論降落傘的選擇問題

...wd......wd......wd...a降落傘的選擇摘要本文建設了優(yōu)化模型，解決了在滿足空投條件下降落傘的選擇問題。首先，由題意，根據(jù)牛頓第二定律，列出降落傘下降時的運動微分方程，得出降落傘降落高度與時間的關(guān)系式，再利用實驗數(shù)據(jù)進展擬合，得到空氣阻力系數(shù)=2.9377；其次，根據(jù)降落傘落地速度不能超過20的條件，得出不同半徑的降落傘最大載重量分別為：降落傘半徑22.533.54最大載重量150.69235.44339.03461.45602.71再次，以最低費用為目標，以總空投量不低于2000為約束條件，建設目標優(yōu)化模型，得到中選擇6個半徑為3的降落傘時，最低費用為4929.174元。最后，對模型進展了各個角度的靈敏度分析和誤差分析，以及進一步評價和推廣。關(guān)鍵詞：降落傘選購方案阻力系數(shù)最大載重量最低費用1問題重述1.1問題由來為向災區(qū)空投救災物資，需選購一批降落傘，如何確定降落傘的選購方案。1.2信息1救災物資共2000，空投高度為500，降落傘的落地速度不能超過20;2降落傘面是半徑為的半球面，共有16根長為的繩，載重位于球心正下方球面處〔圖見附錄1〕;3降落傘的價格由三局部組成：=1\*GB3①傘面價格由傘的半徑?jīng)Q定〔附錄2表1〕=2\*GB3②繩索費由繩索總長度及單價3元米決定=3\*GB3③固定費200元;4空氣阻力與降落速度和傘面積的乘積成正比，用半徑3，載重300的降落傘從500高度作降落試驗，測得不同時刻降落傘離地面高度的數(shù)據(jù)〔附錄2表2〕。1.3要解決的問題試確定降落傘的選購方案，即共需多少個，每個傘的半徑多大，才能使費用最低2模型假設與符號說明2.1模型假設1降落傘在降落過程中只受重力與空氣阻力的影響，不受其它因素干擾；2這批物資可以進展任意分割。2.2符號說明：降落傘半徑：降落傘各局部的價格：降落傘傘面面積：第種規(guī)格降落傘的數(shù)量：時刻降落傘下降的高度：阻力系數(shù)：第種規(guī)格降落傘的最大載重量：載重量：空氣阻力：降落傘下落速度：時刻降落傘與地面的高度3問題分析首先，根據(jù)題意及假設，知降落傘在降落過程中，只受到重力與空氣阻力的共同作用，利用牛頓第二運動定律，列出降落傘在降落過程的運動方程，并以此來得到降落傘降落高度與降落時間的關(guān)系式；其次，由于空氣阻力系數(shù)未知，可以結(jié)合實驗數(shù)據(jù)，對降落傘降落高度與降落時間的關(guān)系式進展擬合，以求出空氣阻力系數(shù)的大?。辉俅?，由于題目中要求降落傘的落地速度不能大于20米/秒，可以以此為條件，來確定每種半徑不同的降落傘的最大載重量大??；最后，根據(jù)以上的結(jié)論，建設以最低費用為目標，以總空投量大于等于2000為約束條件的優(yōu)化模型，并用或等軟件編程計算求出最優(yōu)解。4數(shù)學模型的建設與求解根據(jù)問題假設與分析，下面對阻力系數(shù)、最大載重量、選購傘數(shù)量及最低費用進展求解。1．確定降落傘下降速度和時間的關(guān)系式根據(jù)假設,降落傘在空中下落時只受到重力和空氣阻力的共同作用,由牛頓第二定律,有又空氣阻力大小為所以有代入初始條件,得由此得到降落傘的下降速度與時間的關(guān)系式為〔1〕2．確定降落傘下降時的時間和下降高度關(guān)系式由式〔1〕,得兩邊同時積分,得代入初始條件,得由此得到降落傘下降時的時間與下降高度的關(guān)系式為〔2〕3．阻力系數(shù)的估計由(2)式可知,降落傘在降落過程中離地面高度與時間的關(guān)系式為〔3〕為估計阻力系數(shù)的大小,利用實驗數(shù)據(jù)對(3)式進展擬合〔程序見附錄3〕,得出阻力系數(shù)=2.9377。4．不同半徑降落傘的最大載重量確實定由牛頓第二定律可知,當降落傘所受合力為零時,降落傘下降的速度到達最大,此時有由于降落傘的落地速度不能超過20米/秒,即有由此可得出五種規(guī)格降落傘最大載重量(見表3).表3五種不同半徑降落傘的最大載重量降落傘的半徑(米)22.533.54最大載重量(千克)150.6785235.4351339.0266461.5286O2.71395.確定降落傘最優(yōu)選購方案由于降落傘面是半徑為的半球面，載重位于球心正下方球面處,由此可得每根繩長為.降落傘總費用由以下三局部費用組成.傘面總費用：繩索總費用：固定總費用：以最低費用為目標，以總空投重量大于等于2000為約束條件，列出規(guī)劃方程：用軟件求得最優(yōu)解〔見附錄4〕為(見表4).表4降落傘選擇的最優(yōu)方案降落傘的半徑22.533.54購置數(shù)量006006．結(jié)果解釋由求解結(jié)果可知：〔1〕共需購置6個降落傘，每個降落傘的半徑都為3。〔2〕最低費用為4929.174元。5模型的靈敏度分析和誤差分析5.1靈敏度分析1最大落地速度變化對降落傘選購方案的影響其它條件不變，當最大落地速度由20變?yōu)?8時，各規(guī)格降落傘的最大載重量變?yōu)榕c原來相比，都減少了11.11%。各規(guī)格降落傘購置數(shù)量變?yōu)樽钚】傎M用變?yōu)?525.4元，與原來相比，增加了12.1%。2空投總物資變化對降落傘選購方案的影響其它條件不變，當空投總物資由2000變?yōu)?500時，各規(guī)格降落傘的最大載重量變?yōu)榕c原來相比，幾乎無影響。各規(guī)格降落傘購置數(shù)量變?yōu)樽钚】傎M用變?yōu)?059.2元，與原來相比，增加了2.43%。3空氣阻力系數(shù)變化對降落傘選購方案的影響其它條件不變，當空氣阻力系數(shù)由2.9377變?yōu)?.5時，各規(guī)格降落傘的最大載重量變?yōu)榕c原來相比，增加了。各規(guī)格降落傘購置數(shù)量變?yōu)?，最小總費用變?yōu)?107.6元，與原來相比，減少了16.84%。4降落傘價格變化對降落傘選購方案的影響其它條件不變，當各規(guī)格降落傘價格由=變?yōu)?時，各規(guī)格降落傘的最大載重量變?yōu)榕c原來相比，幾乎無影響。各規(guī)格降落傘購置數(shù)量不變，最小總費用變?yōu)?935.2元，與原來相比，增加了0.08%。5.2誤差分析模型以時間和位移的關(guān)系為目標表達式，利用軟件編程擬合得到雖然擬合有專業(yè)數(shù)學軟件支持，但未免存在一定的誤差，對半徑,載重的降落傘從500高度降落進展預測，計算降落傘實際位移與預測位移之間的誤差〔見表5,程序見附錄5〕.表5誤差分析結(jié)果時間實際位移預測位移相對誤差000033027.20242.797667575.3788-0.37889128127.53830.461712183180.45412.545915236233.51362.486418285286.6004-1.600421340339.69240.307624392392.7854-0.785427445445.8785-0.878530499498.97170.0283由此可知，理論值與實際觀察值相差不大，誤差很小。6模型評價與推廣6.1模型的評價1．優(yōu)點〔1〕建設的模型能與實際嚴密聯(lián)系，并結(jié)合實際情況對問題進展求解，使模型更貼近實際，通用性、推廣性較強;〔2〕建設的優(yōu)化模型有成熟的理論根基，又有專業(yè)的數(shù)學軟件支持，可信度較高;〔3〕模型原理簡單明了，易于在計算機上進展操作，易于理解與實際運用。2.缺點本模型是在假設條件下建設的，其影響因素不可能全部考慮在內(nèi)，因此與實際情況存在一定誤差。6.2模型的推廣本文建設的模型解決了對降落傘選擇的問題，采用了優(yōu)化解決問題的方法。因此本模型還可以運用于其它類似問題，如：物流運輸?shù)取?參考文獻[1]姜啟源謝金星葉俊主編《數(shù)學模型》〔第三版〕高等教育出版社2003.2[2]孫祥徐流美吳清編著《MATLAB7.0根基教程》清華大學出版社2005.5[3]吳建國主編《數(shù)學建模案例精編》中國水利水電出版社2005.5[4]吳振奎王全文主編《運籌學》中國人民大學出版社2006.2[5]同濟大學數(shù)學系編《高等數(shù)學》〔第六版上冊〕高等教育出版社8附錄附錄1附錄2表1r(m)22.533.54651703506601000表2t(s)036912151821242730x(m)500470425372317264215160108551附錄3functionqcyc1=[651703506601000];t=[036912151821242730];%表二時間x=[500470425372317264215160108551];%表二降落傘離地面的高度x=500-x;%降落傘的位移k=nlinfit(t',x',@kz,[2]);fprintf('空氣阻力系數(shù)k為\n');disp(k);t=0;%求每個規(guī)格的降落傘的最大載重量r=[22.533.54];g=9.8;v=20;fori=rs=2*pi*i^2;t=t+1;m(t)=k*v*s/g;%存放每個規(guī)格的降落傘的最大載重量endfprintf('每個規(guī)格的降落傘的最大載重量\n');disp(m);t=0;r=[22.533.54];%降落傘的半徑fori=rt=t+1;c2(t)=64*sqrt(2)*i;%存放每種規(guī)格每件降落傘對應的c2價格endt=0;forx1=0:ceil(1500/m(1))forx2=0:ceil(1500/m(2))forx3=0:ceil(1500/m(3))forx4=0:ceil(1500/m(4))forx5=0:ceil(1500/m(5))ifx1*m(1)+x2*m(2)+x3*m(3)+x4*m(4)+x5*m(5)>=2000t=t+1;n=(x1+x2+x3+x4+x5)*200+c2(1)*x1+c2(2)*x2+c2(3)*x3+c2(4)*x4+c2(5)*x5+c1(1)*x1+c1(2)*x2+c1(3)*x3+c1(4)*x4+c1(5)*x5;b(t)=n;a(t,:)=[x1,x2,x3,x4,x5];%x1~x5為最優(yōu)解endendendendendendc=find(b==min(b));fprintf('每個降落傘的需求量為\n');disp(a(c,:));fprintf('最小總費用為\n');disp(min(b));附錄4min=446.0193*x1+596.2742*x2+821.5290*x3+1116.7838*x4+1562.0387*x5;150.6785*x1+235.4351*x2+339.0266*x3+461.4528*x4+602.7139*x5>=2000;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);endGlobaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:4929.174Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:0VariableValueReducedCostX10.000000446.0193X20.000000596.2742X36.000000821.5290