山西省同煤二中2024屆數(shù)學(xué)高一上期末考試試題含解析

山西省同煤二中2024屆數(shù)學(xué)高一上期末考試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)則A. B.C. D.2．已知向量，若，則（）A.1或4 B.1或C.或4 D.或3．已知指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，若，，，則m，n，p的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.4．如圖，在中，是的中點，若，則實數(shù)的值是A. B.1C. D.5．已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，對任意實數(shù)都有，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，若正實數(shù)、、、互不相等，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.7．若圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于1，則半徑的取值范圍是（）A. B.C. D.8．sin1830°等于（）A. B.C. D.9．為了得到函數(shù)，的圖象，只要把函數(shù)，圖象上所有的點（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度10．已知扇形周長為40，當(dāng)扇形的面積最大時，扇形的圓心角為（）A. B.C.3 D.2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)向量，若⊥，則實數(shù)的值為______12．已知冪函數(shù)的圖象過點，則_____________13．設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,且其定義域為,則函數(shù)在上的值域為________.14．如圖，扇形的面積是，它的周長是，則弦的長為___________.15．請寫出一個同時滿足下列兩個條件的函數(shù)：____________.（1），若則（2）16．已知函數(shù)，則的值是________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）求的值；（2）若且，求sin2α－cosα的值18．已知，，（）求及（）若的最小值是，求的值19．給出以下定義：設(shè)m為給定的實常數(shù)，若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”；（2）若函數(shù)為“函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；（3）已知為“函數(shù)”，設(shè).若對任意的，，當(dāng)時，都有成立，求實數(shù)的最大值.20．已知函數(shù)（1）證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）求在上的值域21．已知直線與圓相交于點和點（1）求圓心所在的直線方程；（2）若圓心的半徑為1，求圓的方程

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】，.2、B【解題分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，以及向量垂直的條件列出方程，即可求解.【題目詳解】由題意，向量，可得，因為，則，解得或.故選：B.3、B【解題分析】由已知可知，再利用指對冪函數(shù)的性質(zhì)，比較m，n，p與0，1的大小，即可得解.【題目詳解】由指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，可知，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)可知，即結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，即結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，即，故選：B.【題目點撥】方法點睛：本題考查比較大小，比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，引入中間量；有時也可用數(shù)形結(jié)合的方法，解題時要根據(jù)實際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.4、C【解題分析】以作為基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出【題目詳解】∵分別是的中點，∴.又，∴.故選C.【題目點撥】本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運算，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力5、D【解題分析】根據(jù)關(guān)于對稱，討論與的關(guān)系，結(jié)合其區(qū)間單調(diào)性及對應(yīng)值域求的范圍.【題目詳解】由題設(shè)，，易知：關(guān)于對稱，又恒成立，當(dāng)時，，則，可得；當(dāng)時，，則，可得；當(dāng)，即時，，則，即，可得；當(dāng)，即時，，則，即，可得；綜上，.故選：D.【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：利用分段函數(shù)的性質(zhì)，討論其對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合對應(yīng)值域及求參數(shù)范圍.6、A【解題分析】利用分段函數(shù)的定義作出函數(shù)的圖象，不妨設(shè)，根據(jù)圖象可得出，，，的范圍同時，還滿足，即可得答案【題目詳解】解析：如圖所示：正實數(shù)、、、互不相等，不妨設(shè)∵則，∴，∴且，，∴故選：A7、C【解題分析】圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于1，先求圓心到直線的距離，再求半徑的范圍【題目詳解】解：圓的圓心坐標(biāo)，圓心到直線的距離為：，又圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于1，滿足，即：，解得故半徑的取值范圍是，（如圖）故選：【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題8、A【解題分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式計算【題目詳解】故選：A9、C【解題分析】利用輔助角公式可得，再由三角函數(shù)的平移變換原則即可求解.【題目詳解】解：，，為了得到函數(shù)，的圖象，只要把函數(shù)，圖象上所有的點向左平移個單位長度故選：C．10、D【解題分析】設(shè)出扇形半徑并表示出弧長后，由扇形面積公式求出取到面積最大時半徑的長度，代入圓心角弧度公式即可得解.【題目詳解】設(shè)扇形半徑,易得,則由已知該扇形弧長為.記扇形面積為,則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到最大值，此時記扇形圓心角為，則故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】∵，∴，，又⊥∴∴故答案為12、##【解題分析】設(shè)出冪函數(shù)解析式，代入已知點坐標(biāo)求解【題目詳解】設(shè)，由已知得，所以，故答案為：13、【解題分析】∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且其定義域為∴，即，且為偶函數(shù)∴，即∴∴函數(shù)在上單調(diào)遞增∴，∴函數(shù)在上的值域為故答案為點睛：此題主要考查函數(shù)二次函數(shù)圖象對稱的性質(zhì)以及二次函數(shù)的值域的求法，求解的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，本題理解對稱性很關(guān)鍵14、【解題分析】由扇形弧長、面積公式列方程可得，再由平面幾何的知識即可得解.【題目詳解】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，則由題意，解得，則由垂徑定理可得.故答案為：.15、，答案不唯一【解題分析】由條件（1），若則.可知函數(shù)為R上增函數(shù)；由條件（2）.可知函數(shù)可能為指數(shù)型函數(shù).【題目詳解】令，則為R上增函數(shù)，滿足條件（1）.又，故即成立.故答案為：，（，等均滿足題意）16、-1【解題分析】利用分段函數(shù)的解析式，代入即可求解.【題目詳解】解：因為，則.故答案為：-1三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡可得，代入數(shù)據(jù)，即可求得答案.（2）根據(jù)題意，可得，根據(jù)左右同時平方，利用的關(guān)系，結(jié)合的范圍，即可求得和的值，即可求得答案.【題目詳解】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡可得，.（2）因為，所以，即，兩邊平方得1＋2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝－，1－2sinαcosα＝，即(sinα－cosα)2＝，因為2sinαcosα＝，，所以，所以sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝，結(jié)合cosα＋sinα＝，解得sinα＝，cosα＝－，故sin2α－cosα＝－(－)＝.18、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積公式、模長公式求解；（2）將的值域，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次函數(shù)的值域，根據(jù)【題目詳解】(1)，，（2），,，，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值，解得；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值，解得（舍）；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值，解得（舍去），綜上所述，.【題目點撥】本題主要考查求平面向量的數(shù)量積，向量的模，以及由函數(shù)的最值求參數(shù)的問題，熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量模的坐標(biāo)表示，以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.19、（1）是（2）（3）【解題分析】（1）根據(jù)定義判得時，滿足，進(jìn)而判斷；（2）根據(jù)題意得，，進(jìn)而整理得存在實數(shù)使得，再結(jié)合和討論求解即可；（3）由題知，故不妨設(shè)，進(jìn)而得，故構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【小問1詳解】解：的定義域為，假設(shè)函數(shù)是“函數(shù)，則存在定義域內(nèi)的實數(shù)使得，所以，所以，所以，所以函數(shù)“函數(shù)【小問2詳解】解：函數(shù)有意義，則，定義域為因為函數(shù)為“函數(shù)”，所以存在實數(shù)使得成立，即存在實數(shù)使得，所以存在實數(shù)使得成立，即，所以當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，即，解得且，所以實數(shù)a的取值范圍是【小問3詳解】解：由為“函數(shù)”得,即，所以，不妨設(shè)，則由得，所以故令，則在上單調(diào)遞增，又，作出函數(shù)圖像如圖，所以實數(shù)的取值范圍為，即實數(shù)的最大值為20、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）設(shè)，化簡計算并判斷正負(fù)即可得出；（2）根據(jù)單調(diào)性即可求解.【小問