗靜電力所作的功應(yīng)等于系統(tǒng)內(nèi)總靜電能的增量,只有在各帶電體自能保持不變的情況下,外力反抗靜電力所作的功才等于兩體系之間的互能.3帶電體面上的靜電力q上述問(wèn)題的出現(xiàn),并不是互能的定義存在問(wèn)題,而是筆者將定義中的“把每一個(gè)帶電體看作一個(gè)不可分割的整體”誤解成了幾何結(jié)構(gòu)上的整體.而正確的理解應(yīng)是電荷分布上的整體,即其涵義為“在每一個(gè)帶電體上的電荷分布假定不變的條件下,將各帶電體從無(wú)限遠(yuǎn)移到現(xiàn)在位置外力反抗靜電力所作的功,等于它們之間的相互作用能.”根據(jù)上述對(duì)定義的認(rèn)識(shí),將例1重新計(jì)算如下.在假定導(dǎo)體板面上感應(yīng)電荷分布不變的情況下,其相應(yīng)的象電荷q′的位置在A(yíng)′處,且不變,如圖3所示.將電荷q從∞→a移近導(dǎo)體板的過(guò)程中,外力反抗靜電力F′所作的功為A′=∫a∞-F′·dr=∫∞aF′dx此時(shí)F′的方向不變,大小變?yōu)镕′=q24πε0(a+x)2代入上式得A′=∫∞aq24πε0(a+x)2dx=-q28πε0a=W互4q移近導(dǎo)電球中各微量元素的互能下面再舉一簡(jiǎn)單的例子加以說(shuō)明.例2將一點(diǎn)電荷q置于半徑為R、帶電量為Q的導(dǎo)體球前的A處,設(shè)q距球心的距離為a,如圖4所示,求它們之間的互能.解:1)根據(jù)表示式計(jì)算由電象法,當(dāng)電荷q在位置A時(shí),象電荷q′的電量和位置分別為q′=-Raq?b=R2a,象電荷q″的位置在球心O上,其電量q″=-q′.對(duì)于球外空間,均勻紛布在球面上的電荷Q與把它置于球心時(shí)的情況等效,這樣在球心上相當(dāng)于有一個(gè)電量為Q+q″的點(diǎn)電荷.由式(1)可得q與導(dǎo)體球之間的互能為W互=q[q′4πε0(a-b)+Q-q′4πε0a]把q′=-Raq?b=R2a代入上式整理得W互=q4πε0[Qa+Rqa2-Rqa2-R2]2)根據(jù)定義計(jì)算在假定導(dǎo)體球上電荷分布不變的條件下,將電荷q從∞→a移近導(dǎo)體球的過(guò)程中,外力反抗靜電力F′所作的功為A′=∫∞a-F′·dr=∫∞a-F′dx式中靜電力F′的大小為F′=q(Q-q′)4πε0x2+qq′4πε0(x-b)2方向沿x軸的正向,代入上式計(jì)算得A′=q4πε0[Qa+Rqa2-Rqa2-R2]可見(jiàn)A′=W互.3)計(jì)算外力反抗實(shí)際靜電力的功當(dāng)q移到點(diǎn)P時(shí),象電荷q′的電量和位置分別變?yōu)閝′=-Rxq?b=R2x,象電荷q″的位置仍在球心O上,其電量q″=-q′.在將電荷q從∞→a移近導(dǎo)體球的過(guò)程中,外力反抗靜電力F所作的功為A=∫∞a-F·dr=∫∞a-Fdx此時(shí),靜電力的大小為F=q(Q-q′)4πε0x2+qq′4πε0(x-b)2=q4πε0[Qx2+Rqx3-Rqx(x2-R2)2]方向沿x軸的正向,代入上式得A=q4πε0[Qa+Rq2a2-Rq2(a2-R2)]可見(jiàn)A≠W互,因?yàn)樵趒移近導(dǎo)體球的過(guò)程中,不僅它與導(dǎo)體球之間的互能發(fā)生了變化,導(dǎo)體球面上的感應(yīng)電荷的自能也發(fā)生了變化.5抗靜電力的聯(lián)合根據(jù)以上的討論,可以得到這樣的結(jié)論,對(duì)于電荷分布保持不變的帶電體系,由于任一帶電體移動(dòng)時(shí),各帶電體的自能不變,則將各帶電體從無(wú)限遠(yuǎn)移到現(xiàn)在位置外力反抗靜電力所作的功,等于它們之間的相互作用能;若帶電體系中某一帶電體移動(dòng)時(shí),電荷的分布將發(fā)生變化,則應(yīng)先假定各帶電體的電荷分布不變(相對(duì)于當(dāng)前位置的狀態(tài)),在這樣的條