2024屆全國(guó)高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆全國(guó)高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.，3．已知是偶函數(shù)，它在上是減函數(shù).若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知全集，集合，，它們的關(guān)系如圖（Venn圖）所示，則陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.5．如圖一銅錢(qián)的直徑為毫米，穿徑（即銅錢(qián)內(nèi)的正方形小孔邊長(zhǎng)）為毫米，現(xiàn)向該銅錢(qián)內(nèi)隨機(jī)地投入一粒米（米的大小忽略不計(jì)），則該粒米未落在銅錢(qián)的正方形小孔內(nèi)的概率為A. B.C. D.6．已知集合，下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.7．已知點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（﹣4，2），則|AB|＝（）A. B.2C. D.28．若，則為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)是定義域?yàn)槠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為A. B.C. D.10．函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線(xiàn)ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________12．已知，，則的值為_(kāi)_________13．已知集合，，則________________.（結(jié)果用區(qū)間表示）14．若扇形的周長(zhǎng)是16,圓心角是2(rad),則扇形的面積是__________.15．如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線(xiàn)長(zhǎng)SA為4，若小蟲(chóng)P從點(diǎn)A開(kāi)始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點(diǎn)C，則小蟲(chóng)爬行的最短距離為_(kāi)_______16．關(guān)于的不等式的解集是________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直.（1）求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與平行且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，求直線(xiàn)的方程.18．已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，且求的解析式；設(shè)，若存在實(shí)數(shù)a、b使得，求a的取值范圍；若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)t取值范圍20．對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則稱(chēng)是的不動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，分別求與的所有不動(dòng)點(diǎn)；（2）若與均恰有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）若有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，有四個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，證明：不存在函數(shù)滿(mǎn)足21．已知長(zhǎng)方體AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，連接B1C，過(guò)B點(diǎn)作B1C的垂線(xiàn)交CC1于E，交B1C于F.（1）求證A1C⊥平面EBD；（2）求二面角B1—BE—A1的正切值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】由題，根據(jù)向量加減數(shù)乘運(yùn)算得，進(jìn)而得.【題目詳解】解：因?yàn)樵凇摆w爽弦圖”中，若，所以，所以，所以，所以.故選：B2、D【解題分析】根據(jù)時(shí)，一定有一個(gè)零點(diǎn)，故只需在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)即可，列出不等式求解即可.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，令，即可得，；故在時(shí)，一定有一個(gè)零點(diǎn)；要滿(mǎn)足題意，顯然，令，解得只需，解得.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，涉及對(duì)數(shù)不等式的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合單調(diào)性可得，即可根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解出不等式.【題目詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，由得，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，則，即，解得.故選：C.4、C【解題分析】根據(jù)所給關(guān)系圖（Venn圖），可知是求,由此可求得答案.【題目詳解】根據(jù)題意可知，陰影部分表示的是，故，故選:C.5、B【解題分析】由題意結(jié)合幾何概型公式可得：該粒米未落在銅錢(qián)的正方形小孔內(nèi)的概率為:.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀(guān)的解法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿(mǎn)足的不等式，在圖形中畫(huà)出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A)＝.6、B【解題分析】由已知集合，判斷選項(xiàng)中的集合或元素與集合A的關(guān)系即可.【題目詳解】由題設(shè)，且，所以B正確，A、C、D錯(cuò)誤.故選：B7、D【解題分析】由平面兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得所求值.【題目詳解】由點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（﹣4，2）,所以故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查平面上兩點(diǎn)間的距離，直接用平面上兩點(diǎn)間的距離公式解決，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接判斷.【題目詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即，且，，且，又，即，所以，又根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，所以，故選：A.9、A【解題分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得在為增函數(shù)且，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得在上為增函數(shù)，又由，則有，解可得的取值范圍，即可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，則在為增函數(shù)且，又由是定義在上的奇函數(shù)，則在上也為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，由，則有，解得：，即不等式的解集為；故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性結(jié)合，解抽象函數(shù)不等式，有一定難度.10、C【解題分析】由奇偶性定義判斷的奇偶性，結(jié)合對(duì)數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷趨向于0時(shí)的變化趨勢(shì)，應(yīng)用排除法即可得正確答案.【題目詳解】由且定義域，所以為偶函數(shù)，排除B、D.又在趨向于0時(shí)趨向負(fù)無(wú)窮，在趨向于0時(shí)趨向1，所以在趨向于0時(shí)函數(shù)值趨向負(fù)無(wú)窮，排除A.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、{x|－1<x≤1}【解題分析】先作函數(shù)圖象，再求交點(diǎn)，最后根據(jù)圖象確定解集.【題目詳解】令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數(shù)g(x)的圖象如圖由得∴結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析求解能力.12、【解題分析】根據(jù)兩角和的正弦公式即可求解.【題目詳解】由題意可知，因?yàn)?，所以，所以，則故答案為：.13、【解題分析】先求出集合A，B，再根據(jù)交集的定義即可求出.【題目詳解】，，.故答案為：.14、16【解題分析】因?yàn)楹瘮?shù)的周長(zhǎng)為16，圓心角是2，設(shè)扇形的半徑為，則，解得r=4，所以扇形的弧長(zhǎng)為8，所以面積為，故答案為16.15、2.【解題分析】分析：要求小蟲(chóng)爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”得出結(jié)果詳解：由題意知底面圓的直徑AB＝2，故底面周長(zhǎng)等于2π.設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的弧長(zhǎng)得2π＝，解得n＝90，所以展開(kāi)圖中∠PSC＝90°，根據(jù)勾股定理求得PC＝2，所以小蟲(chóng)爬行的最短距離為2.故答案為2點(diǎn)睛：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開(kāi)成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決三、16、【解題分析】不等式，可變形為：，所以.即，解得或.故答案為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)直線(xiàn)方程為或.【解題分析】⑴利用相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系求出直線(xiàn)的斜率，代入即可得到直線(xiàn)的方程；⑵由已知設(shè)直線(xiàn)的方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得或，即可得到直線(xiàn)的方程解析：（1）由題意直線(xiàn)的斜率為1，所求直線(xiàn)方程為，即.（2）由直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得，即，解得或.∴所求直線(xiàn)方程為或.18、（1）（2）【解題分析】（1）求出集合A，進(jìn)而求出A的補(bǔ)集，根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得答案；（2）根據(jù)，可得，由此列出相應(yīng)的不等式組，解得答案.【小問(wèn)1詳解】，則或，當(dāng)時(shí)，，；【小問(wèn)2詳解】若，則，，實(shí)數(shù)a的取值范圍為，即.19、（1）；（2）或；（3）.【解題分析】利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；求出函數(shù)的值域，再由題意得出關(guān)于a的不等式，求出解集即可；由題意知對(duì)任意，都有，討論t的取值，解不等式求出滿(mǎn)足條件的t的取值范圍【題目詳解】解：設(shè)，因?yàn)?，所以；；；；；解得：；；函?shù)，若存在實(shí)數(shù)a、b使得，則，即，，解得或，即a的取值范圍是或；由題意知，若對(duì)任意，都有恒成立，即，故有，由，；當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)減函數(shù)，，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，，若，則，解得；若，則，解得，所以，應(yīng)??；綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，也考查了分類(lèi)討論思想與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題20、（1）（2）（3）見(jiàn)詳解.【解題分析】【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以即，所以，所以的不?dòng)點(diǎn)為；解，，所以，因?yàn)槭堑慕?，所以上述四次方程必有因式，利用長(zhǎng)除法或者雙十字相乘法因式分解得，所以，所以的不動(dòng)點(diǎn)為；【小問(wèn)2詳解】由得，由、得，因?yàn)槭堑慕猓陨鲜鏊拇畏匠瘫赜幸蚴?，利用長(zhǎng)除法或者雙十字相乘法因式分解得，因?yàn)榕c均恰有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，所以①或②且和有同根，由①得，②中兩方程相減得，所以，故，綜上，a的取值范圍是；【小問(wèn)3詳解】（3）設(shè)的不動(dòng)點(diǎn)為，的不動(dòng)點(diǎn)為，所以，設(shè)，則，所以，所以是的不動(dòng)點(diǎn)，同理，也是的不動(dòng)點(diǎn)，只能，假設(shè)存在，則或，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，否則矛盾，且，否則，所