2024屆甘肅省蘭州市第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2024屆甘肅省蘭州市第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．如圖，四面體中，，且，分別是的中點(diǎn)，則與所成的角為A. B.C. D.3．已知集合，且，則的值可能為（）A. B.C.0 D.14．已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.5．設(shè)奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（）A B.或C. D.或6．下列函數(shù)，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是A. B.C. D.7．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.若關(guān)于的方程在上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.8．已知點(diǎn)A（1，2），B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是（）A. B.C. D.9．設(shè)，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.10．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.或 B.C. D.或3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為________12．___________.13．不等式的解集為_____________.14．已知，，則____________15．已知函數(shù)若，則的值為______16．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．求函數(shù)的最小正周期18．經(jīng)市場調(diào)查，某超市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量(件)與價(jià)格(元)均為時(shí)間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似滿足g(t)=80-2t，價(jià)格近似滿足f(t)=20-|t-10|.(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時(shí)間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.19．已知，且（1）求的值；（2）求的值.20．劉先生購買了一部手機(jī)，欲使用某通訊網(wǎng)絡(luò)最近推出的全年免流量費(fèi)用的套餐，經(jīng)調(diào)查收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：套餐月租本地話費(fèi)長途話費(fèi)套餐甲12元0.3元/分鐘0.6元/分鐘套餐乙無0.5元/分鐘0.8元/分鐘劉先生每月接打本地電話時(shí)間是長途電話的5倍（手機(jī)雙向收費(fèi)，接打話費(fèi)相同）（1）設(shè)劉先生每月通話時(shí)間為x分鐘，求使用套餐甲所需話費(fèi)的函數(shù)及使用套餐乙所需話費(fèi)的函數(shù)；21．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù).(i)證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；(ii)若對任意，總存在，使得成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】先判斷“”成立時(shí)，“”是否成立，反之，再看“”成立，能否推出“”，即可得答案.【題目詳解】“”成立時(shí)，，故“”成立，即“”是“”的充分條件；“”成立時(shí)，或，此時(shí)推不出“”成立，故“”不是“”的必要條件，故選：A.2、B【解題分析】設(shè)為中點(diǎn)，由中位線可知，所以就是所求兩條之間所成的角，且三角形為等腰直角三角形你給，所以.考點(diǎn)：空間兩條直線所成的角.【思路點(diǎn)晴】求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移.計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決3、C【解題分析】化簡集合得范圍，結(jié)合判斷四個(gè)選項(xiàng)即可【題目詳解】集合，四個(gè)選項(xiàng)中，只有，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題4、D【解題分析】首先求出時(shí)函數(shù)的值域，設(shè)時(shí)，的值域?yàn)?，依題意可得，即可得到不等式組，解得即可；【題目詳解】解：由題意可得當(dāng)時(shí)，所以的值域?yàn)?，設(shè)時(shí)，的值域?yàn)?，則由的值域?yàn)镽可得，∴，解得，即故選：D5、D【解題分析】由奇偶性可將所求不等式化為；利用奇偶性可判斷出單調(diào)性和，分別在和的情況下，利用單調(diào)性解得結(jié)果.【題目詳解】為奇函數(shù)，；又在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，；，即；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；的解集為或.故選：D.【題目點(diǎn)撥】方法點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和單調(diào)性的作用如下：（1）奇偶性：統(tǒng)一不等式兩側(cè)符號，同時(shí)根據(jù)奇偶函數(shù)的對稱性確定對稱區(qū)間的單調(diào)性；（2）單調(diào)性：將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系.6、A【解題分析】由冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得【題目詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，，其定義域?yàn)镽，在R上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，符合題意；對于B，，是對數(shù)函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意；對于C，，為指數(shù)函數(shù)，不為奇函數(shù)；對于D，，為反比例函數(shù)，其定義域?yàn)?，在其定義域上不是增函數(shù)，不符合題意；故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，是基礎(chǔ)題，掌握冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵7、C【解題分析】原問題等價(jià)于函數(shù)與的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)【題目詳解】解：關(guān)于的方程在上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)與的圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以的大致圖象如圖所示：因?yàn)楸硎竞氵^定點(diǎn)，斜率為的直線，所以要使兩個(gè)函數(shù)圖象至少有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知只需，即，故選：C8、B【解題分析】因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到點(diǎn)，的距離相等，所以即：，化簡得：故選9、D【解題分析】對ABC舉反例判斷即可；對D，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可【題目詳解】對于A，，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，，時(shí)，，不存在，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，由不等式性質(zhì)可得，選項(xiàng)D正確故選：D10、A【解題分析】先求的坐標(biāo)，再由向量垂直數(shù)量積為0，利用坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【題目詳解】由向量，，知.若，則，解得或-3.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0【解題分析】令，得到，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以的對稱中心是，令，得，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：兩個(gè)函數(shù)圖象有8個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)由對稱性可知：零點(diǎn)之和為0，故答案為：012、2【解題分析】利用換底公式及對數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【題目詳解】解：.故答案為：13、【解題分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【題目詳解】不等式為，即，解得，所以不等式的解集為，故答案為：14、【解題分析】，，考點(diǎn)：三角恒等變換15、4【解題分析】根據(jù)自變量所屬的區(qū)間，代入相應(yīng)段的解析式求值即可.【題目詳解】由題意可知，，解得，故答案為：416、【解題分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)解析式得出函數(shù)在區(qū)間和上均有兩個(gè)零點(diǎn)，然后根據(jù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)得出，最后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)解得，即可得出結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，令，得，即，該方程至多兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，令，得，該方程至多兩個(gè)根，因?yàn)楹瘮?shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間和上均有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，則，解得，若函數(shù)在區(qū)間上也有兩個(gè)零點(diǎn)，令，解得，，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)數(shù)目求參數(shù)的取值范圍，可將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)數(shù)目進(jìn)行求解，考查函數(shù)最值的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，考查分類討論思想，是難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式為，利用余弦函數(shù)的周期公式即可計(jì)算得解【題目詳解】先證明出，.因?yàn)?，同理可證.，，因此，原函數(shù)的最小正周期【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查余弦型函數(shù)最小正周期的求解，求解的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式，本題中用到了積化和差公式，，在解題時(shí)應(yīng)先給與證明.18、解：(1)y(2)ymax=1225，ymin=600【解題分析】解：（Ⅰ）＝（Ⅱ）當(dāng)0≤t＜10時(shí)，y的取值范圍是[1200，1225]，在t＝5時(shí)，y取得最大值為1225；當(dāng)10≤t≤20時(shí)，y的取值范圍是[600，1200]，在t＝20時(shí)，y取得最小值為600（答）總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元；第20天，日銷售額y取得最小為600元19、（1）7（2）【解題分析】（1）根據(jù)題意求得，然后利用兩角和的正切公式即可得出答案；（2）利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式，結(jié)合平方關(guān)系化弦為切計(jì)算即可得解.【小問1詳解】解：由已知得，或，∴或，又∵，∴或，又∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：.20、（1），；（2）答案見解析.【解題分析】（1）由題可知他每月接打本地電話時(shí)間為，接打長途，結(jié)合條件即得；（2）利用作差法，然后分類討論即得.【小問1詳解】因?yàn)閯⑾壬吭陆哟虮镜仉娫挄r(shí)間是長途電話的5倍，所以他每月接打本地電話時(shí)間為，接打長途若選擇套餐甲，則月租12元，本地話費(fèi)，長途話費(fèi)，則；若選擇套餐乙，則月租0元，本地話費(fèi)，長途話費(fèi)，則【小問2詳解】∵，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)應(yīng)選擇套餐乙省錢；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)應(yīng)選擇套餐甲省錢；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，此時(shí)甲乙兩種套餐話費(fèi)一樣21、（1）；（2）(i)證明見解析；(ii).【解題分析】(1)根據(jù)題意∵為奇函數(shù)，∴，令x＝1即可求出；(2)(i)驗(yàn)證為奇函數(shù)即可；(ii))求出在區(qū)間上的值域?yàn)锳，記在區(qū)間上的值域?yàn)?，則.由此問題轉(zhuǎn)化為討論f(x)的值域B，分，，三種情況討論即可.【小問1詳解】∵為奇函數(shù)，∴，得，則令，得.【小問2詳解】(i)，∵為奇函數(shù)，∴為奇函數(shù)，∴函數(shù)的圖