助推-滑翔導(dǎo)彈彈道優(yōu)化的序列二次規(guī)劃法求解

助推-滑翔導(dǎo)彈彈道優(yōu)化的序列二次規(guī)劃法求解

0國內(nèi)外研究現(xiàn)狀隨著科學技術(shù)體系的完善，傳統(tǒng)的彈道導(dǎo)彈和軍用飛機飛機不能達到足夠的攻擊效果。因此，有必要結(jié)合傳統(tǒng)彈頭和軍用飛機飛機彈的優(yōu)點，發(fā)展一種新的高速飛機飛機。早在1933年,德國科學家Dr.EugeneSanger提出了一種名為“Silverbird”的助推-跳躍式概念飛行器。而在1948年,錢學森教授在美國火箭學會年會上報告了一種可以完成洲際飛行的火箭助推-再入大氣層滑翔機動飛行高速運輸系統(tǒng)。俄羅斯正在研制并成功試驗了一種新型核導(dǎo)彈系統(tǒng),既可以像巡航導(dǎo)彈飛行,也可以像洲際導(dǎo)彈飛行,并采用了最新變軌技術(shù),能夠有效擺脫現(xiàn)有和在研防御系統(tǒng)的攔截。美國正在研制的通用大氣飛行器(CAV)也是一種可以采用洲際彈道導(dǎo)彈助推,再入無動力滑翔的飛行器。近年來,國內(nèi)專家也提出了基于“錢學森彈道”的新概念導(dǎo)彈,其中包括本文所要研究的火箭助推-再入大氣層無動力滑翔遠程飛航導(dǎo)彈。發(fā)展這類新概念導(dǎo)彈需要在彈道設(shè)計與優(yōu)化方面進行深入研究。文獻利用解析法近似分析了此類導(dǎo)彈的助推段、彈道式飛行段、再入跳躍式飛行段和滑翔式飛行段各段彈道射程與助推段關(guān)機點速度的關(guān)系;文獻在此基礎(chǔ)上近似分析了全球到達高超聲速飛行器的彈道特性;文獻利用簡化的制導(dǎo)方案近似優(yōu)化了滑翔段的射程;文獻利用奇異攝動法和二階梯度法分別進行了滑翔段最大射程優(yōu)化;文獻、采用遺傳算法分別對此類導(dǎo)彈的引入段和滑翔段進行優(yōu)化;文獻采用非線性規(guī)劃方法對中段彈道方案進行了初步分析。以上文獻除、對全彈道進行近似分析以外,其他文獻都只是針對助推段結(jié)束后的部分或全部彈道進行分析。迄今為止,國內(nèi)外針對一定輸入條件下,助推-滑翔導(dǎo)彈的全彈道優(yōu)化問題研究較少。本文對助推-滑翔導(dǎo)彈的彈道特性進行研究,利用序列二次規(guī)劃法對助推-滑翔導(dǎo)彈縱向彈道分段進行優(yōu)化,求解滿足給定約束條件下的最大射程,并研究助推段關(guān)機點彈道傾角與射程的關(guān)系。1氣動發(fā)射網(wǎng)絡(luò)助推-滑翔導(dǎo)彈實際上是,將彈道導(dǎo)彈與飛航導(dǎo)彈進行組合,利用彈道導(dǎo)彈射程較遠的特性,以及飛航導(dǎo)彈精度高、機動性良好的特點,采用火箭助推-再入大氣層滑翔機動飛行彈道或火箭助推-再入大氣層跳躍機動飛行彈道,并結(jié)合相應(yīng)的制導(dǎo)、導(dǎo)航和控制方法,實現(xiàn)對目標精確打擊的一種新式導(dǎo)彈。整個飛行過程是:首先,彈道導(dǎo)彈作為助推級將滑翔彈頭助推到幾十千米的高空,之后,彈頭在大氣層外做自由段飛行,最后,彈頭再入大氣層依靠氣動力進行滑翔或跳躍機動飛行并完成對目標的攻擊,見圖1。助推-滑翔彈道理論提出以后,人們對再入機動彈道進行過許多研究,按彈道形態(tài)可分為再入滑翔式彈道(錢學森彈道)和再入跳躍式彈道(Sanger彈道)兩類,見圖1;按是否攜帶動力系統(tǒng)又可以分為再入有動力和無動力彈道兩類。本文將著重研究助推-再入無動力全程跳躍式彈道。2氣動模型參數(shù)忽略地球自轉(zhuǎn)及非球形攝動影響,助推-滑翔導(dǎo)彈的縱平面全彈道運動方程為:{˙υ=1m(Ρcosα-Cxqs)-gsinΘ(1)˙Θ=1mυ(Ρsinα+Cyqs)-(gυ-υR+h)cosΘ(2)˙h=υsinΘ(3)˙L=RυcosΘR+h(4)˙m=ce(5)φ=α-L/R+Θ(6)ny=(Ρsinα+Cyqs)/(mg)(7)?????????????????????????????????????υ˙=1m(Pcosα?Cxqs)?gsinΘ(1)Θ˙=1mυ(Psinα+Cyqs)?(gυ?υR+h)cosΘ(2)h˙=υsinΘ(3)L˙=RυcosΘR+h(4)m˙=ce(5)φ=α?L/R+Θ(6)ny=(Psinα+Cyqs)/(mg)(7)其中,υ為速度大小;Θ為彈道傾角;h為離地高度;L為射程;m為質(zhì)量;P為發(fā)動機推力;α為攻角,是一待定量;φ為俯仰角;ny為法向過載;q為動壓;s為參考面積;g為地球引力加速度;R為地球平均半徑;Cy,Cx分別為氣動升力和阻力系數(shù);ce為發(fā)動機燃料質(zhì)量流。大氣模型采用文獻中所給出的擬合公式。助推級發(fā)動機模型、外形氣動模型等采用單級彈道導(dǎo)彈相關(guān)參數(shù),推力,燃料質(zhì)量流取為恒值;滑翔級不帶發(fā)動機,氣動外形為升力體。助推-滑翔導(dǎo)彈的主動段可采用方案彈道,并通過俯仰角進行控制。被動段可采用方案彈道與導(dǎo)引彈道,利用俯仰角或法向過載進行控制。在助推-滑翔導(dǎo)彈飛行過程中,氣動系數(shù)滿足如下關(guān)系:Cy=Cy(Μa,α)(8)Cx=Cx(Μa,α)(9)Cy=Cy(Ma,α)(8)Cx=Cx(Ma,α)(9)即,Cy,Cx均與攻角有關(guān)。可見,俯仰角與法向過載也均同攻角有關(guān)。在初步設(shè)計階段,為了研究的方便,可通過優(yōu)化攻角得到助推-滑翔導(dǎo)彈的最優(yōu)彈道。3構(gòu)建并分析了基于彈性優(yōu)化的模型3.1易遭受性攻擊本文旨在研究,在一定輸入條件下,單級彈道導(dǎo)彈+升力體滑翔級的全彈道優(yōu)化問題。整個飛行過程可描述為:在給定助推級和滑翔級各參數(shù)條件下,導(dǎo)彈由靜止狀態(tài)從地面垂直發(fā)射,經(jīng)過垂直上升段、轉(zhuǎn)彎段后關(guān)機,滑翔級與助推級分離,進入被動段飛行;在被動段飛行過程中,滑翔級依靠氣動力進行控制,經(jīng)過多次跳躍或滑翔飛行,最終以某落地速度垂直攻擊目標?；谏鲜鲲w行過程,彈道優(yōu)化問題具體描述為:在[0s,tf]內(nèi)(tf為未知的飛行總時間),確定容許控制量α和參量tf,使得由狀態(tài)方程(1)～(5)確定的系統(tǒng),從給定的初始條件積分到終端狀態(tài),在滿足規(guī)定約束條件下,縱平面射程最大。其中,α和tf可通過優(yōu)化過程給出。3.2助推-滑動段縱向彈性系統(tǒng)優(yōu)化對于常規(guī)彈道導(dǎo)彈,傳統(tǒng)的研究方法將彈頭近似為一個阻力和升力均很小的再入體,被動段簡化為橢圓彈道來近似計算導(dǎo)彈最大射程,得到的關(guān)機點彈道傾角較大。然而,助推-滑翔導(dǎo)彈滑翔級的氣動力對于被動段飛行影響較大,已不能采用上述方法進行處理,需要提出一種新的解算方法。本文采用如下解算思路。將助推-滑翔導(dǎo)彈縱向彈道分兩段(即助推段和滑翔段)分別進行優(yōu)化。首先,進行助推段優(yōu)化,將助推段的終端彈道傾角作為銜接量,助推段關(guān)機點最大能量(勢能和動能之和)作為性能指標,即,在選定的若干終端彈道傾角下,分別優(yōu)化出助推段終端能量最大的彈道,見圖2;其次,將助推段優(yōu)化出來的關(guān)機點數(shù)據(jù),作為滑翔段彈道的積分初始值,以射程最大作為性能指標,并在要求的約束下優(yōu)化彈道。最后,在所有滿足約束的最優(yōu)彈道中找出射程最大的彈道,就是滿足所給總體參數(shù)下的最優(yōu)縱向彈道。3.3區(qū)域狀態(tài)優(yōu)化利用最優(yōu)控制問題的一般描述方法,將助推-滑翔導(dǎo)彈的彈道優(yōu)化模型列寫如下:(1)性能指標助推級:關(guān)機點比能最大J=-E=(-υ2/2-gh)|tf1(10)J=?E=(?υ2/2?gh)|tf1(10)滑翔級:射程最大J=-∫tf2t02RυcosΘR+hdt(11)(2)狀態(tài)方程為縱平面運動模型(3)控制量為攻角α(4)初始狀態(tài)助推段:垂直上升段末狀態(tài)滑翔段:助推段關(guān)機點狀態(tài)(5)優(yōu)化量約束攻角大小約束:|α|≤αabsmax攻角變化率約束:˙α≤˙αmax法向過載約束:|Ρ?sinα+Ym?g|≤nymax助推級攻角端點約束:α(t01)=α(tf1)=0滑翔級攻角端點約束:α(t02)=0(6)末端狀態(tài)助推級:Θ(tf1)=Θf1其中,t01為助推級垂直上升段結(jié)束時刻,可由導(dǎo)彈初始推重比得到;tf1為助推級關(guān)機時刻,是一定值,可見,助推段優(yōu)化是一個終端時間固定的優(yōu)化問題;t02為滑翔級飛行初始時刻,即t02=tf1;tf2為滑翔級飛行結(jié)束時刻,是一未定值,可見,滑翔段優(yōu)化是一個終端時間不固定的優(yōu)化問題;αabsmax、˙αmax與nymax均按各飛行段取值;攻角端點約束是為了保證控制量平滑銜接,并且減小級間分離時氣動力矩的影響。4sqp算法及優(yōu)化從上述優(yōu)化模型可見,助推-滑翔導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問題涉及多種復(fù)雜約束,因此,是一種比較復(fù)雜的最優(yōu)控制問題,一般的優(yōu)化方法難以解決。序列二次規(guī)劃法(SQP)是一種解決復(fù)雜最優(yōu)控制問題較為有效的數(shù)值優(yōu)化方法。本文將采用這種方法解決彈道優(yōu)化問題。序列二次規(guī)劃法屬于解決最優(yōu)控制問題的直接法,它首先將無限維的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為有限維的非線性規(guī)劃問題(NLP),這種轉(zhuǎn)化是通過分段多項式近似控制(和狀態(tài))變量來達到的。然后,這個得到的NLP問題就可以通過序列二次規(guī)劃法來求解。做法簡述如下:(1)如果性能指標中含有積分形式,引入一個新的變量y,令˙y=L(x,u,p,t)?y(t0)=0,其中,L是性能指標中的被積函數(shù),u為控制量(即本文的攻角),p為參量(即本文的tf2)。(2)劃分時間區(qū)間[t0,tf]為N個子區(qū)間,節(jié)點為ti,即:t0<t1<…<tN-1<tN=tf。(3)控制變量的參數(shù)化將控制變量在每個節(jié)點處進行離散,每個子區(qū)間內(nèi),控制變量進行線性化插值。離散化后,可以得到:?u=[uΤ0,uΤ1,??uΤΝ,p1,p2,??pnp]Τ其中,?u是一廣義控制量。經(jīng)過上述處理,可將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為有限維NLP標準型:minJ(?u)(12)s.t.g(?u)=0h(?u)≤0應(yīng)用序列二次規(guī)劃法對此NLP進行解算,可得其二次規(guī)劃問題(QP)形式:minq(d?u)=0.5d?uΤ?L?u?u?d?u+～?L?d?us.t.g(?u)+～?g(?u)?d?u=0h(?u)+～?h(?u)?d?u≤0(13)其中,～?(?)表示梯度;d?u表示?u的增量;L?u?u表示Hessian矩陣。為了使SQP算法保持全局收斂性,新點的計算應(yīng)該寫成?u1=?u0+A?d?u。其中,A是參考步長,能使?u1成為改進解。實際上,也就是使Ρ(?u1,r)<Ρ(?u0,r),這里的P(?u,r)是一個罰函數(shù),如下式:Ρ(?u,r)=J(?u)+nc(Ν+1)+nf∑i=1ri|gi(?u)|+nc(Ν+1)∑i=1rnc(Ν+1)+nf+imax(0,hi(?u))其中,ri是罰因子。為了實現(xiàn)SQP算法,還需要解決兩個問題。其一,矩陣L?u?u的修正方式;其二,QP子問題相容性。SQP具體算法可參考文獻。按照序列二次規(guī)劃算法,將助推-滑翔導(dǎo)彈彈道優(yōu)化模型分兩段分別進行離散化處理,得到其彈道的非線性規(guī)劃問題;然后,對其應(yīng)用序列二次規(guī)劃算法就可以進行解算。5最優(yōu)地位和陣風下最優(yōu)是最優(yōu)從寬環(huán)上的連接給定助推火箭發(fā)動機工作時間tf1=61s,初始質(zhì)量m0=13400kg,發(fā)動機質(zhì)量流˙m=200kg/s,參考面積為1m2,αabsmax1=5°,˙αmax1=1°/s,nymax1=1.2,t01=1s;滑翔級無發(fā)動機,質(zhì)量為700kg,參考面積為0.3m2,αabsmax2=25°,˙αmax2=5°/s,nymax2=20。優(yōu)化計算結(jié)果見圖3和4,分別為取不同Θf1的高度和速度變化曲線。分析這2幅圖可知,Θf1=27.5°時射程最大,可達3534.467km。對多個Θf1的最優(yōu)彈道進行計算,得到其射程與關(guān)機點彈道傾角的擬合曲線,見圖5。可見,射程并不完全隨著關(guān)機點彈道傾角的增大而增大;兩條曲線以Θf1=28°分界,在此處及其右側(cè),滿足所給約束的最優(yōu)彈道只有2個波峰,而其左側(cè)可以達到3個波峰,波峰表示彈道起伏,有助于延長飛行距離。同時,從圖6可見,關(guān)機點最大能量隨彈道傾角的增大而增大,但相差較小。綜合分析圖5與圖6可知,關(guān)機點能量也不能完全決定最大射程。由于計算本身帶有一定的誤差,本文研究表明,取Θf1=27.5°時,可認為它是射程最大的彈道,見圖3和4中射程最大者,其彈道波谷處高于30km,有利于避開地面防空火力,且彈道比較平滑,起伏較小,利于控制。最優(yōu)攻角變化曲線見圖7,助推級攻角絕對值最大值為4°,滑翔級攻角絕對值最大值為22.9°,均小于給定最大值。法向過載變化曲線見圖8,助推級法向過載絕對值的最大值為1.2,滑翔級法向過載絕對值最大值為14.02,均在允許值范圍內(nèi)。6助推-滑動先進的我國—結(jié)論綜上分析,可以得到如下結(jié)論:(1)采用“分段”優(yōu)化方法處理單級助推-滑翔式彈道的優(yōu)化問題,符合其彈道的具體情況,也便于分析滑翔級的彈道特征。(2)采用本文所給的序列二次規(guī)劃法處理此類飛行器的復(fù)雜多約束彈道優(yōu)化問題行之有效。(3)滿足所給約束條件下,起伏次數(shù)較多的彈道,射程較大,彈道的起伏有利于延長飛行距離,且彈道主要集中在較高高度,利于突防。(4)采用本文所給的控制