spss第九章均值比較分析

均值比較分析假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟第一步，提出原假設(shè)(H0)和備擇假設(shè)(H1)第二步，選擇檢驗(yàn)用統(tǒng)計(jì)量，并確定其分布形式第三步，選擇顯著性水平α，確定決策臨界值

第四步，根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的具體數(shù)值，做出決策單樣本的均值檢驗(yàn)1、大樣本下的均值檢驗(yàn)當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，樣本均值也服從正態(tài)分布，當(dāng)總體不服從正態(tài)分布時(shí)，若樣本容量充分大，樣本均值漸近服從正態(tài)分布。因此大樣本下的均值檢驗(yàn)可采用Z統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)總體方差已知時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

當(dāng)總體方差未知時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

2、小樣本下的均值檢驗(yàn)當(dāng)總體服從正態(tài)分布且方差已知時(shí)，樣本均值服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量采用

Z統(tǒng)計(jì)量，

即

當(dāng)總體服從正態(tài)分布但方差未知時(shí)，需要使用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)替代，此時(shí)樣本均值服從n－1個(gè)自由度的t分布。如果總體不服從正態(tài)分布，當(dāng)樣本容量充分大

時(shí)也可以采用t檢驗(yàn)。

統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

例19.1某種電子元件的平均壽命x(單位：小時(shí))服從正態(tài)分布，現(xiàn)測(cè)得15只元件的壽命分別為159、280、101、212、224、379、179、264、222、362、168、149、260、485、170，問(wèn)有否理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225小時(shí)（α=0.05）。電子元件的平均壽命服從正態(tài)分布，但是方差和均值都未知，給了一個(gè)容量只有15（<30）的小樣本，計(jì)算這組數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差 x?=240.93s=102.164

根據(jù)樣本值判斷μ≤225，還是μ>225。選擇μ≤225為H0，一旦H0被拒絕就有較強(qiáng)的理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225. H0：μ≤225；H1：μ>225，是右單側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題方差未知，用樣本方差s^2代替，所以采用t檢驗(yàn)

代入數(shù)據(jù)得t=0.6039（假設(shè)H0為真，代入μ=225）顯著性水平為α=0.05，查表可知臨界值tα（14）=1.7613判斷：0.6039<1.7613，不落入拒絕域，故接受原假設(shè)，

即認(rèn)為元件的平均壽命不大于225小時(shí)。Spss分析輸出結(jié)果t=0.604，自由度為14，P=0.555>0.05;按α=0.05水準(zhǔn)，尚不能認(rèn)為元件的平均壽命大于225小時(shí)，即與理論分析的結(jié)果相同。獨(dú)立樣本的均值比較正態(tài)總體方差已知當(dāng)兩個(gè)總體均為正態(tài)分布，且兩個(gè)總體的方差分別為σ1^2

，σ2^2為已知。

x?1，x?2

表示兩總體的平均數(shù)，

則可用統(tǒng)計(jì)量

進(jìn)行檢驗(yàn)。如果兩個(gè)總體為非正態(tài)總體，且兩個(gè)總體的方差分別為

為已知，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，也可以采用此統(tǒng)計(jì)量。正態(tài)總體、方差未知但相等檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

其中正態(tài)總體、方差未知且不等檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中例29.4裝配一個(gè)部件時(shí)可采用不同方法，所關(guān)心的問(wèn)題是哪種方法的效率更高。勞動(dòng)效率可以用平均裝配時(shí)間反映?，F(xiàn)從不同裝配方法中各抽取12件產(chǎn)品，記錄各自的裝配時(shí)間（單位：分鐘）如下，問(wèn)兩種方法的裝配時(shí)間有無(wú)不同。

甲方法：31、34、29、32、35、38、34、30、29、32、31、26

乙方法：26、24、28、29、30、29、32、26、31、29、32、28目的在于比較用方法甲的產(chǎn)品和用方法乙的產(chǎn)品的裝配時(shí)間有無(wú)差異，即μ1=μ2是否成立。假設(shè)H0：μ1－μ2＝0；H1：μ1－μ2≠0

隨機(jī)抽樣

隨機(jī)抽樣兩樣本是獨(dú)立的假設(shè)兩個(gè)總體都是正態(tài)分布，由于是小樣本，兩個(gè)總體方差未知，且無(wú)法判斷總體方差是否相等，故選用t統(tǒng)計(jì)量，其自由度為df?？傮w一總體二樣本一樣本二研究對(duì)象n1=12，x?1=31.75，s1=3.194；n2=12，x?2=28.67，s2=2.462把數(shù)據(jù)代入公式得df=20.66查t分布表可知tα/2(df)=t0.025(21)=2.0796假設(shè)H0為真，把μ1－μ2＝0代入公式，得t=2.6457檢驗(yàn)判斷：由于|t|>2.0796，落入拒絕域，所以拒絕H0，即認(rèn)為兩種方法的裝配時(shí)間是有顯著差異的。Spss分析正態(tài)性檢驗(yàn)輸出結(jié)果表明兩種方法的總體分布是符合正態(tài)性要求的，所以前面假設(shè)其為正態(tài)分布是合理的，可以用t檢驗(yàn)兩獨(dú)立樣本的t檢驗(yàn)輸出結(jié)果方差齊性檢驗(yàn)，F(xiàn)=0.0557，P=0.463>0.10,按α=0.10水準(zhǔn)，可認(rèn)為方法甲和方法乙的總體方差是相等的，所以應(yīng)該選擇假設(shè)方差相等的t檢驗(yàn)結(jié)果t=2.648，P=0.015<0.05；按α=0.10水準(zhǔn)，可認(rèn)為兩種方法的裝配時(shí)間是有顯著差異的，即方法乙的裝配時(shí)間低于方法甲的，故方法乙的效率更高。這與理論分析的結(jié)果相同。在做理論分析時(shí)省略了方差齊次檢驗(yàn)，直接假設(shè)方差不等減少計(jì)算量，并不影響分析的結(jié)果。兩正態(tài)總體方差齊性檢驗(yàn)－F檢驗(yàn)

該檢驗(yàn)是用服從F分布的統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)兩正態(tài)總體方差的齊性（方差相等）問(wèn)題，設(shè)H0：σ1=σ2；H1：σ1≠σ2，在兩個(gè)正態(tài)總體的情況下，統(tǒng)計(jì)量：

（s1^2/σ1^2）/（s2^2/σ2^2）

服從于自由度分別為n1-1和n2-1的F分布。在原假設(shè)為真的情況下，σ1和σ2相等，所以檢驗(yàn)假設(shè)H0：σ1=σ2；H1： σ1≠σ2的統(tǒng)計(jì)量為：

它在H0為真時(shí)，服從分子自由度為n1-1，分母自由度為n2-1的F分布。在一定的顯著性水平α下，求出F的臨界值，要是根據(jù)樣本算出的F值落在拒絕域里，就否定原假設(shè)

，說(shuō)明兩總體方差在顯著性水平

下，有顯著性差異。如果F值沒(méi)有落在否定域里，就不能否定原假設(shè)，可近似認(rèn)為兩總體方差沒(méi)有差異，而樣本方差的差異是由于抽樣的偶然性所致。例3同樣以上一例題9.4為例，對(duì)其數(shù)據(jù)做方差齊性檢驗(yàn)n1=12，x?1=31.75，s1=3.194；n2=12，x?2=28.67，s2=2.462查F分布表得Fα/2（12-1,12-1）=F0.05（11,11）=2.8， F1-α/2（11,11）=F0.95（11,11）=1/F0.05（11,11)=0.357，α=0.10假設(shè)H0為真，F(xiàn)=s1^2/s2^2=1.683，即有0.357<1.683<2.79，故接受H0，認(rèn)為兩樣本方差相等也稱兩總體具有方差齊性。這與前面的spss分析結(jié)果相同。配對(duì)樣本的均值檢驗(yàn)令

，則

稱為配對(duì)差。當(dāng)樣本容量較大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，D?服從正態(tài)分布，

當(dāng)σD已知時(shí)，

可使用Z統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)配對(duì)樣本均值差：

其中

，D?為假設(shè)均值差，σD為差值的總體標(biāo)準(zhǔn)差，n為樣本容量。統(tǒng)計(jì)量Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)差值的總體標(biāo)準(zhǔn)差σD未知時(shí)，需要用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)代替，此時(shí)需要采用

配對(duì)樣本的t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中

，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t服從n-1個(gè)自由度的t分布。例49.9為了調(diào)查小學(xué)生對(duì)兩種不同教學(xué)法識(shí)字的情況，隨機(jī)抽取了10名小學(xué)生，記錄下舊教學(xué)法與新教學(xué)法的識(shí)字得分，問(wèn)兩種教學(xué)方法是否有差別。各個(gè)學(xué)生的特點(diǎn)有廣泛的差異，所以教學(xué)方法（x/y）的得分?jǐn)?shù)據(jù)不能看成是同分布的隨機(jī)變量的觀察值，因此x/y同一行的數(shù)據(jù)不能看成是一個(gè)樣本的樣本值。但是每一對(duì)數(shù)據(jù)的差異是由于教學(xué)方法的不同引起的。每個(gè)學(xué)生是相互獨(dú)立的，所以D1，D2，……，D10相互獨(dú)立，且是由同一因素引起的，可認(rèn)為D服從同一分布。假設(shè)D服從正態(tài)分布，總體標(biāo)準(zhǔn)差未知且小樣本，采用t檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)：H0：μD=0；H1：μD

≠0學(xué)生號(hào)12345678910舊教學(xué)方法x11.315.015.013.512.810.011.012.013.012.3新教學(xué)方法y14.013.814.013.513.512.014.711.413.812.0配對(duì)差D-2.71.21.00-0.7-2.0-3.70.6-0.80.3n=10，D?=-0.6800，SD=1.64