專題05 首屆新高考-圓錐曲線大題綜合-【沖刺雙一流之大題必刷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)沖刺雙一流之大題必刷滿分沖刺（首屆新高考江西、廣西、貴州、甘肅專用）含答案

專題05首屆新高考-圓錐曲線大題綜合（首屆新高考江西、廣西、貴州、甘肅專用）一、解答題1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，漸近線方程為.直線交于兩點(diǎn)，直線的斜率之和為-2.(1)證明：直線過(guò)定點(diǎn)；(2)若在射線上的點(diǎn)滿足，求直線的斜率的最大值.2．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點(diǎn)，且，求與面積之和的最小值.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，.(1)若，求直線的斜率；(2)設(shè)，是上異于的點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，求證：.4．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線與直線垂直，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．(1)求的軌跡的方程；(2)過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，在第一象限，在處的切線為交軸于點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)是否存在最大值？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，和交點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點(diǎn)，試判斷是否存在定點(diǎn)使？如果存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.6．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓：上，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)，，若直線，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試探究是否為定值，若不是定值，說(shuō)明理由，若是定值，求出定值.8．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？级＃┮阎獔A是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的另一條直線與相交于兩點(diǎn)，且的面積是面積的倍，求直線的方程．9．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，且點(diǎn)在上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與圓：交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍．10．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)直線，均過(guò)點(diǎn)A，且互相垂直，直線與圓O：交于M，N兩點(diǎn)，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B，求面積的最大值.11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為、，離心率，、分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，且.(1)求橢圓C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值；(3)若橢圓上另有一點(diǎn)M，使得直線與斜率、滿足，請(qǐng)分析直線BM是否恒過(guò)定點(diǎn).12．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，焦距為10，，為其左右頂點(diǎn)．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)是直線：上的任意一點(diǎn)，直線、分別交雙曲線于點(diǎn)、，，垂足為，求證：存在定點(diǎn)，使得是定值．13．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為,焦距與短軸長(zhǎng)均為4.設(shè)過(guò)F2的直線l交E于M,N,過(guò)M,N分別作E在點(diǎn)M,N上的兩條切線,記它們的交點(diǎn)為P,MN的中點(diǎn)為Q.(1)證明：O,P,Q三點(diǎn)共線；(2)過(guò)F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A,B,求的取值范圍.參考結(jié)論：點(diǎn)T(,)為橢圓()上一點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)T(,)的橢圓的切線方程為.14．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，曲線的左右頂點(diǎn)分別為，虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)的比值為．

(1)求曲線的方程；(2)如圖，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的軌跡方程．15．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知定點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的動(dòng)點(diǎn)，到定直線的距離分別為，，且，記的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說(shuō)明曲線是什么曲線？(2)已知點(diǎn)，是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，在軸上的射影分別為，（，不同于原點(diǎn)），且直線與直線相交于點(diǎn)，求與面積的比值.16．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)定義：兩個(gè)離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的曲線與曲線相似，且焦點(diǎn)在同一條直線上，曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn).過(guò)曲線上任一點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)分別為，這兩條切線分別與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），證明：.17．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的5.(1)求拋物線方程及點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)，分別交拋物線于兩點(diǎn).令，，，，求的最小值.18．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），過(guò)點(diǎn)作的切線交軸于點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).(1)求證：；(2)記，，的面積分別為，，，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).19．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線的右支上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，且.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線過(guò)點(diǎn)，過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程.20．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，下頂點(diǎn)為是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值；(2)已知．過(guò)點(diǎn)作垂直直線，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在求出定點(diǎn)坐標(biāo)和，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A，B在橢圓C上，點(diǎn)到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點(diǎn)D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N為橢圓上不重合兩點(diǎn)，且M，N的中點(diǎn)H在直線上，求面積的最大值．22．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：與y軸交于，兩點(diǎn)，橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)D到A，B兩點(diǎn)的斜率分別為，，已知．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)D的直線，與橢圓交于另外一點(diǎn)H，若AH的斜率為，求的取值范圍．23．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，D，，AD與BC相交于P點(diǎn).如圖所示.

(1)當(dāng)A，B恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求直線AB的斜率.24．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn).圓是的內(nèi)切圓，且延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若橢圓上點(diǎn)處的切線方程是，①過(guò)直線上一點(diǎn)引的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；②是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.25．（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為第二象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線左支的兩條切線，分別與雙曲線的左支相切于兩點(diǎn)，，已知，的斜率之比為.

(1)求雙曲線的方程；(2)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)設(shè)和的面積分別為和，求的取值范圍.參考結(jié)論：點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的雙曲線的切線方程為.26．（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)已知A是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，直線分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．27．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：．若直線l：與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在直線：上的射影依次為點(diǎn)D，K，G．(1)若直線l交y軸于點(diǎn)T，且，，當(dāng)m變化時(shí)，探究的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說(shuō)明理由；(2)連接AG，BD，試探究當(dāng)m變化時(shí)，直線AG與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明：否則，說(shuō)明理由．28．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)若直線與交于、兩點(diǎn)，過(guò)、分別做的切線，兩切線交于點(diǎn).在以下兩個(gè)條件①②中選擇一個(gè)條件，證明另外一個(gè)條件成立.①直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；②點(diǎn)在定直線上.29．（2023·山東濰坊·三模）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線：與橢圓交于兩點(diǎn)，且在坐標(biāo)平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得（定值），其中分別是直線的斜率，分別是直線的斜率．①求的值；②求四邊形面積的最大值．30．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓：，定點(diǎn)，如圖所示，圓上某一點(diǎn)恰好與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為.

(1)求證：為定值，并求出點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)，為曲線上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)（，均不在軸上）.直線，的斜率分別記為，，且.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).專題05首屆新高考-圓錐曲線大題綜合（首屆新高考江西、廣西、貴州、甘肅專用）一、解答題1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，漸近線方程為.直線交于兩點(diǎn)，直線的斜率之和為-2.(1)證明：直線過(guò)定點(diǎn)；(2)若在射線上的點(diǎn)滿足，求直線的斜率的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線得出雙曲線方程，解設(shè)，設(shè)直線的斜率分別為，通過(guò)化簡(jiǎn)表示出直線的方程，即可得出結(jié)論.（2）利用平面幾何知識(shí)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，求出的坐標(biāo)，最后直線的斜率用的斜率表示，即可求解.【詳解】（1）由題知，的方程為：，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立，得，且，設(shè)直線的斜率分別為，則，故，又，，，，不過(guò)點(diǎn)，，所以直線過(guò)定點(diǎn).（2）由題設(shè)直線.由，得.由，得.故，同理.由可知，，即.因?yàn)?，化?jiǎn)得.當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線的斜率的最大值為.

2．（2023·江蘇無(wú)錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)已知點(diǎn)，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點(diǎn)，且，求與面積之和的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意直接求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程即可；（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不適合題意，所以設(shè)出直線的方程與拋物線聯(lián)立利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得，，化簡(jiǎn)得：，故曲線的方程為.（2）如圖：

因?yàn)辄c(diǎn)，分別為曲線上的第一象限和第四象限的點(diǎn)，所以當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不適合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，，，所以，由，得，因?yàn)椋?，所以，所以，解得：或（舍去），?dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，且滿足，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故最小值為.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，.(1)若，求直線的斜率；(2)設(shè)，是上異于的點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）求出橢圓左焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得直線的斜率；（2）求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線的斜率，與直線的斜率比較可得證明.【詳解】（1）依題意，橢圓的左焦點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)、兩點(diǎn)是橢圓長(zhǎng)軸上的兩點(diǎn)，向量，或，均不滿足，不合題意，所以直線的斜率不為0.故可設(shè)直線的方程為，，，由得：，，則，①，由可得，所以，即②，由①②可得，，化簡(jiǎn)整理得，所以，所以直線的斜率為.（2）證明：由，可得直線的方程為，由得：，所以，結(jié)合可得：，，即，又，則，所以，所以.4．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線與直線垂直，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．(1)求的軌跡的方程；(2)過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，在第一象限，在處的切線為交軸于點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)是否存在最大值？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）利用向量垂直以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解，或者利用菱形的性質(zhì)以及拋物線的定義可判斷點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線．（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與的傾斜角之差最大．聯(lián)立直線與拋物線方程，得到韋達(dá)定理，求導(dǎo)得切線斜率，即可利用傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合正切的和差角公式以及基本不等式即可求解.【詳解】（1）法1：設(shè)因?yàn)?，所以，即．又，所以，所以?：如圖，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由已知得，互相垂直平分所以四邊形為菱形，所以．

因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即點(diǎn)在定直線上因?yàn)?，所以與直線垂直即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線．所以點(diǎn)的軌跡的方程為．（2）存在最大值．延長(zhǎng)交于，

所以最大即直線與的傾斜角之差最大．由題意可知直線有斜率，設(shè)，（）由得所以．因?yàn)椋缘男甭?，的斜率．設(shè)直線與的傾斜角為，則．．當(dāng)且僅當(dāng)即,時(shí)等號(hào)成立因?yàn)椋裕援?dāng)最大時(shí)，最大，即最大此時(shí)，所以，所以的方程為．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.5．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，和交點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點(diǎn)，試判斷是否存在定點(diǎn)使？如果存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)坐標(biāo)為或【分析】（1）利用已知條件表示出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線，的方程，聯(lián)立即可得出點(diǎn)軌跡方程.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，聯(lián)立方程組，得出，，由整理得出，對(duì)恒成立，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，，，即，點(diǎn)坐標(biāo)為，，即，點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)可得，直線方程為：，直線方程為：，兩式移項(xiàng)相乘得：，整理得，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，即其方程為.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，聯(lián)立方程組消得，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，即，，，，，，整理得：，，對(duì)恒成立，，得，，所以存在定點(diǎn)坐標(biāo)為或.6．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓：上，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)，，若直線，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）設(shè)過(guò)原點(diǎn)作圓的切線，利用圓心到直線的距離等于半徑得到，利用韋達(dá)定理及得到，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，即可求出半徑；（2）設(shè)，，由，可得，再由點(diǎn)在橢圓上得到，，即可得到，從而求出的值.【詳解】（1）設(shè)直線，的方程分別為，，過(guò)原點(diǎn)作圓的切線，則，即，即，所以，即，所以.（2）是定值，且，理由如下：設(shè)，，因?yàn)?，所以，即①，又、在橢圓上，所以，，所以，，代入①可得，化簡(jiǎn)得，所以，所以.7．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當(dāng)時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試探究是否為定值，若不是定值，說(shuō)明理由，若是定值，求出定值.【答案】(1)(2)是定值，定值為【分析】（1）延長(zhǎng)與交于，根據(jù)，得到，再設(shè)，利用雙曲線的定義求解；（2）設(shè)，利用雙曲線的定義得到兩漸近線所在直線方程，設(shè)直線方程為，聯(lián)立求得即可.【詳解】（1）解：如圖所示：

延長(zhǎng)與交于，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即，，故方程為；（2）設(shè)，則，，兩漸近線所在直線方程為：，設(shè)直線方程為，將漸近線兩側(cè)平方與直線聯(lián)立，則可得，則，則，故.8．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？级＃┮阎獔A是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的另一條直線與相交于兩點(diǎn)，且的面積是面積的倍，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意和橢圓的定義即可求解；（2）首先求出直線的方程，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，討論直線的斜率存在與否，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立解方程組求出，根據(jù)的面積是面積的倍，化簡(jiǎn)可以得到，進(jìn)一步求出斜率，從而得出答案.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為線段的垂直平分線與半徑的交點(diǎn)，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，在橢圓中，所以曲線的方程為．（2）由已知得，所以直線的方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，或都與已知不符；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，易知，則，，由的面積是面積的倍可得，化簡(jiǎn)得，即，又，所以，即，也就是，所以，解得，所以直線的方程為．

9．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，且點(diǎn)在上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與圓：交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的周長(zhǎng)結(jié)合橢圓的定義得出，再將代入橢圓方程，即可求出，進(jìn)而得出橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，由點(diǎn)到之間距離公式及勾股定理得出，設(shè)，，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得出和，代入，設(shè)，，由的單調(diào)性得出值域，即可求出的范圍．【詳解】（1）因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為8，所以，解得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，得，解得，所以橢圓E的方程為．

（2）由（1）知圓的方程為，設(shè)直線l的方程為，則圓心到直線l的距離，由，可得．設(shè)，，聯(lián)立方程組，消去x得，則，，所以，設(shè)，則，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?/p>

10．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)直線，均過(guò)點(diǎn)A，且互相垂直，直線與圓O：交于M，N兩點(diǎn)，直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B，求面積的最大值.【答案】(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)面積的最大值為.【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程求，可得橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)到直線距離和弦長(zhǎng)表示出面積，再討論取得最大值即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，又，所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）若直線的斜率為，則的斜率不存在，所以的方程為，直線與橢圓的交點(diǎn)為，與條件矛盾；由已知當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的斜率為，所以的方程為，的方程為，聯(lián)立可得，或，故，聯(lián)立，可得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為，當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)其方程為.則直線的方程為.圓心到直線的距離為.直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，由，消可得，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，故，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，時(shí)，上式等號(hào)成立.因?yàn)椋援?dāng)直線的方程是時(shí)，面積取得最大值，最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．11．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為、，離心率，、分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，且.(1)求橢圓C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值；(3)若橢圓上另有一點(diǎn)M，使得直線與斜率、滿足，請(qǐng)分析直線BM是否恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)1(3)直線MB恒過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，求得，即可求出橢圓方程.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式求得AB，并求得AB邊上的高，表示出三角形面積，由基本不等關(guān)系求得最大值即可.（3）設(shè)直線MB的方程為，聯(lián)立與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，設(shè)、，得到，結(jié)合，然后，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得：，解得：，，則，則有C：；（2）由于直線l不能與y軸垂直，故設(shè)，，代入可得恒成立，設(shè)，，則有，點(diǎn)O到直線l的距離為所以當(dāng)且僅當(dāng)：時(shí)取最大值；

（3）設(shè)直線MB的方程為，代入可得，可設(shè)、則有，，因?yàn)椋?，因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以，代入，且，可得，即，即即由于，化簡(jiǎn)得，即直線MB恒過(guò)定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).12．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，焦距為10，，為其左右頂點(diǎn)．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)是直線：上的任意一點(diǎn)，直線、分別交雙曲線于點(diǎn)、，，垂足為，求證：存在定點(diǎn)，使得是定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程及焦距求解雙曲線的方程即可；（2）設(shè)出直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，與直線，，聯(lián)立最終得到點(diǎn)的軌跡方程，即可求解.【詳解】（1）依題意：.（2）證明：如圖：

設(shè)、，，直線：，即：.（記，）代入中得：.所以，.又因?yàn)橹本€：、直線：聯(lián)立得：....即或（舍）.所以.所以，點(diǎn)軌跡為，以為圓心，2為半徑的圓上，所以，.13．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為,焦距與短軸長(zhǎng)均為4.設(shè)過(guò)F2的直線l交E于M,N,過(guò)M,N分別作E在點(diǎn)M,N上的兩條切線,記它們的交點(diǎn)為P,MN的中點(diǎn)為Q.(1)證明：O,P,Q三點(diǎn)共線；(2)過(guò)F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A,B,求的取值范圍.參考結(jié)論：點(diǎn)T(,)為橢圓()上一點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)T(,)的橢圓的切線方程為.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先求得橢圓方程,再設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓的方程,并化簡(jiǎn)切線方程組可得.再設(shè)的中點(diǎn)為,證明即可；（2）取中點(diǎn),根據(jù)三角形的性質(zhì)有四點(diǎn)共線,再結(jié)合橢圓的對(duì)稱性有即可.【詳解】（1）由題意,,,解得,,故橢圓的方程為.又,顯然的斜率不為0,故設(shè)的方程為,,則,即,故,.聯(lián)立過(guò)的切線方程,即,相減可得,即,化簡(jiǎn)可得.代入可得,故.設(shè)的中點(diǎn)為,則,,故.因?yàn)?,故,所以三點(diǎn)共線.（2）由作平行于l的直線分別交于,易得,取中點(diǎn),根據(jù)三角形的性質(zhì)有四點(diǎn)共線,

結(jié)合橢圓的對(duì)稱性有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系,結(jié)合向量的性質(zhì),聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理證明三點(diǎn)共線與求取值范圍的問(wèn)題.需要根據(jù)題意聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理得到P,Q的坐標(biāo),再根據(jù)三角形與向量的性質(zhì)轉(zhuǎn)化所求的量從而進(jìn)行簡(jiǎn)化求解范圍.屬于難題.14．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知過(guò)右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，曲線的左右頂點(diǎn)分別為，虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)的比值為．

(1)求曲線的方程；(2)如圖，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)右焦點(diǎn)坐標(biāo)、虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)的比值可得曲線的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，直線為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入可得、的值，求出直線、直線方程聯(lián)立求得，可得直線的方程，與聯(lián)立可得可得答案．【詳解】（1）由題意得，又，則，曲線的方程為；（2）設(shè)直線的斜率分別為，直線為，由，得，，，則，，由于點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，則直線為，直線為，顯然，由，得，即，則直線的方程為，由得，即，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知在軸上，此時(shí)直線平行于直線，不符合題意，故的軌跡方程為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二位關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理得、的值，直線的方程與直線方程聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．15．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知定點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的動(dòng)點(diǎn)，到定直線的距離分別為，，且，記的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說(shuō)明曲線是什么曲線？(2)已知點(diǎn)，是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，在軸上的射影分別為，（，不同于原點(diǎn)），且直線與直線相交于點(diǎn)，求與面積的比值.【答案】(1)曲線的方程為或，曲線是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓與軸組成的曲線(2)比值為1【分析】（1）設(shè)，由直接列式化簡(jiǎn)可得；（2）先證直線直線的交點(diǎn)也是直線與直線的交點(diǎn)，則有，，由即可求解.【詳解】（1）設(shè)，.由有，，兩邊平方得，化簡(jiǎn)得，即曲線的方程為或.曲線是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓與軸組成的曲線.（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則，.令，將代入并整理得，，，.直線的方程為：.設(shè)，則，同理直線與直線相交于點(diǎn)，.，其中.從而，與重合.因?yàn)?，所?又，，則.所以與面積的比值為1.

16．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)定義：兩個(gè)離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的曲線與曲線相似，且焦點(diǎn)在同一條直線上，曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn).過(guò)曲線上任一點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)分別為，這兩條切線分別與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)及橢圓定義求出方程作答.（2）由（1）及已知求出曲線的方程，驗(yàn)證斜率不存在的情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出它們的方程，再與，的方程聯(lián)立推理作答.【詳解】（1）依題意，，

由橢圓的定義知，交點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為左右焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，則，所以曲線的方程為.（2）由（1）知，曲線的離心率為，且焦點(diǎn)在x軸上，則曲線的離心率為，曲線的焦點(diǎn)在x軸上，而曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，因此曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，短半軸長(zhǎng)有，于是曲線的方程為，設(shè)，

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，的方程為，代入得，此時(shí)、與曲線都相切，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則；當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，同理有；當(dāng)切線和的斜率都存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，分別代入和，化簡(jiǎn)得①，②，依題意，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，于是，即，則，此時(shí)為的中點(diǎn).同理可證，為的中點(diǎn)，因此，所以.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為(A>0，B>0，A≠B)．17．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的5.(1)求拋物線方程及點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)，分別交拋物線于兩點(diǎn).令，，，，求的最小值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線定義列式得的值，即可得拋物線方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，，，，分別表示、，根據(jù)，得，代入，利用基本不等式求解．【詳解】（1）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的5所以，解得，故拋物線方程為，所以，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)，，，，，

由于A，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，故，即，同理B，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，，故直線的方程為：，即，，，由得，所以，，所以直線的方程為：，即，直線恒過(guò)定點(diǎn)，注意到，所以，設(shè)，，則：，，因此，所以的最小值為，此時(shí).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．18．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限），過(guò)點(diǎn)作的切線交軸于點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).(1)求證：；(2)記，，的面積分別為，，，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2時(shí)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定直線斜率，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，把所證等式轉(zhuǎn)化為比例式，利用相似比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之比，即可得證；（2）對(duì)的面積可以采用分割法轉(zhuǎn)化為兩三角形面積之差，最后將表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性進(jìn)而確定最值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，可設(shè)函數(shù)，則，所以，所以直線方程為，令，則，即點(diǎn).設(shè)直線，與聯(lián)立得，所以，同理.因?yàn)椋?，所以，則，設(shè)直線，與聯(lián)立得，又因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)，所以，代入拋物線，又因?yàn)樵诘谒南笙?，可?因?yàn)?，，所以，即，原命題得證.（2）由（1）知，所以，得，即.所以，另由（1）知，，，所以，即；，，設(shè)函數(shù)，，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率；二是把目標(biāo)式表示出來(lái)后，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.19．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線的右支上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，且.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線過(guò)點(diǎn)，過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理列出方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在與存在討論，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由對(duì)稱性可知：，故，由雙曲線定義可知：，即，所以，又因?yàn)?，在中，由余弦定理得：，即，解得：，故離心率為.（2）

因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，所以雙曲線方程：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線的斜率不存在時(shí)不成立.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為又點(diǎn)到直線距離，聯(lián)立，消去得，則，由的面積為，即，將代入上式得，或，即或，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，直線的方程為：或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，以及直線與雙曲線相交問(wèn)題，難度較難，解答本題的關(guān)鍵在于聯(lián)立直線與雙曲線方程表示出，結(jié)合面積公式列出方程.20．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，下頂點(diǎn)為是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值；(2)已知．過(guò)點(diǎn)作垂直直線，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在求出定點(diǎn)坐標(biāo)和，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得.【分析】（1）設(shè)橢圓任意一點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）設(shè)直線的斜率分別為，得到，以為原點(diǎn)，軸仍為軸建立直角坐標(biāo)系，把橢圓的方程轉(zhuǎn)化為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得的值，進(jìn)而得到過(guò)定點(diǎn)，求得的中點(diǎn)為及，結(jié)合直角三角形性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，可設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離為，其中且，當(dāng)時(shí)，可得，所以，即橢圓上點(diǎn)到直線的最大距離為.（2）解：由題意，可得點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，且，則，則，可得，平移坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，軸仍為軸建立直角坐標(biāo)系，則，則橢圓的方程變?yōu)?，設(shè)直線的方程為，可得，所以，所以，可得，所以直線的方程為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)，又由，可得的中點(diǎn)為，且，中直角中，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得，即存在定點(diǎn)，使得.

21．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)A，B在橢圓C上，點(diǎn)到直線的距離為，且的內(nèi)心恰好是點(diǎn)D．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N為橢圓上不重合兩點(diǎn)，且M，N的中點(diǎn)H在直線上，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，再根據(jù)的內(nèi)心恰好是點(diǎn)D，可得軸，求出直線的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求得即可得解；（2）設(shè)，利用點(diǎn)差法求得直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再利用弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)直線的距離，再利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，故點(diǎn)到直線的距離等于，因?yàn)榈膬?nèi)心恰好是點(diǎn)D，所以點(diǎn)到直線的距離相等且為，則即為點(diǎn)到直線的距離，所以，即軸，由，令，則，不妨取，則，故直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離為，即，又，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，則，因?yàn)镸，N為橢圓上不重合兩點(diǎn)，則有，兩式相減得，則，即，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，解得，所以，，則，原點(diǎn)到直線的距離，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以面積的最大值為．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：與y軸交于，兩點(diǎn)，橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)D到A，B兩點(diǎn)的斜率分別為，，已知．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)D的直線，與橢圓交于另外一點(diǎn)H，若AH的斜率為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）取在橢圓上，代入得，再計(jì)算的表達(dá)式即可求出值；（2）取的方程為,其中，聯(lián)立橢圓方程得，設(shè)，則得到韋達(dá)定理式，計(jì)算得，再計(jì)算，再設(shè)函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)即可求出范圍.【詳解】（1）取在橢圓上,,又，，橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為,其中,將直線方程帶入得,,其判別式為,或，取為交點(diǎn),,,又,,取,，令，解得，令，，在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又的值域?yàn)?即的取值范圍為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則，綜上的取值范圍為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采取設(shè)線法，設(shè)，為了簡(jiǎn)便運(yùn)算令，從而得到韋達(dá)定理式，首先計(jì)算，在化簡(jiǎn)代入韋達(dá)定理式得，再計(jì)算，最后設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其范圍即可.23．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，D，，AD與BC相交于P點(diǎn).如圖所示.

(1)當(dāng)A，B恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求直線AB的斜率.【答案】(1)是定值，定值為(2)【分析】（1）由題意求出直線的斜率，再求可設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后求解即可；（2）設(shè)，，，記，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，將A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得，再由可得，從而可得，進(jìn)而可得直線的方程，則可求出其斜率.【詳解】（1）由題意知，，，所以，，所以，設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線CD與橢圓的方程，整理得，由，解得，且，則，，所以，故直線AD與BC的斜率之積是定值，且定值為.（2）設(shè)，，，記()，得.所以.又A，D均在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，同理可得，即直線AB：，所以AB的斜率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線CD的方程，代入橢圓方程中消元化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用直線的斜率公式表示出，結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)果，考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.24．（2023·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn).圓是的內(nèi)切圓，且延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若橢圓上點(diǎn)處的切線方程是，①過(guò)直線上一點(diǎn)引的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；②是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)①證明見解析；②存在實(shí)數(shù)【分析】（1）抓住內(nèi)切圓的性質(zhì)找到等量關(guān)系，再由定義法即可求結(jié)果；（2）①通過(guò)題設(shè)發(fā)現(xiàn)切點(diǎn)的坐標(biāo)滿足一個(gè)同構(gòu)方程，從而得出直線的方程求出過(guò)的定點(diǎn)；②涉及到直線與圓錐曲線相交的問(wèn)題，若用的是代數(shù)法，一般是聯(lián)立方程化簡(jiǎn)，結(jié)合韋達(dá)定理將所求表達(dá)出來(lái)再進(jìn)化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化等，注意設(shè)而不求的思想方法【詳解】（1）解：據(jù)題意，，從而可得，由橢圓定義知道，的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，所以所求的橢圓的方程為.（2）解：①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，則切線方程分別為，又兩切線均過(guò)點(diǎn)，即，從而點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，故直線的方程是，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)，點(diǎn)都適合這個(gè)方程，故直線恒過(guò)定點(diǎn).②將直線的方程，代入橢圓方程，得，即，不妨設(shè)，同理.所以故存在實(shí)數(shù)，使得.25．（2023·湖南邵陽(yáng)·邵陽(yáng)市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為第二象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線左支的兩條切線，分別與雙曲線的左支相切于兩點(diǎn)，，已知，的斜率之比為.

(1)求雙曲線的方程；(2)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)設(shè)和的面積分別為和，求的取值范圍.參考結(jié)論：點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的雙曲線的切線方程為.【答案】(1)(2)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(3)【分析】（1）由條件確定雙曲線的焦點(diǎn)位置，設(shè)其方程，再列出關(guān)于的方程，解方程可得雙曲線方程，（2）設(shè)，由條件，的斜率之比為可得，設(shè)，，，結(jié)合所給結(jié)論求切線，方程，由此可得直線的方程，由此判斷結(jié)論；（3）先證明，設(shè)，結(jié)合設(shè)而不求法表示，再通過(guò)換元，利用函數(shù)的單調(diào)性求其取值范圍.【詳解】（1）由已知雙曲線為焦點(diǎn)在軸上，中心為原點(diǎn)的雙曲線，設(shè)其方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，，又雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）知，，設(shè)，所以，，因?yàn)?，的斜率之比為，即，解得，所以點(diǎn)在直線上，設(shè)，，，則切線方程為：，則切線方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)既在直線上又在直線上，即：，，所以直線的方程為：，化簡(jiǎn)可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)；

（3）由（2）得直線過(guò)定點(diǎn)，所以，，，所以，點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的距離的3倍，所以，，因?yàn)?，所以，，若直線的斜率為，則直線與雙曲線的左支的交點(diǎn)為與已知矛盾，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線的方程為，切線的方程為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，與點(diǎn)在第二象限矛盾，設(shè)，將代入雙曲線中得，由已知，方程的判別式，所以，，，由已知，所以，，所以，，化簡(jiǎn)可得，又，所以或，所以的取值范圍為所以令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，的取值范圍為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決直線與雙曲線的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、雙曲線的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．26．（2023·湖北恩施·校考模擬預(yù)測(cè)）已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)已知A是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，直線分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)三角形的面積及內(nèi)切圓的半徑列出方程組求得得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，，寫出直線的方程求出的坐標(biāo)，并求出，，將表示為的函數(shù)，使用基本不等式求最大值.【詳解】（1）由題意知，則，又，則，又，解得，所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，可得，則，直線的方程：，所以，同理，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為4．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求四邊形的面積最大值，首先要選擇合適的面積公式，這是非常規(guī)四邊形，使用的面積公式為，為此計(jì)算，代入轉(zhuǎn)化為的函數(shù)求最大值.27．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓E：．若直線l：與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在直線：上的射影依次為點(diǎn)D，K，G．(1)若直線l交y軸于點(diǎn)T，且，，當(dāng)m變化時(shí)，探究的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說(shuō)明理由；(2)連接AG，BD，試探究當(dāng)m變化時(shí)，直線AG與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明：否則，說(shuō)明理由．【答案】(1)是，(2)存在，定點(diǎn)．【分析】（1）設(shè)直線交橢圓于，聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，并結(jié)合及，可得到的表達(dá)式，進(jìn)而可證明；（2）令，可知直線與相交于，進(jìn)而討論時(shí)，直線與也相交于即可.【詳解】（1）易知，且直線l與y軸的交點(diǎn)為，設(shè)直線l交橢圓于，．聯(lián)立，得．所以．所以，，又．可得．所以．又.同理可得．所以，因?yàn)椋裕?）若，則直線l為．此時(shí)四邊形ABGD為矩形，根據(jù)對(duì)稱性可知直線AG與BD相交于F，K的中點(diǎn)N，易知