湖南省長沙市明達中學2024屆數(shù)學高一上期末質量檢測試題含解析

湖南省長沙市明達中學2024屆數(shù)學高一上期末質量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．弧長為3，圓心角為的扇形面積為A. B.C.2 D.2．在平行四邊形中，與相交于點,是線段中點，的延長線交于點,若，則等于（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，若不等式對任意實數(shù)x恒成立，則a的取值范圍為（）A B.C. D.4．已知函數(shù)，，若存在實數(shù)，使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A. B.C. D.6．的值為A. B.C. D.7．在空間給出下面四個命題（其中、為不同的兩條直線），、為不同的兩個平面）①②③④其中正確的命題個數(shù)有A.1個 B.2個C.3個 D.4個8．空間直角坐標系中，已知點，則線段的中點坐標為A. B.C. D.9．已知，則的最大值為（）A. B.C.0 D.210．已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則___________12．函數(shù)的定義域是___________.13．集合，用列舉法可以表示為_________14．已知是定義在上的奇函數(shù),當時,,則的值為________________15．函數(shù)的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為（1）求函數(shù)的解析式；（2）設，且，求的值16．定義在R上的奇函數(shù)f(x)周期為2，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在扇形OAB中，半徑OA=1，圓心角C是扇形弧上的動點，矩形CDEF內接于扇形，且OE=OF.記∠AOC=θ，求當角θ為何值時，矩形CDEF的面積S最大?并求出這個最大的面積.18．某果農從經過篩選（每個水果的大小最小不低于50克，最大不超過100克）的10000個水果中抽取出100個樣本進行統(tǒng)計，得到如下頻率分布表：級別大?。耍╊l數(shù)頻率一級果50.05二級果三級果35四級果30五級果20合計100請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解得下列問題：（1）求的值，并完成頻率分布直方圖；（2）若從四級果，五級果中按分層抽樣的方法抽取5個水果，并從中選出2個作為展品，求2個展品中僅有1個是四級果的概率；（3）若將水果作分級銷售，預計銷售的價格元/個與每個水果的大小克關系是：，則預計10000個水果可收入多少元？19．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的a存在，求a的值；若a不存在，請說明理由.已知集合________，.若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分20．化簡求值：（1）.（2）已知都為銳角，，求值.21．設函數(shù)，函數(shù)，且，的圖象過點及（1）求和的解析式；（2）求函數(shù)的定義域和值域

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】弧長為3，圓心角為，故答案為B2、A【解題分析】化簡可得，再由及選項可得答案【題目詳解】解：由題意得，，；、、三點共線，，結合選項可知，；故選：3、C【解題分析】先分析出的奇偶性，再得出的單調性，由單調性結合奇偶性解不等式得到，再利用均值不等式可得答案.【題目詳解】的定義域滿足，由，所以在上恒成立.所以的定義域為則所以，即為奇函數(shù).設，由上可知為奇函數(shù).當時，，均為增函數(shù)，則在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù).又為奇函數(shù)，則在上為增函數(shù)，且所以在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù).由，即所以對任意實數(shù)x恒成立即，由當且僅當，即時得到等號.所以故選：C4、B【解題分析】根據(jù)給定條件求出函數(shù)的值域，由在此值域內解不等式即可作答.【題目詳解】因函數(shù)的值域是，于是得函數(shù)的值域是，因存在實數(shù)，使得，則，因此，，解得，所以的取值范圍是.故選：B5、B【解題分析】根據(jù)斜二測畫法畫直觀圖的性質，即平行于軸的線段長度不變，平行于軸的線段的長度減半，結合圖形求得原圖形的各邊長，可得周長【題目詳解】因為直觀圖正方形的邊長為1cm，所以，所以原圖形為平行四邊形OABC，其中，，，所以原圖形的周長6、B【解題分析】.故選B.7、C【解題分析】：①若α，則，根據(jù)線面垂直的性質可知正確；②若，則；不正確，也可能是m在α內；錯誤；③若，則；據(jù)線面垂直的判定定理可知正確；④若，根據(jù)線面平行判定的定理可知正確得到①③④正確，故選C8、A【解題分析】點，由中點坐標公式得中得為：，即.故選A.9、C【解題分析】把所求代數(shù)式變形，轉化成，再對其中部分以基本不等式求最值即可解決.【題目詳解】時，（當且僅當時等號成立）則，即的最大值為0.故選：C10、B【解題分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質即可確定的范圍.【題目詳解】由對數(shù)及不等式的性質知：，而，所以.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】將齊次式弦化切即可求解.【題目詳解】解：因為，所以，故答案為：2.12、【解題分析】利用根式、分式的性質求函數(shù)定義域即可.【題目詳解】由解析式知：，則，可得，∴函數(shù)定義域為.故答案為：.13、##【解題分析】根據(jù)集合元素屬性特征進行求解即可.【題目詳解】因為，所以，可得，因為，所以，集合故答案為：14、-7【解題分析】由已知是定義在上的奇函數(shù),當時,，所以，則=點睛：利用函數(shù)奇偶性求有關參數(shù)問題時，要靈活選用奇偶性的常用結論進行處理，可起到事半功倍的效果：①若奇函數(shù)在處有定義，則；②奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)；③特殊值驗證法15、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最值求出，由相鄰兩條對稱軸之間的距離為，確定函數(shù)的周期，進而求出值；（2）由，求出，利用誘導公式結合的范圍求出，的值，即可求出結論.【小問1詳解】函數(shù)的最大值為5，所以A+1＝5，即A＝4∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2故函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】，則由，則，所以所以16、0【解題分析】以周期函數(shù)和奇函數(shù)的性質去求解即可.【題目詳解】因為是R上的奇函數(shù)，所以，又周期為2，所以，又，所以，故，則對任意，故故答案為：0三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、當時，矩形的面積最大為【解題分析】由點向作垂線，垂足為，利用平面幾何知識得到為等邊三角形，然后利用表示出和，從而得到矩形的面積，利用三角函數(shù)求最值進行分析求解，即可得到答案【題目詳解】解：由點向作垂線，垂足為，在中，，，由題意可知，，，所以為等邊三角形，所以，則，所以，所以，，所以矩形的面積為，因為，所以當，即時，最大為所以當時，矩形的面積最大為18、（1）的值為10，的值為0.35；作圖見解析（2）（3）元【解題分析】（1）根據(jù)樣本總數(shù)為可求，由頻數(shù)樣本總數(shù)可求；計算出各組頻率，再計算出頻率/組距即可畫出頻率分布直方圖.（2）根據(jù)分層抽樣可得抽取的4級有個，抽取5級果有個，設三個四級果分別記作：，二個五級果分別記作：，利用古典概型的概率計算公式即可求解.（3）計算出100個水果的收入即可預計10000個水果可收入.【題目詳解】（1）的值為10，的值為0.35（2）四級果有30個，五級果有20個，按分層抽樣的方法抽取5個水果，則抽取的4級果有個，5級果有個.設三個四級果分別記作：，二個五級果分別記作：，從中任選二個作為展品的所有可能結果是，共有10種，其中兩個展品中僅有一個是四級果的事件為，包含共個，所求的概率為.（3）100個水果的收入為（元）所以10000個水果預計可收入（元）.【題目點撥】本題考查了頻率分布表、頻率分布直方圖、分層抽樣以及古典概型的概率公式，用樣本估計總體，屬于基礎題.19、見解析【解題分析】首先解一元二次不等式求出集合B，依題意B，再根據(jù)所選條件得到不等式組，解得即可；【題目詳解】解：由，所以，解得所以.由題意知，A不為空集，選條件①時，，因為“”是“”充分不必要條件，所以B，，則，等號不同時取到，解得.所以實數(shù)a的取值范圍是.當選條件②時，因為“”是“”的充分不必要條件，所以B，所以，解得．此時，不符合條件故不存在的值滿足題意．當選條件③時，因為“”是“”的充分不必要條件，所以B，所以，該不等式組無解，故不存在的值滿足題意．20、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用誘導公式以及兩角和的正切公式結合正、余弦的齊次式計算化簡原式；（2）先計算出的值，然后根據(jù)角的配湊以及兩角差的余弦公式求解出的值.【題目詳解】（1）解：原式；（2）解：因為都為銳角，，所以則.21、（1），；（2）,.【解題分析】(1)根據(jù)得出關于方程，求解方程即可；（2）根據(jù)的圖象過點及，列方程組求得的解析式，可得，解不等式可求得定義域，根據(jù)二次函數(shù)的性質，配方可得，利用對數(shù)函數(shù)的單調性求解即可.【題目詳解】（1）因為，；因為的圖象過點及