因式分解公式大全

因式分解公式大全因式分解公式大全公式及方法大全待定系數(shù)法（因式分解）待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在中的應(yīng)用．在因式分解時(shí)，一些經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．常用的公式：（工+0）（k+8）=x2+（0+S）丁+俗±S）°=a2±2ab+b2白±8尸=/±弘%+3=/±b3a2-h2=（以一8）（0+3）a3±b3=（a±b）（a2+ab+b2'）￡-皖=（厘_雙￡一+￡一％+也”一哥+…+就產(chǎn)+81）5為正整數(shù)）￡-h= _…+氈襁一^*g為偶數(shù)）G=9+句（廣1-廣務(wù)+尸官 於W,）儂為奇數(shù)）（a+if+c）2=a2+ +c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3-3abc=（a+S+c）（a2+82+c2-ab-be-ca）例分解因式： ^分析由于若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是 和的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出和，使問題得到解決.解設(shè)比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有解之得，.1所以原式（ .（ 1說明本題也可用，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下.例分解因式： 7. 7分析本題所給的是一元整多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過的，若原式有有理根，則只可能是±1,±7（7的約數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式.如果原式能分解，只能分解為（ （的形式.解設(shè)原式（ （（ （，（所以有由，先考慮,1有所以原式（因式分解公式大全因式分解公式大全解法解法1用分組分解法，使每組都有因式 ．2因式分解公式大全因式分解公式大全(2=((2=(2X22+2=12說明由于因式分解的唯一性，所以對(duì)二,1二等可以不加以考慮.本題如果=1=代入方程組后，無法確定a,的值，就必須將 =的其他解代入，直到求出待定系數(shù)為止.本題沒有一次因式，因而無法運(yùn)用求根法分解因式．但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式．由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我們把形如anxn+an1xn1+???+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù)的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用 (X,(x,…等記號(hào)表示，如 (x=x23x+2(x=x+x2+…， 當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式(x的值用 (a表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式 (x(1=12-我們把形如anxn+an1xn1+???+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù)的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用 (x,(x,…等記號(hào)表示，如(x=x23x+2(x=x+x2+…，當(dāng)x=a時(shí)，(x的值用 (a表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式(x(1=12X1+2=0；若 ）則稱為多項(xiàng)式 的一個(gè)根.定理1因式定理若是一元多項(xiàng)式 的根，即 成立,則多項(xiàng)式 有一個(gè)因式-根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式的根.對(duì)于任意多項(xiàng)式，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式的都是時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根．定理2的根，則必有是的，是的約數(shù).特別地，當(dāng) 柳整系數(shù)多項(xiàng)式 的整數(shù)根均為的約數(shù).我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行．例2分解因式：的3-4的2+6．的-4分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有2 4232+6X24,即的=是2原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式的-．2因式分解公式大全因式分解公式大全9 3 3 9 39 3 3 9 3原式3TOC\o"1-5"\h\z解法用多項(xiàng)式除法，將原式除以 ,所以原式 ^說明在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根．因此，必須對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證．例3分解因式：9 33x3分析因?yàn)?的約數(shù)有±1，±3，±9；-2的約數(shù)有±1，為：所以，原式有因式9 3.解9x4-3x3+7x2-3x-2因式分解公式大全因式分解公式大全說明若整系數(shù)多項(xiàng)式有根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為 3這樣可以簡(jiǎn)化分解過程.總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式，如果能找到一個(gè)一次因式，那么就可以分解為 ，而是比這一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)進(jìn)行分解了.雙十字相乘法（因式分解）分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法．對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式 ，我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式 .我們將上式按降冪排列，并把當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為 ，可分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用．對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式y(tǒng)我們也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式 y我們將上式按降冪排列，并把當(dāng)作，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-，(22y2-35可以看作是關(guān)于的二次三項(xiàng)式.對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為即．再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于的二次三項(xiàng)式分解所以原式[ ]I ]．上述因式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法．如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式：這就是所謂的雙十字相乘法．用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式 進(jìn)行因式分解的步驟是：用十字相乘法分解 ，得到一個(gè)十字相乘圖有兩列）；把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的x例1分解因式：因式分解公式大全因式分解公式大全因式分解公式大全因式分解公式大全例求 例求 4的8平4方1根TOC\o"1-5"\h\z原式 ^(2)原式 ^原式中缺項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成來分解.原式 ^(4)原式 ^說明(中4有)三個(gè)字母，解法仍與前面的類似．筆算開平方對(duì)于一個(gè)數(shù)的開方，可以不用計(jì)算機(jī)，也不用查表，直接筆算出來，下面通過一個(gè)例子來說明如何筆算開平方，對(duì)于其它數(shù)只需模仿即可第一步,先將被開方的數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)位置向左右每隔兩位用逗號(hào)，分段，如把數(shù)316.4分8段4成13,16.48,41.第二步，找出第一段數(shù)字的初商，使初商的平方不超過第一段數(shù)字，而初商加1的平方則大于第一段數(shù)字，本例中第一段數(shù)字為3，初商為1，因?yàn)?2=1，<而3（1+1）2=4>3.第三步，用第一段數(shù)字減去初商的平方，并移下第二段數(shù)字，組成第一余數(shù)，在本例中第一余數(shù)為216.第四步，找出試商，使（20X初商試商）X試商不超過第一余數(shù)，而【20X初商試商］）X（試商則大于第一余數(shù)第五步，把第一余數(shù)減去（20X初商試商）X試商，并移下第三段數(shù)字，組成第二余數(shù)，本例中試商為7，第二余數(shù)為2748依.此法繼續(xù)做下去，直到移完所有的段數(shù)，若最后余數(shù)為零，則開方運(yùn)算告結(jié)束.若余數(shù)永遠(yuǎn)不為零，則只能取某一精度的近似值.第六步，定小數(shù)點(diǎn)位置，平方根小數(shù)點(diǎn)位置應(yīng)與被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)位置對(duì)齊.本例的算式如下：17.79116.48,41■■I220X1=20+7216 ■笫一余數(shù)271 口1 V1CJ>20X17=340+7|">748 ■■第二余數(shù)3472429 ……347X720X177=3540+ 931941……第三余數(shù)3549319413549X90根式的概念【方根與根式】數(shù)的次方根是指求一個(gè)，它的次方恰好等于的次方根記為為大于的自然數(shù)作為式，稱為根式稱為根，稱為根底數(shù)在范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開偶次方，一個(gè)正數(shù)開偶次方有兩個(gè)方根，其相同，符號(hào)相反作【算術(shù)根】的正方根稱為算術(shù)根作零的算術(shù)根規(guī)定為作【基本性質(zhì)】由方根的定義，有崎X=q=行根式運(yùn)算【乘積的方根】乘積的方根等于各因子同次方根的乘積；反過來，同次方根的乘積等于乘積的同次方根，即三0,bN0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即三0,b>0)【根式的乘方】三0)【根式化簡(jiǎn)】三0)\/c+y/d (、卜+a歷)(+y/b) +y/d)(+y/b)-「樞)+『而、 a~b三0,dN0)^/c+ )(小/^— gE+— )「又十『而+^/b)(,\/^— —h三0,dN0)【同類根式及其加減運(yùn)算】根指數(shù)和根底數(shù)都相同的根式稱為同類根式，只有同類根式才可用加減運(yùn)算加以合并.進(jìn)位制的基與數(shù)字任一可表為通常意義下的有限小數(shù)或無限小數(shù)，各數(shù)字的值與數(shù)字所在的位置有關(guān)，任何位置的數(shù)字當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向右移一位時(shí)其值擴(kuò)大10倍，當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向左移一位時(shí)其值縮小10倍.例如173.246=lxl02+7xlO+3+2xlO-1+4xlO-2+6xl0-3一般地，任一正數(shù)可表為=awx10Mx10M-1H Hi31Ml0+劭+0_］父101+0_3父10°+…這就是進(jìn)數(shù)，記作，數(shù) 稱為進(jìn)位制的基，式中在 中取值，稱為進(jìn)數(shù)的數(shù)字，顯然沒有理由說進(jìn)位制的基不可以取其他的數(shù)現(xiàn)在取為任意大于的當(dāng)作進(jìn)位制的基，于是就得到進(jìn)數(shù)表示式中數(shù)字在 中取值， 稱為進(jìn)數(shù) 的整數(shù)部分，記作稱為 的分?jǐn)?shù)部分，記作 常用進(jìn)位制，除10進(jìn)制外，還有2進(jìn)制、8進(jìn)制、16進(jìn)制等，其數(shù)字如下2進(jìn)制0,18進(jìn)制0,1,2,3,4,5,6,716進(jìn)制0,1,2,3,4,5,6,7,oj?23A5各種進(jìn)位制的相互轉(zhuǎn)換1q-10轉(zhuǎn)換適用通常的10進(jìn)數(shù)，根據(jù)公式1,可以把q進(jìn)數(shù)轉(zhuǎn)換為10進(jìn)數(shù)表示例如743(8)=7xS2+4x8+3=448+32+3=483(10)1011.101(2)=lx23+0x22+1x2+1+1x2-1+0x2-2+lx2-3=11.625阿10fq轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換時(shí)必須分為部分和部分進(jìn)行對(duì)于整數(shù)部分其步驟是：1用q去除10得到和記下余數(shù)作為q進(jìn)數(shù)的最后一個(gè)數(shù)字)用商替換1的0)位］置重復(fù)(1)和(2兩)步，直到商等于零)用商替換為止

對(duì)于分?jǐn)?shù)部分其步驟是：(1)用q去a(10).(記下乘積的整數(shù)部分作為q進(jìn)數(shù)的分?jǐn)?shù)部分第一個(gè)數(shù)字.(用乘積的分?jǐn)?shù)部分替換a(10)的位置，重復(fù)(1)和(兩步，直到乘積變?yōu)檎麛?shù)為止，或直到所需要的位數(shù)為止.例如：103.118(10)=147.074324...(8)整數(shù)部分的 分?jǐn)?shù)部分的草式 草式p-q轉(zhuǎn)換通常情況下其步驟是：a(p)-a(10)-a(q).如果pc是同一數(shù)s的不同次，其步驟是：a(p)-a(s)-a(q).例如，進(jìn)數(shù)1 .轉(zhuǎn)換為1進(jìn)數(shù)時(shí)，由于，1，所以s,其步驟是：首先把8進(jìn)數(shù)的每個(gè)數(shù)字根據(jù)8-轉(zhuǎn)2換表轉(zhuǎn)換為2進(jìn)數(shù)(三位一組)(8)=001010111.110101011(2)然后把2進(jìn)數(shù)的所有數(shù)字從小數(shù)點(diǎn)起（左和右）每四位一組分組，從16-轉(zhuǎn)2換表中逐個(gè)記下對(duì)應(yīng)的16進(jìn)數(shù)的數(shù)字，即■雙⑻=cmi0111.110101011叫”.喟§正多邊形各量換算公式為邊數(shù) 為外接圓半徑 為邊長(zhǎng)燎為內(nèi)切圓半徑為圓心角為多邊形面積重心與外接圓心重合正多邊形各量換算公式表各量正三角形為邊數(shù)為半徑為邊長(zhǎng)燎為半徑為圓心角為面積重心與外接圓心重合正多邊形各量換算公式表或許你還對(duì)作圖感興趣：所謂初等幾何作圖問題，是指使用無刻度的直尺和圓規(guī)來作圖.若使用尺規(guī)有限次能作出幾何圖形，則稱為作圖可能，或者說歐幾里得作圖法是可能的，否則稱為作圖不可能.很多平面圖形可以用直尺和圓規(guī)作出，例如上面列舉的正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形等.而另一些就不能作出，例如正七邊形、正九邊形、正十一邊形等，這些多邊形只能用近似作圖法.如何判斷哪些作圖可能，哪些作圖不可能呢？直到百余年前，用代數(shù)的方法徹底地解決了這個(gè)問題，即給出一個(gè)關(guān)于尺規(guī)作圖可能性的準(zhǔn)則：作圖可能的充分必要條件是，這個(gè)作圖問題中必需求出的未知量能夠由若干已知量經(jīng)過有限次有理運(yùn)算及開平方運(yùn)算而算出.幾千年來許多數(shù)學(xué)家耗費(fèi)了不少的精力，企圖解決所謂“幾何三大問題”：立方倍積問題，即作一個(gè)立方體，使它的體積二倍于一已知立方體的體積.三等分角問題，即三等分一已知角.化圓為方問題，即作一正方形，使它的面積等于一已知圓的面積.后來已嚴(yán)格證明了這三個(gè)問題不能用尺規(guī)作圖.代數(shù)式的求值代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切．許多代數(shù)式是先化簡(jiǎn)再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題，往往需要利用乘法公式、絕對(duì)值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基本性質(zhì)、通分、求值中的方法技巧主要是式恒等變形的技能、技巧和方法．下面結(jié)合例題逐一介紹．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值中，經(jīng)常被采用．分析的值是通過一個(gè)一元二次方程給出的，若解出后，再求值，將會(huì)很麻煩．我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條件．

解已知條件可變形為x解已知條件可變形為x所以說明在求代數(shù)式的值時(shí)，若已知的是一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)式的值，這時(shí)要盡可能避免解（或方程組），而要將所要求值的代數(shù)式適當(dāng)變形，再將已知的代數(shù)式的值整體代入，會(huì)使問題得到簡(jiǎn)捷的解答．例已知a,為實(shí)數(shù)，且滿足下式：，C求的值.解將②式變形如下所以a+b+c=或bc+ac+ab=.若bc+ac+ab=,則a+b+c=a+b+c+bc+ac+ab=a+b+c,=1所以a+b+c=±l.所以a+b+c的值為，1, 1說明本題也可以用如下方法對(duì)②式變形：即拆成1+1+L前一解法是加一項(xiàng)，再減去一項(xiàng)；這個(gè)解法是將拆成1+1+L.利用公式求值例3已知x+y=m,x3+y3=n,m#0,求x+y的值.解因?yàn)閤+y=m,所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m?xy,所以求x+xy+的值.分析將x,y的值直接代入計(jì)算較繁，觀察發(fā)現(xiàn)，已知中x,y的值正好是一對(duì)共輾，所以很容易計(jì)算出x+y與xy的值，由此得到以下解法.解x+xy+y=x+xy+y+xy=(x+y) +xy3.設(shè)參數(shù)法與換元法求值如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡(jiǎn)便，有時(shí)可增設(shè)一些（也叫輔助），以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法．有時(shí)也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另外的一個(gè)字母來替換，這叫換元法．分析本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)，用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個(gè)等式．所以x+y+z=＋（+①由②有把①兩邊平方得u