甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣一中2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣一中2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知y＝（x－m）（x－n）＋2022（m<n），且α，β（α<β）是方程y＝0的兩根，則α，β，m，n的大小關(guān)系是（）A.α<m<n<β B.m<α<n<βC.m<α<β<n D.α<m<β<n3．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)]時(shí)，，則（）A.B.C.D.4．若函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)以下關(guān)于的結(jié)論正確的是（）A.若，則B.的值域?yàn)镃.在上單調(diào)遞增D.的解集為6．已知集合，，有以下結(jié)論：①；②；③．其中錯(cuò)誤的是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③7．若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.8．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知扇形的面積為9，半徑為3，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為（）A.1 B.C.2 D.10．已知集合，且，則的值可能為（）A B.C.0 D.1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則________.12．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是_____①∥平面；②平面⊥平面；③三棱錐的體積為定值；④存在某個(gè)位置使得異面直線與成角°13．已知函數(shù)，若是的最大值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______14．已知函數(shù)則_______.15．計(jì)算：______16．已知滿足任意都有成立，那么的取值范圍是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知，，（1）值；（2）的值.18．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO與A′C′所成角的度數(shù)；（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC垂直.19．如圖，某市準(zhǔn)備在道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段是函數(shù)，時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為，賽道的中部分為長(zhǎng)千米的直線跑道，且，賽道的后一部分是以為圓心的一段圓?。?）求的值和的大??；（2）若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑上，另外一個(gè)頂點(diǎn)在圓弧上，且，求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時(shí)的值20．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線：相切，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線的方程.21．已知A（﹣1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)G滿足GA⊥GB，記動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）如圖，點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（3，0）且與x軸垂直的直線為l，直線AM與l相交于點(diǎn)E，直線BM與l相交于點(diǎn)F，求證：以EF為直徑的圓與x軸交于定點(diǎn)T，并求出點(diǎn)T的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)是上的增函數(shù)，則每一段都為增函數(shù)，且右側(cè)的函數(shù)值不小于左側(cè)的函數(shù)值求解.【題目詳解】函數(shù)是上增函數(shù)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A.2、C【解題分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷【題目詳解】記，由題意，，的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，所以上遞減，在上遞增，又，，所以，，即（也可由的圖象向下平移2022個(gè)單位得的圖象得出判斷）故選：C3、A【解題分析】由，可得的周期為，利用周期性和單調(diào)性化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以的周期為?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減因?yàn)椋宜怨使蔬x：A.4、B【解題分析】由函數(shù)圖像的平移變換或根據(jù)可得.【題目詳解】因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，函數(shù)值為定值0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為.另解：因?yàn)榭梢杂上蛴移揭埔粋€(gè)單位長(zhǎng)度后，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，由過(guò)定點(diǎn)，所以過(guò)定點(diǎn).故選：B5、B【解題分析】A選項(xiàng)逐段代入求自變量的值可判斷;B選項(xiàng)分別求各段函數(shù)的值域再求并集可判斷;C選項(xiàng)取特值比較大小可判斷不單調(diào)遞增;D選項(xiàng)分別求各段范圍下的不等式的解集求并集即可判斷.【題目詳解】解:A選項(xiàng):當(dāng)時(shí),若,則;當(dāng)時(shí),若,則,故A錯(cuò)誤;B選項(xiàng):當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故的值城為,B正確;C選項(xiàng):當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,在上不單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng):當(dāng)時(shí),若,則;當(dāng)時(shí),若,則,故的解集為,故D錯(cuò)誤;故選:B.6、C【解題分析】解出不等式，得到集合，然后逐一判斷即可.【題目詳解】由可得所以，故①錯(cuò)；，②錯(cuò)；，③對(duì)，故選：C7、A【解題分析】根據(jù)的單調(diào)性求得正確答案.【題目詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在上遞增，，即.故選：A8、A【解題分析】先判斷“”成立時(shí)，“”是否成立，反之，再看“”成立，能否推出“”，即可得答案.【題目詳解】“”成立時(shí)，，故“”成立，即“”是“”的充分條件；“”成立時(shí)，或，此時(shí)推不出“”成立，故“”不是“”的必要條件，故選：A.9、C【解題分析】利用扇形面積公式即可求解.【題目詳解】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為，由題意得，得.故選：C.10、C【解題分析】化簡(jiǎn)集合得范圍，結(jié)合判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【題目詳解】集合，四個(gè)選項(xiàng)中，只有，故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】將未知角化為已知角，結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可.【題目詳解】解：因?yàn)椋?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】三角公式求值中變角的解題思路（1）當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；（2）當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.12、①②③④【解題分析】在①中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在②中，連接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，從而得到面ACF⊥平面BEF；在③中，三棱錐E﹣ABF的體積與三棱錐A﹣BEF的體積相等，從而三棱錐E﹣ABF的體積為定值；在④中，令上底面中心為O，得到存在某個(gè)位置使得異面直線AE與BF成角30°【題目詳解】由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且，知：在①中，由EF∥BD，且EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正確；在②中，連接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，而B(niǎo)E?面BDD1B1，BF?面BDD1B1，∴AC⊥平面BEF，∵AC?平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正確；在③中，三棱錐E﹣ABF的體積與三棱錐A﹣BEF的體積相等，三棱錐A﹣BEF的底面積和高都是定值，故三棱錐E﹣ABF的體積為定值，故③正確；在④中，令上底面中心為O，當(dāng)E與D1重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與O重合，則兩異面直線所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1＝300，故存在某個(gè)位置使得異面直線AE與BF成角30°，故④正確故答案為①②③④【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題13、【解題分析】先求出時(shí)最大值為，再由是的最大值，解出t的范圍.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在時(shí)取得最大值；當(dāng)時(shí)，，且是的最大值，所以，解得：.故答案為：14、【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，由內(nèi)而外，逐步計(jì)算，即可得出結(jié)果.【題目詳解】∵，，則∴.故答案為：.15、【解題分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則，根式的定義計(jì)算【題目詳解】故答案為：16、【解題分析】由題意可知，分段函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此分段函數(shù)的每一段都是單調(diào)遞減，且左邊一段的最小值不小于右邊的最大值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】由任意都有成立，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因，所以，解得.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)二倍角公式，求出，即可求解；（2）由兩角和的正切公式，即可求出結(jié)論.【題目詳解】（1）.=..=（2）====【題目點(diǎn)撥】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系以及恒等變換求值，應(yīng)用平方關(guān)系要注意角的范圍，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）30°（2）（3）見(jiàn)解析【解題分析】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求AO與A′C′所成角的度數(shù)；（2）利用向量法求AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC的法向量垂直.【題目詳解】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），設(shè)AO與A′C′所成角為θ，則cosθ，∴θ＝30°，∴AO與A′C′所成角為30°.（2）∵（），面ABCD的法向量為（0，0，1），設(shè)AO與平面ABCD所成角為α，則sinα＝|cos|，cosα，∴tanα.∴AO與平面ABCD所成角的正切值為.（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），設(shè)平面AOB的法向量（x，y，z），則，取x＝1，得（1，0，1），設(shè)平面AOC的法向量（a，b，c），則，取a＝1，得（1，1，﹣1），∵1+0﹣1＝0，∴平面AOB與平面AOC垂直.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間角的求法和面面垂直的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、（1），；（2）.【解題分析】（1）由題意可得，故，從而可得曲線段的解析式為，令x=0可得，根據(jù)，得,因此（2）結(jié)合題意可得當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，點(diǎn)在弧上，由條件可得“矩形草坪”的面積為，然后根據(jù)的范圍可得當(dāng)時(shí)，取得最大值試題解析：(1)由條件得.∴.∴曲線段的解析式為.當(dāng)時(shí)，.又，∴,∴.(2)由(1)，可知.又易知當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，點(diǎn)在弧上，故.設(shè),,“矩形草坪”的面積為.∵，∴,故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值20、（1）；（2）或.【解題分析】（1）求出點(diǎn)A與直線的距離即可得出圓的半徑，由圓心與半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，由弦長(zhǎng)及半徑可求出弦心距，再利用點(diǎn)到直線距離即可求解，當(dāng)斜率不存在時(shí)驗(yàn)證是否滿足條件即可.【題目詳解】（1）設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A與直線：相切，，∴圓的方程為.（2）①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意；②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.由題意，，，則由得，∴直線為：，故直線的方程為或.21、（1）x2+y2＝1；（2）證明見(jiàn)解析，T（3+2，0）或T（3﹣2，0）【解題分析】(1)由可得,列出等式即可求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;(2)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),我們可以得到直線AM、直線BM的方程,與直線方程聯(lián)立求得點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo),進(jìn)而得到以為直徑的圓的方程,最后求出定點(diǎn)坐標(biāo).【題目詳解】（1）設(shè)G（x，y）（x≠±1），因?yàn)镚A⊥GB，所以，整理得C的方程為x2+y2＝1（x≠±1）；（2）設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）（x