2024屆黑龍江省牡丹江市愛民區(qū)第三高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末考試試題含解析

2024屆黑龍江省牡丹江市愛民區(qū)第三高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知實(shí)數(shù)a、b，滿足，，則關(guān)于a、b下列判斷正確的是（）A.a＜b＜2 B.b＜a＜2C.2＜a＜b D.2＜b＜a2．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，且，當(dāng)時(shí)，，則等于A. B.C.2 D.43．若無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線與圓相交，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.5．若，則終邊在（）A.第一、三象限 B.第一、二象限C.第二、四象限 D.第三、四象限6．已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.7．如圖所示的是用斜二測(cè)畫法畫出的的直觀圖（圖中虛線分別與軸，軸平行），則原圖形的面積是（）A.8 B.16C.32 D.648．已知全集,集合，集合，則A. B.C. D.9．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是A. B.C. D.10．對(duì)于函數(shù)定義域中任意的，，當(dāng)時(shí)，總有①；②都成立，則滿足條件的函數(shù)可以是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，且直線與的圖象在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是________.12．設(shè)，向量，，若，則_______13．奇函數(shù)f(x)是定義在[-2,2]上的減函數(shù)，若f(2a+1)+f(4a-3)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______14．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，則稱為“T—單調(diào)增函數(shù)”對(duì)于“T—單調(diào)增函數(shù)”，有以下四個(gè)結(jié)論：①“T—單調(diào)增函數(shù)”一定在D上單調(diào)遞增；②“T—單調(diào)增函數(shù)”一定是“—單調(diào)增函數(shù)”（其中，且）：③函數(shù)是“T—單調(diào)增函數(shù)”（其中表示不大于x的最大整數(shù)）；④函數(shù)不“T—單調(diào)增函數(shù)”其中，所有正確的結(jié)論序號(hào)是______15．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則的解集為__________.16．已知a，b為直線，α，β，γ為平面，有下列四個(gè)命題：（1）a∥α，b∥β，則a∥b；（2）a⊥γ，b⊥γ，則a∥b；（3）a∥b，b?α，則a∥α；（4）a⊥b，a⊥α，則b∥α；其中正確命題是__三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知.（1），求和的值；（2）若，求的值.18．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）當(dāng)時(shí)，記的值域分別為集合，若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍19．如圖1，摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.如圖2，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為110m，轉(zhuǎn)盤直徑為100m，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟時(shí)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周需要30.（1）求游客甲坐在摩天輪的座艙后，開始轉(zhuǎn)到10后距離地面的高度；（2）以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸，所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為m，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過(guò)程中，求兩人距離地面的高度差（單位：m）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（結(jié)果精確到0.1m）.參考公式：.參考數(shù)據(jù)：，20．（1）計(jì)算：；（2）已知，，求，的值.21．如圖所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.(1)求證：AE⊥平面BCE；(2)求證：AE∥平面BFD；(3)求三棱錐C－BGF的體積

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】先根據(jù)判斷a接近2，進(jìn)一步對(duì)a進(jìn)行放縮，，進(jìn)而通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式可以判斷a>2；根據(jù)b的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，進(jìn)而得到a,b的大小關(guān)系，最后再判斷b和2的大小關(guān)系，最終得到答案.【題目詳解】.構(gòu)造函數(shù)：，易知函數(shù)是R上的減函數(shù)，且，由，可知：，又，∴，則a>b.又∵，∴a>b>2故選：D.【題目點(diǎn)撥】對(duì)數(shù)函數(shù)式比較大小通常借助中間量，除了0和1之外，其它的中間量需要根據(jù)題目進(jìn)行分析，中間會(huì)用到指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和放縮法；另外，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是比較常用的一種方法，需要我們對(duì)式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仔細(xì)分析，平常注意歸納總結(jié).2、D【解題分析】由得，又由得函數(shù)為偶函數(shù)，所以選D3、A【解題分析】利用二元二次方程表示圓的條件及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即得.【題目詳解】由圓，可知圓，∴，又∵直線，即，恒過(guò)定點(diǎn)，∴點(diǎn)在圓的內(nèi)部，∴，即，綜上，.故選：A.4、A【解題分析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【題目詳解】由題意可知，即故選：A.5、A【解題分析】分和討論可得角的終邊所在的象限.【題目詳解】解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，其終邊在第三象限；當(dāng)時(shí)，，其終邊在第一象限.綜上，的終邊在第一、三象限.故選：A.6、D【解題分析】先求得全集U和，根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算的概念，即可得答案.【題目詳解】由題意得全集，，所以.故選：D7、C【解題分析】由斜二測(cè)畫法知識(shí)得原圖形底和高【題目詳解】原圖形中，，邊上的高為，故面積為32故選：C8、C【解題分析】先求出，再和求交集即可.【題目詳解】因全集,集合，所以，又，所以.故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的混合運(yùn)算，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解題分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷即可【題目詳解】∵，，∴，∴函數(shù)在區(qū)間(2,3)上存在零點(diǎn)故選C【題目點(diǎn)撥】求解函數(shù)零點(diǎn)存在性問(wèn)題常用的辦法有三種：一是用定理，二是解方程，三是用圖象．值得說(shuō)明的是，零點(diǎn)存在性定理是充分條件，而并非是必要條件10、B【解題分析】根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，且是上凸函數(shù)判斷.【題目詳解】由當(dāng)時(shí)，總有，得函數(shù)在上是增函數(shù)，由，得函數(shù)是上凸函數(shù)，在上是增函數(shù)是增函數(shù)，是下凸函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在上是增函數(shù)是增函數(shù)，是上凸函數(shù)，故B正確；在上是增函數(shù)，是下凸函數(shù)；故C錯(cuò)誤；在上是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性以及圖象的分析得出的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，解得因?yàn)橹本€與的圖象在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得，綜上.故答案為：12、【解題分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，得到，再由二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果.【題目詳解】∵，向量，，∴，∴，∵，∴故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查由向量共線求參數(shù)，涉及二倍角的正弦公式，熟記向量共線的坐標(biāo)表示即可，屬于常考題型.13、[【解題分析】利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性去掉不等式中的符號(hào)“f”，可轉(zhuǎn)化為具體不等式，注意函數(shù)定義域【題目詳解】解：由f(2a+1)+f(4a-3)>0得f(2a+1)>-f(4a-3)，又f(x)為奇函數(shù)，得-f(4a-3)=f(3-4a)，∴f(2a+1)>f(3-4a)，又f(x)是定義在[-2，2]上的減函數(shù)，∴解得：1即a∈故答案為：1【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，解決本題的關(guān)鍵是利用性質(zhì)去掉符號(hào)“f”14、②③④【解題分析】①③④選項(xiàng)可以舉出反例；②可以進(jìn)行證明.【題目詳解】①例如，定義域?yàn)椋嬖冢瑢?duì)于任意，都有，但在上不單調(diào)遞增，①錯(cuò)誤；②因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，所以存在，使得對(duì)于任意，都有，因?yàn)?，，所以，故，即存在?shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，故是單調(diào)增函數(shù)，②正確；③，定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有，即成立，所以是單調(diào)增函數(shù)，③正確；④當(dāng)時(shí)，，若，則，顯然不滿足，故不是單調(diào)增函數(shù)，④正確.故答案為：②③④15、【解題分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及定義域的對(duì)稱性，求得參數(shù)a，b的值，求得函數(shù)解析式，并判斷單調(diào)性.等價(jià)于，根據(jù)單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，結(jié)合定義域求得解集.【題目詳解】由題知，，則恒成立，即，，又定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，解得，因此，，易知函數(shù)單增，故等價(jià)于即，解得故答案為：16、②【解題分析】對(duì)于①，，則，位置關(guān)系不確定，的位置關(guān)系不能確定；對(duì)于②，由垂直于同一平面的兩直線平行知，結(jié)論正確；對(duì)于③，，則或；對(duì)于④，，則或，故答案為②.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定，屬于難題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長(zhǎng)方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及二倍角公式，即可求解；（2）根據(jù)角的變換，再結(jié)合兩角和的余弦公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】，，，得，；【小問(wèn)2詳解】，，，，.18、（1）（2）【解題分析】（1）由冪函數(shù)定義列出方程，求出m的值，檢驗(yàn)函數(shù)單調(diào)性，舍去不合題意的m的值；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，由函數(shù)單調(diào)性得到集合，由并集結(jié)果得到，從而得到不等式組，求出k的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】依題意得：，∴或當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，符合要求，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和均單調(diào)遞增∴集合，又∵，∴，∴，∴，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是.19、（1）m；（2）；（3），；m【解題分析】（1）設(shè)時(shí)，游客甲位于，得到以為始邊的角，即初相，再利用周期性和最值得到函數(shù)的解析式，令求解即可.（2）由（1）的求解過(guò)程即可得出答案.（3）甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)、表示，則，分別求出后甲和乙距離地面的高度，從而求出高度差，再利用已知條件給出的參考公式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行分析求解即可.【題目詳解】（1）設(shè)時(shí)，游客甲位于，得到以為始邊的角為，根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的速度約為，由題意可得，，（），當(dāng)時(shí)，，所以游客甲坐在摩天輪的座艙后，開始轉(zhuǎn)到10后距離地面的高度為米.（2）由（1）可得，，；（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)、表示，則，經(jīng)過(guò)后，甲距離地面的高度為，點(diǎn)相對(duì)于始終落后，此時(shí)乙距離地面的高度，則甲、乙高度差為，利用，可得，，當(dāng)或，即或，所以的最大值為米，所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為米.20、（1）；（2）【解題分析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則計(jì)算即可；（2）先根據(jù)指對(duì)數(shù)運(yùn)算得，進(jìn)而，再將其轉(zhuǎn)化為求解即可.【題目詳解】解：（1）原式＝＝（2）∴，，化為：，，解得∴21、（1）見詳解；（2）見詳解；（3）【解題分析】(1)證明∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面AB