ruc歷年微積分概率論數(shù)學(xué)分析考題部分帶答案統(tǒng)計二重積分

二重積分二重積分的概念，性質(zhì)和計算1分割2近似

(以直代曲)3求和yxoy=f(x)ab..分法越細，越接近精確值1.

曲邊梯形的面積f(

i).4取極限yxoy=f(x)令分法無限變細.ab...分法越細，越接近精確值1分割2近似

(以直代曲)3求和1.

曲邊梯形的面積.f(

i)4取極限yxoy=f(x)令分法無限變細....分法越細，越接近精確值1分割2近似

(以直代曲)3求和1.

曲邊梯形的面積.f(

i)S

=.S.ab問題：如何計算曲頂柱體的體積？一、問題的提出1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.柱體體積=底面積×高特點：平頂.柱體體積=？特點：曲頂.問題：如何計算曲頂柱體的體積？“分割,近似,求和,取極限”

解決問題的思路:類似定積分解決問題的思想:×x0z

y

DSS:z=f(x,y)１分割：任意分割區(qū)域

D,

化整為零2近似：以平代曲１.

曲頂柱體的體積

ix0z

yDS:z=f(x,y)3求和：2近似：以平代曲１分割：任意分割區(qū)域

D,

化整為零.

i１.

曲頂柱體的體積x0z

yDS:z=f(x,y)3求和4取極限令分法無限變細

i2近似：以平代曲１分割：任意分割區(qū)域

D,

化整為零.V=１.

曲頂柱體的體積x0z

yV..１.

曲頂柱體的體積S:z=f(x,y)3求和4取極限令分法無限變細2近似：以平代曲１分割：任意分割區(qū)域

D,

化整為零V=二、二重積分的定義１.定義:將區(qū)域D

任意分成

n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)

I,使可積

,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),

0xyD直角坐標(biāo)系下面積元素圖示引例1中曲頂柱體體積:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,

因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作2.注解:(1)二重積分的存在性：若函數(shù)在D上可積.在有界閉區(qū)域上連續(xù),則(２)二重積分幾何意義：當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．

當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２定積分的性質(zhì)性質(zhì)１.性質(zhì)２性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)３.若為D的面積，性質(zhì)4性質(zhì)4性質(zhì)５若在D上特殊地則有如果在上性質(zhì)５

特殊地性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）四、曲頂柱體體積的計算設(shè)曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算或記為或記為

利用直角坐標(biāo)系計算二重積分1、2、X-型區(qū)域Y-型區(qū)域abxyoDcdDyxo例1

計算下列二重積分？解原式

因為被積函數(shù)沒有對稱性，即例1

計算下列二重積分先積后積如何？解原式

計算麻煩！例1

計算下列二重積分先積后積要用兩次分部積分解原式

例1

計算下列二重積分由圍成先積后積如何？解原式

要分成兩部分之和例1

計算下列二重積分由圍成先積后積要分作兩部分計算解

小結(jié)：化二重積分為二次積分時，積分次序的確定應(yīng)考慮積分區(qū)域的形狀，還應(yīng)考慮積分計算的難度與方便。例2

計算下列二次積分解原式

o11yxy=xy=x1/2原有積分次序不可求！例2

計算下列二次積分解o242yxy=xy=x/2原式積分區(qū)域D可表示為：xyzo例3

計算下列立體的體積（1）由四個平面圍成的柱體被平面及截得的立體的體積。解例3

計算下列立體的體積（2）由曲面及平面圍成的立體。解第二類換元積分法

有些二重積分，其積分區(qū)域的邊界曲線用極坐標(biāo)表示較為方便，或被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示比較簡單，這時可考慮利用極坐標(biāo)計算。（演示）在二重積分的定義式中被積函數(shù)可用極坐標(biāo)表示為：面積元素如圖所示：于是，極坐標(biāo)下二重積分為：可表示為參考直角坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分的做法，可得：

利用極坐標(biāo)系計算二重積分D