第4章摩擦平衡問題

第四章考慮摩擦的平衡問題

摩擦是自然界中廣泛存在的一種復(fù)雜的物理、力學(xué)現(xiàn)象，不但在粗糙接觸中有摩擦存在，就是極光滑的接觸中也有摩擦存在。一般認(rèn)為摩擦產(chǎn)生的原因是：（1）接觸面的凹凸不平；（2）接觸面間的分子吸引力。

摩擦的分類：（1）按相互接觸物體的運(yùn)動(dòng)形式分為滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦；（2）按相互接觸物體有無相對運(yùn)動(dòng)分為靜摩擦和動(dòng)摩擦。趨利避害是我們研究摩擦的目的。本章主要研究滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦的理論，介紹摩擦角和自鎖的概念，從宏觀的角度研究摩擦對物體產(chǎn)生的作用力，即摩擦力，解決帶摩擦力的物系平衡問題。

4.1滑動(dòng)摩擦

如圖4-1所示，物體A在主動(dòng)力作用下，如果產(chǎn)生相對滑動(dòng)趨勢時(shí)，周圍物體（圖示為約束面）會對該物體產(chǎn)生一個(gè)與相對滑動(dòng)趨勢方向相反的力Fs，它總是力圖阻止相對滑動(dòng)的發(fā)生，這個(gè)力Fs就是靜滑動(dòng)摩擦力，簡稱靜摩擦力。沿接觸點(diǎn)的切線，其方向總是與相對運(yùn)動(dòng)趨勢方向相反。

實(shí)驗(yàn)表明，摩擦力的大小隨主動(dòng)力的增大而增大，當(dāng)物體即將滑動(dòng)（將動(dòng)未動(dòng)）時(shí)，摩擦力達(dá)到最大值，因此有

（4-1）1.滑動(dòng)摩擦力

其中，最大摩擦力Fmax稱為臨界摩擦力（或最大靜滑動(dòng)摩擦力）。物體處于平衡的臨界狀態(tài)，稱為臨界平衡狀態(tài)。Fmax的值由庫侖靜摩擦定律（又稱靜摩擦定律）決定，即

(4-2)式中：FN為正壓力；fs為靜摩擦因數(shù)，是一個(gè)無量綱的常數(shù)，取決于物體的材料。當(dāng)滑動(dòng)摩擦力已達(dá)到最大值時(shí)，若主動(dòng)力再繼續(xù)加大，接觸面之間將出現(xiàn)相對滑動(dòng)。此時(shí)，接觸物體之間仍作用有阻礙相對滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡稱動(dòng)摩擦力，以表示。此時(shí)摩擦定律（4-2）仍然近似成立，其中的摩擦系數(shù)符號需要改動(dòng)，即（4-3）式中：F為動(dòng)摩擦力；f為動(dòng)摩擦因數(shù)，它與接觸物體的材料和表面情況有關(guān)。一般情況下，動(dòng)摩擦因數(shù)小于靜摩擦因數(shù)，即f<fs。2.摩擦角與自鎖1）摩擦角

如圖所示，法向的約束力和切向的靜摩擦力的合力FR稱為全約束反力，它與接觸面法線間有一個(gè)夾角φ

，當(dāng)摩擦力達(dá)到最大時(shí)，夾角φ也達(dá)到最大，記作φm，稱為摩擦角，顯然有（4-4）2）自鎖現(xiàn)象

可以從幾何的角度來解釋一個(gè)很重要的物系平衡現(xiàn)象。如圖4-2（a）所示，主動(dòng)力FA的作用線在摩擦角內(nèi)，物系平衡時(shí)，全約束反力FR中需要的摩擦力大小可以表示為線段AB的長度，而接觸面可以提供的最大摩擦力的大小可以表示為線段AC的長度，線段AC的長度大于線段AB的長度，因此接觸面總能提供保持平衡所需的摩擦力，進(jìn)而物體處于平衡。當(dāng)主動(dòng)力即合力FA的方向、大小改變時(shí)，只要FA的作用線在摩擦角內(nèi)，C點(diǎn)總是在B點(diǎn)右側(cè)，物體總是保持平衡，這種平衡現(xiàn)象稱為摩擦自鎖。

反之，對于如圖4-2（b）所示情況，主動(dòng)力合力FA的作用線在摩擦角外，此時(shí)接觸面所能提供的最大摩擦力（線段AC）小于保持平衡所需的摩擦力（線段AB），因此物體不能平衡。4.2考慮滑動(dòng)摩擦的平衡問題

求解有摩擦的平衡問題時(shí)，除了應(yīng)考慮滿足力系的平衡條件外，還應(yīng)考慮摩擦力的計(jì)算。摩擦力的大小由平衡條件確定，且其最大值不大于最大靜摩擦力的值。也就是說，平衡的物體所受的摩擦力可以在一定范圍內(nèi)變化，即0≤FS

≤FMAX。這就決定了有摩擦的平衡問題的解答，一般說來不是一個(gè)確定的數(shù)值，而是一個(gè)取值范圍。在此范圍內(nèi)，物體總是處于平衡狀態(tài)，所以稱其為平衡范圍。

就解題的方法而言，求解有摩擦的平衡問題，可以用解析法，也可以用幾何法。用解析法時(shí)，極限摩擦力的方向總是與物體的相對滑動(dòng)趨勢方向相反，不能隨意假設(shè)。而對于沒有達(dá)到極值的摩擦力，方向是未知的，可以預(yù)先假設(shè)，其真實(shí)方向由平衡方程確定。若其值為正時(shí)，則其真實(shí)方向與假設(shè)方向相同；若其值為負(fù)時(shí)，則其真實(shí)方向與假設(shè)方向相反。而用幾何法求解時(shí)，由于把摩擦力按主動(dòng)力來看待，因此，其假設(shè)方向必須是其真實(shí)方向，否則將會得到錯(cuò)誤的結(jié)果。

例4-1

重為W的物塊放在傾角為α的斜面上，在物塊上作用一水平力F。設(shè)α

大于摩擦角φm

，靜摩擦因數(shù)為fs。試求使物塊保持靜止所需力F。

解：因α>φm,如F太小，則物塊將下滑；如F過大，又將使物塊上滑，所以需要分兩種情形加以討論。

先求恰能維持物塊不致下滑所需的力Fmin。這時(shí)摩擦力向上，如圖（b）所示。列平衡方程注意再求不使物體向上滑動(dòng)的力Fmax。這時(shí)摩擦力向下，如圖（c）所示。列平衡方程可見，要使物塊在斜面上保持靜止，力F必須滿足這就是所求的平衡范圍。例4-2

制動(dòng)器如圖4-6（a）所示。已知重物M重量為W，制動(dòng)塊和鼓輪間的摩擦因數(shù)為fs，各部分尺寸已知。試求使鼓輪保持平衡時(shí)手柄上所作用的最小力Fmin。解：鼓輪在重力W的作用下有轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢。手柄受力F作用，制動(dòng)塊緊壓鼓輪，使鼓輪靜止不動(dòng)。因此鼓輪與制動(dòng)塊之間存在著正壓力和摩擦力。對鼓輪列靜力平衡方程，得①對手柄列靜力平衡方程，得②補(bǔ)充方程③

當(dāng)鼓輪處于要轉(zhuǎn)動(dòng)而未轉(zhuǎn)動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力Fs達(dá)到最大值Fsmax，而主動(dòng)力F達(dá)到最小值Fmin，即④；⑤由式①和式②解得⑥；⑦將式④、式⑤代入式⑥、式⑦，即得

例4-3梯子AB靠在墻上，其重為W=200N，如圖所示。梯長為l，梯子與水平面的夾角θ=600。已知接觸面間的摩擦因數(shù)為0.25。今有一重650N的人沿梯上爬，問人所能達(dá)到的最高點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離s為多少？

解：整體受力如圖所示，設(shè)C點(diǎn)為人所能達(dá)到的極限位置，此時(shí)

例4-4

鄂式破碎機(jī)的動(dòng)鄂與固定鄂板之間的夾角稱為嚙角。當(dāng)動(dòng)鄂靠近固定鄂板時(shí)，則位于兩鄂板之間的礦石被粉碎；當(dāng)動(dòng)鄂離開固定鄂板時(shí)，已破碎的礦石在重力作用下經(jīng)排礦口排出，如圖4-8（a）所示。已知礦石與鄂板間的摩擦角為φm

，不計(jì)礦石自重，問要保證礦石能被鄂板夾住不致上滑，則嚙角α應(yīng)為多大？解：設(shè)礦石的形狀為球形，當(dāng)鄂板壓緊礦石時(shí)，其受力如圖4-8（b）所示。力FNA和FNB為鄂板作用于礦石的壓碎力，其方向垂直于鄂板表面，力Fs1與Fs2為摩擦力，其方向平行于鄂板表面，而力FRA與FRB分別為FNA和Fs1、FNB和Fs2的合力。礦石的自重可忽略不計(jì)。當(dāng)破碎礦石時(shí)，嚙角α應(yīng)該保證礦石能被夾住，既不向上滑動(dòng)也不從破碎機(jī)的給礦口中跳出來，即產(chǎn)生自鎖。由于礦石僅受FRA、FRB兩力的作用，根據(jù)二力平衡條件，該兩力必大小相等、方向相反、沿同一直線AB。由圖4-8（b）的幾何關(guān)系，對頂角相等和對應(yīng)邊相互垂直，可得

所以由以上各例的解題過程，可以得到求解摩擦問題的基本方法和步驟：①根據(jù)題意選取適當(dāng)?shù)难芯繉ο螅_分析約束的性質(zhì)和物體的運(yùn)動(dòng)趨勢，畫受力圖。摩擦力總是阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，因此，物體所受摩擦力的方向總是與其運(yùn)動(dòng)方向相反。②列靜力平衡方程?？紤]摩擦的平衡問題與沒有摩擦的平衡問題一樣，它們都應(yīng)滿足靜力平衡方程式。為了不解聯(lián)立方程，應(yīng)適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系。③列摩擦力的補(bǔ)充方程，求解未知量。由于摩擦力有一個(gè)取值范圍，因此，一般需要解不等式。用幾何法求解時(shí)，主動(dòng)力和全約束反力的數(shù)目不應(yīng)多于三個(gè)，此時(shí)可用三力平衡匯交定理求解。

4.3滾動(dòng)摩擦

設(shè)一重量為W，半徑r的滾子靜止地放在水平面上（圖4-9（a））。在其中心O作用一個(gè)變力F。開始時(shí)力F比較小，滾子既不滾動(dòng)也不滑動(dòng)地靜止在水平面上，說明這時(shí)滾子處于平衡狀態(tài)。作用在滾子上的力有重力W、拉力F、法向反力FN和靜摩擦力Fs，如圖4-9（b）所示。由平面一般力系的平衡方程可得

由上述結(jié)果可知，只要拉力F的值不超過最大靜摩擦力Fmax的值，滾子就不會向前滾動(dòng)。但是，拉力F和靜摩擦力Fs又組成一個(gè)力偶，其力偶矩為Fr。從圖4-9（b）中可以看出，如果沒有其他力偶存在，則不論力偶矩Fr多么小，在它的作用下，滾子都將滾動(dòng)?，F(xiàn)在滾子不動(dòng)，就說明一定還存在另一個(gè)矩為Mf的力偶，其轉(zhuǎn)向與Fr的轉(zhuǎn)向相反，且與Fr平衡，阻止?jié)L子的滾動(dòng)（圖4-9（c））。Mf稱為滾動(dòng)摩阻力偶（又稱滾阻力偶）。

由此可知，在滾子上作用的是一個(gè)平衡力系，所以滾子靜止不動(dòng)。此時(shí)有

那么阻礙滾子滾動(dòng)的滾動(dòng)摩阻是如何產(chǎn)生的呢？事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)中，剛體是不存在的。在外力作用下，滾子和其支承面都將產(chǎn)生微小的變形，它們所接觸的不是一個(gè)點(diǎn)而是一條曲線（就平面圖形而言）。為便于分析，假定滾子是剛體，僅支承面發(fā)生變形。這樣，滾子中心在受到豎直和水平力的作用下，地面將對它產(chǎn)生反作用力，方向如圖4-10（a）所示。

將地面的反作用力向B點(diǎn)簡化，得到圖（b），再向A點(diǎn)簡化，并略去A、B兩點(diǎn)在豎直方向的微小距離，得到圖（c）。正是其中矩為Mf的滾動(dòng)摩擦力偶阻礙著滾子的滾動(dòng)。其大小和轉(zhuǎn)向可由下列平衡方程確定:得：當(dāng)F逐漸增大時(shí)，Mf也逐漸增大，即e也隨著增大。由于e的增大是有限，因此，當(dāng)e增大到某一極限值δ時(shí)，滾子即達(dá)到將要滾動(dòng)而未滾動(dòng)的臨界狀態(tài)，這時(shí)的滾動(dòng)摩擦力偶矩達(dá)到最大值，稱為最大滾動(dòng)摩擦力偶矩，用Mmax表示。如果此時(shí)F再增加一個(gè)微小的量，滾子就從靜止開始滾動(dòng)。滾子開始滾動(dòng)后，滾動(dòng)摩擦力偶仍然存在。一般認(rèn)為滾動(dòng)時(shí)的滾動(dòng)摩擦力偶矩與最大摩擦力偶矩相等。

從上述討論可知，滾動(dòng)摩擦力偶矩Mf的大小在零和最大值之間變化，即

實(shí)驗(yàn)表明，最大滾動(dòng)摩擦力偶矩Mmax與支承面法向反力FN的大小成正比，即（4-6）（4-7）

這就是滾動(dòng)摩擦定理。式中δ稱為滾動(dòng)摩擦系數(shù)，是一個(gè)具有長度量綱的量，常用單位是毫米（mm）。

下面討論滾子的滾動(dòng)與滑動(dòng)之間的關(guān)系。設(shè)滾子達(dá)到將要滾動(dòng)而未滾動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)的受力情況如圖4-11（a）所示。如果滾子開始滾動(dòng)，則有

設(shè)滾子達(dá)到將要滑動(dòng)而未滑動(dòng)的臨界狀態(tài)時(shí)的受力情況如圖4-11（b）所示。如果滾子開始滑動(dòng)，則有（4-8）（4-9）

由于δ/r遠(yuǎn)小于fs，比較式（4-8）和（4-9）可知，一般情況下，拉力總是先達(dá)到F1，因此，使?jié)L子滾動(dòng)要比使它滑動(dòng)容易得多。由此可知，搬運(yùn)重物時(shí)，在它下面墊幾根滾軸，推動(dòng)起來要比不墊滾軸省力得多。例4-5

半徑為R的圓輪，在其頂點(diǎn)作用有水平向右的力F，輪與水平面間的