壓縮感知的原理和應(yīng)用

IntroductiontoComprehensiveSensingGuotaiWang2013-5-3contentsBackground&Problem1TheCompressiveSensing2Application3contentsBackground&Problem1TheCompressiveSensing2Application31.1信號(hào)采樣信息技術(shù)飛速發(fā)展信息需求量劇增Nyquist采樣定理：采樣速率需達(dá)到信號(hào)帶寬的兩倍以上才能精確重構(gòu)信號(hào)。帶寬增加采樣速率和處理速率增加弊端采樣硬件成本昂貴獲取效率低下對(duì)寬帶信號(hào)處理的困難日益加劇1.2信號(hào)的壓縮和傳輸傳統(tǒng)壓縮方法為了降低成本將采樣的數(shù)經(jīng)壓縮后以較少的比特?cái)?shù)表示信號(hào)很多非重要的數(shù)據(jù)被拋棄缺點(diǎn)這種高速采樣再壓縮的方式浪費(fèi)了大量的采樣資源一旦壓縮數(shù)據(jù)中的某個(gè)或某幾個(gè)丟失，可能將造成信號(hào)恢復(fù)的錯(cuò)誤1.3亟待解決的問題1.4壓縮感知的理論框架壓縮感知的核心思想壓縮和采樣合并進(jìn)行，遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)采樣方法的數(shù)據(jù)量突破了Nyquist采樣定理的瓶頸使高分辨率的信號(hào)采集成為可能名詞解釋：壓縮感知—直接感知壓縮后的信息基本方法：信號(hào)在某一個(gè)正交空間具有稀疏性（即可壓縮性），就能以較低的頻率（遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率）采樣該信號(hào)，并可能以高概率重建該信號(hào)。contentsBackground&Problem1TheCompressiveSensing2Application3研究現(xiàn)狀2006《RobustUncertaintyPrinciples：ExactSignalReconstructionfromHighlyIncompleteFrequencyInformation》TerenceTao、EmmanuelCandès2006《CompressedSensing》DavidDonoho2007《CompressiveSensing》RichardBaraniuk2.1壓縮感知的前提稀疏性的定義：一個(gè)實(shí)值有限長(zhǎng)的N維離散信號(hào)，由信號(hào)理論可知，它可以用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的線性組合來表示，假定這些基是規(guī)范正交的，那么有其中，若在基上僅有個(gè)非零系數(shù)時(shí)，稱為信號(hào)的稀疏基，是稀疏(K-Sparsity)的。2.2壓縮感知流程介紹長(zhǎng)度為N的信號(hào)在正交基上的變換系數(shù)是稀疏的；用一個(gè)與基不相關(guān)的觀測(cè)基對(duì)系數(shù)向量進(jìn)行線性變換，并得到觀測(cè)向量利用優(yōu)化求解的方法從觀測(cè)集合中精確或高概率地重構(gòu)原始信號(hào)。2.2壓縮感知流程介紹長(zhǎng)度為N的信號(hào)在正交基上的變換系數(shù)是稀疏的；用一個(gè)與基不相關(guān)的觀測(cè)基對(duì)系數(shù)向量進(jìn)行線性變換，并得到觀測(cè)向量利用優(yōu)化求解的方法從觀測(cè)集合中精確或高概率地重構(gòu)原始信號(hào)。2.2壓縮感知流程介紹長(zhǎng)度為N的信號(hào)在正交基上的變換系數(shù)是稀疏的；用一個(gè)與基不相關(guān)的觀測(cè)基對(duì)系數(shù)向量進(jìn)行線性變換，并得到觀測(cè)向量利用優(yōu)化求解的方法從觀測(cè)集合中精確或高概率地重構(gòu)原始信號(hào)。第一步：信號(hào)的稀疏表示如圖是一個(gè)稀疏度為3的稀疏變換，,在時(shí)域

基本都是非零值，但將其變換到域時(shí)，非零值就只有3個(gè)了，數(shù)目遠(yuǎn)小于原來的非零數(shù)目，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的稀疏表示。2.2壓縮感知流程介紹如何找到信號(hào)的最佳稀疏域呢？1、基函數(shù)字典下的稀疏表示：尋找一個(gè)正交基使得信號(hào)表示的稀疏系數(shù)盡可能的少。比較常用的稀疏基有：高斯矩陣、小波基、正（余）弦基、Curvelet基等。2、超完備庫(kù)下的稀疏表示：用超完備的冗余函數(shù)庫(kù)來取代基函數(shù)目的是從冗余字典中找到具有最佳線性組合的K項(xiàng)原子來逼近表示一個(gè)信號(hào)稱作信號(hào)的稀疏逼近或高度非線性逼近。2.2壓縮感知流程介紹第二步：觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)觀測(cè)器的目的是采樣得到個(gè)觀測(cè)值，并保證從中能夠重構(gòu)出原來長(zhǎng)度為的信號(hào)或者稀疏基下的系數(shù)向量。觀測(cè)過程就是利用觀測(cè)矩陣的個(gè)行向量對(duì)稀疏系數(shù)向量進(jìn)行投影，得到個(gè)觀測(cè)值，即觀測(cè)矩陣需要滿足的條件2.2壓縮感知流程介紹第三步：信號(hào)重構(gòu)

首先介紹下范數(shù)的概念。向量的p-范數(shù)為：

當(dāng)p=0時(shí)得到0-范數(shù)，它表示上式中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)。由于觀測(cè)數(shù)量，不能直接求解，在信號(hào)可壓縮的前提下，求解病態(tài)方程組的問題轉(zhuǎn)化為最小0-范數(shù)問題：2.2壓縮感知流程介紹對(duì)于0-范數(shù)問題的求解是個(gè)NP問題，需要列出所有非零項(xiàng)位置的種組合的線性組合才能得到最優(yōu)解，在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)難以求解，而且也無法驗(yàn)證其可靠性。Chen，Donoho和Saunders指出求解一個(gè)優(yōu)化問題會(huì)產(chǎn)生同等的解。于是問題轉(zhuǎn)化為：Candes等指出，要精確重構(gòu)k稀疏信號(hào)x，測(cè)量次數(shù)M（必須滿足M=O(k·logN)，并且矩陣Φ必須滿足約束等距性條件(RestrictedIsometryPrinciple)。求解該最優(yōu)化問題，得到稀疏域的系數(shù)，然后反變換即可以得到時(shí)域信號(hào)。2.2壓縮感知流程介紹重構(gòu)算法（1）匹配追蹤系列：匹配追蹤（MatchingPursuit,MP）正交匹配追蹤(OrthogonalMatchingPursuit,OMP)稀疏自適應(yīng)匹配追蹤(SparseAdaptiveMP,SAMP)正則化正交匹配追蹤(RegularizedOMP,ROMP)等（2）方向追蹤系列：梯度追蹤(GradientPursuit,GP)

共軛梯度追蹤(ConjugateGP,CGP)近似的共軛梯度追蹤(ApproximationCGP,ACGP)貪婪算法凸優(yōu)化算法（1）基追蹤法(BasisPursuit,BP)（2）最小角度回歸法(LeastAngleRegression,LARS)（3）梯度投影法(GradientProjectionforSparseReconstruction,GPSR)另類算法（1）Bayesian類的統(tǒng)計(jì)優(yōu)化算法2.2壓縮感知流程介紹contentsBackground&Problem1TheCompressiveSensing2Application33.1單像素相機(jī)

壓縮感知理論帶來了信號(hào)采樣理論的變革，具有廣闊的應(yīng)用前景，包括壓縮成像、模擬信息轉(zhuǎn)換、生物傳感等。壓縮感知應(yīng)用于光學(xué)成像的首個(gè)實(shí)際系統(tǒng)是Rice大學(xué)的“單像素相機(jī)”

入射光線經(jīng)過第一個(gè)透鏡之后進(jìn)入成像系統(tǒng)，照射在放置于像平面的數(shù)字微鏡設(shè)備(DMD)陣列上。DMD陣列由數(shù)百萬個(gè)尺寸為μm量級(jí)的微小反射鏡組成，每個(gè)反射鏡的角度可獨(dú)立控制。DMD陣列的反射光線經(jīng)過第二個(gè)透鏡，其中僅一個(gè)方向的光線進(jìn)入單像素光子探測(cè)器。3.1單像素相機(jī)傳統(tǒng)百萬像素的相機(jī)需要百萬個(gè)探測(cè)傳感器。而壓縮傳感數(shù)碼相機(jī)只使用一個(gè)探測(cè)器來采光，然后跟捕獲后的計(jì)算相結(jié)合來重構(gòu)圖像。該相機(jī)直接獲取的是M次

隨機(jī)線性測(cè)量值而不是獲

取原始信號(hào)的N個(gè)像素值，

為低像素相機(jī)拍攝高質(zhì)量

圖像提供了可能。3.2動(dòng)態(tài)CT圖像重建Medicalimage&sparse(1),Aremedicalimagessparse?(2),Ifamedicalimageisnotsparse,canweusesometransformtomakeitsparse?Imagearenotsparseasshowninbythehistogramsofthepixelvalue.However,asubtractionoperationcanmaketheimagesignificantlysparser3.2動(dòng)態(tài)CT圖像重建CSimagereconstructiontheoryInsteadofdirectlyreconstructingatargetimage,thesparsifiedversionisreconstructed.Inthesparsifiedimage,significantlyfewerimagepixelshavesignificantimagevalues.reconstructthesparsifiedimagefromanundersampleddatasetwithoutstreakingartifacts3.2動(dòng)態(tài)CT圖像重建ReconstructdynamicCTimagesequencesthesameimagesliceorthesameimagevolumeissequentiallyscannedmanytimesinordertomeasurethedynamicalchangeintheimageobject.FBPPriorimage(Xp)XpwasutilizedtoconstraintheCSimagereconstructionmethod.Theproposedmethodisreferredto